Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit Turbo Pascal-Programmen

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1 Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit Turbo Pascal-Programmen von Prof. Dr. Gisela Engeln-Müllges Fachhochschule Aachen und O. Prof. em. Dr. Fritz Reutter f Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Anhang: Turbo Pascal-Programme von Dr. Albert Becker und Jürgen Dietel 3., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage Wissenschaftsverlag Mannheim/Wien/Zürich

2 Inhaltsverzeichnis 1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse Definition von Fehlergrößen Dezimaldarstellung von Zahlen Fehlerquellen Der Verfahrensfehler Der Eingangsfehler Der Rechnungsfehler 11 2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Aufgabenstellung und Anwendungsempfehlungen Definitionen und Sätze über Nullstellen Allgemeines Iterationsverfahren Konstruktionsmethode und Definition Existenz von Lösungen und Eindeutigkeit der Lösung Konvergenz eines Iterationsverfahrens, Fehlerabschätzungen, Rechnungsfehler Praktische Durchführung Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens Newtonsche Verfahren Das Newtonsche Verfahren für einfache Nullstellen Gedämpftes Newton-Verfahren Das Newtonsche Verfahren für mehrfache Nullstellen. Das modifizierte Newtonsche Verfahren Regula Falsi Regula Falsi für einfache Nullstellen Modifizierte Regula Falsi für mehrfache Nullstellen Primitivform der Regula Falsi 30

3 XVI 2.7 Verfahren von Steffensen Das Verfahren von Steffensen für einfache Nullstellen Das modifizierte Steffensen-Verfahren für mehrfache Nullstellen Einschlußverfahren Das Bisektionsverfahren Das Pegasus-Verfahren Das Verfahren von Anderson-Björck Die Verfahren von King und Anderson-Björck-King. Das Illinois-Verfahren Effizienz der Verfahren und Entscheidungshilfen 39 3 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen Vorbemerkungen Das Horner-Schema Das einfache Horner-Schema für reelle Argumentwerte Das einfache Horner-Schema für komplexe Argumentwerte Das vollständige Horner-Schema für reelle Argumentwerte Anwendungen Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen algebraischer Gleichungen Vorbemerkungen, Überblick und Entscheidungshilfen für die Wahl der Methode Das Verfahren von Muller Das Verfahren von Bauhuber Das Verfahren von Jenkins und Traub Entscheidungshilfen 56 4 Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Aufgabenstellung Definitionen und Sätze Lösbarkeitsbedingungen für ein lineares Gleichungssystem Prinzip der direkten Methoden Der Gauß-Algorithmus Gauß-Algorithmus mit Spaltenpivotsuche Pivotsuche Gauß-Algorithmus als Dreieckszerlegung 71

4 XVII Der Gauß-Algorithmus für Systeme mit mehreren rechten Seiten Matrizeninversion mit dem Gauß-Algorithmus Verfahren für Systeme mit symmetrischen Matrizen Systeme mit symmetrischer, streng regulärer Matrix Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix. Cholesky-Verfahren Systeme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix. Verfahren der konjugierten Gradienten (CG-Verfahren) Das Gauß-Jordan-Verfahren Bestimmung der zu einer Matrix inversen Matrix mit dem Austauschverfahren Gleichungssysteme mit tridiagonaien Matrizen Systeme mit tridiagonaler Matrix Systeme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv definiter Matrix Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonaien Matrizen Systeme mit zyklisch tridiagonaler Matrix Systeme mit symmetrischer, zyklisch tridiagonaler Matrix Gleichungssysteme mit fünfdiagonalen Matrizen Systeme mit fünfdiagonaler Matrix Systeme mit symmetrischer, fünfdiagonaler, positiv definiter Matrix Gleichungssysteme mit Bandmatrizen Lösung überbestimmter linearer Gleichungssysteme mit Householdertransformation Fehler, Kondition und Nachiteration Fehler und Kondition Konditionsschätzung Möglichkeiten zur Konditionsverbesserung Nachiteration Gleichungssysteme mit Blockmatrizen Vorbemerkungen Gauß-Algorithmus für Blocksysteme Gauß-Algorithmus für tridiagonale Blocksysteme Weitere Block-Verfahren Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens 122

5 XVIII 5 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Vorbemerkungen und Entscheidungshilfen Vektor- und Matrixnormen Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten Das Iterationsverfahren in Einzelschritten oder das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren Relaxation beim Gesamtschrittverfahren Relaxation beim Einzelschrittverfahren Systeme nichtlinearer Gleichungen Allgemeines Iterationsverfahren für Systeme Spezielle Iterationsverfahren Newtonsche Verfahren für nichtlineare Systeme Das quadratisch konvergente Newton-Verfahren Gedämpftes Newton-Verfahren für Systeme Regula Falsi für nichtlineare Systeme Das Verfahren des stärksten Abstiegs (Gradientenverfahren) für nichtlineare Systeme Das Verfahren von Brown für Systeme Entscheidungshilfen für die Auswahl der Methode Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Definitionen und Aufgabenstellungen Diagonalähnliche Matrizen Das Iterationsverfahren nach v. Mises Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes Bestimmung weiterer Eigenwerte und Eigenvektoren Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen Das Verfahren von Krylov Bestimmung der Eigenwerte Bestimmung der Eigenvektoren Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter, symmetrischer, tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD-Algorithmus Transformationen auf Hessenbergform, LR- und QR-Verfahren Transformation einer Matrix auf obere Hessenbergform

6 XIX LR - Verfahren QR - Verfahren Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Verfahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson Entscheidungshilfen Lineare und nichtlineare Approximation Lineare Approximation Approximationsaufgabe und beste Approximation Kontinuierliche lineare Approximation im quadratischen Mittel Diskrete lineare Approximation im quadratischen Mittel Normalgleichungen für den diskreten linearen Ausgleich Diskreter Ausgleich durch algebraische Polynome unter Verwendung orthogonaler Polynome Lineare Regression. Ausgleich durch lineare algebraische Polynome Householdertransformation zur Lösung des linearen Ausgleichsproblems Approximation von Polynomen durch Tschebyscheff- Polynome Beste gleichmäßige Approximation, Definition Approximation durch Tschebyscheff-Polynome Approximation periodischer Funktionen Approximation periodischer Funktionen im quadratischen Mittel Trigonometrische Interpolation Komplexe diskrete Fourier-Transformation (FFT) Nichtlineare Approximation Transformationsmethode beim nichtlinearen Ausgleich Nichtlinearer Ausgleich im quadratischen Mittel Entscheidungshilfen Polynomiale und rationale Interpolation Aufgabenstellung zur Interpolation durch algebraische Polynome Interpolationsformeln von Lagrange Lagrangesche Formel für beliebige Stützstellen Lagrangesche Formel für äquidistante Stützstellen 216

7 XX 9.3 Das Interpolationsschema von Aitken für beliebige Sützstellen Inverse Interpolation nach Aitken Interpolationsformeln von Newton Newtonsche Formel für beliebige Stützstellen Newtonsche Formel für äquidistante Stützstellen Restglied der Interpolation und Aussagen zur Abschätzung und Schätzung des Interpolationsfehlers Rationale Interpolation Interpolation bei Funktionen mehrerer Veränderlichen Interpolationsformel von Lagrange bei Funktionen von zwei Veränderlichen Shepard-Interpolation Entscheidungshilfen für die Auswahl des zweckmäßigen Interpolationsverfahrens Interpolierende Polynomsplines zur Konstruktion glatter Kurven Polynomsplines dritten Grades Definition der Splinefunktionen Berechnung der nichtparametrischen kubischen Splines Berechnung der parametrischen kubischen Splines Kombinierte interpolierende Polynom-Splines Konvergenz und Fehlerabschätzungen interpolierender kubischer Splines Hermite-Splines fünften Grades Definition der Hermite-Splines Berechnung der nichtparametrischen Hermite-Splines Berechnung der parametrischen Hermite-Splines Entscheidungshilfen zur Auswahl der geeigneten interpolierenden oder approximierenden Splinemethode Polynomiale Ausgleichssplines 3. Grades Problemstellung Definition der Splinefunktionen Berechnung der nichtparametrischen kubischen Ausgleichssplines Berechnung der parametrischen kubischen Ausgleichssplines Entscheidungshilfen 283

8 XXI 12 Zweidimensionale Splines, Bezier-Splines, Oberflächensplines Interpolierende zweidimensionale Polynomsplines dritten Grades zur Konstruktion glatter Flächen Kubische und bikubische interpolierende und approximierende Bezier -Splines Kubische Bezier -Splines zur Konstruktion glatter Kurven und Kurven mit Knick Approximierende bikubische Bezier -Splines zur Konstruktion glatter Flächen Modifizierte (interpolierende) kubische Bezier - Splines Zweidimensionale interpolierende Oberflächensplines Entscheidungshilfen Akima- und Renner-Subsplines Akima-Subsplines Renner-Subsplines Abrundung von Ecken bei Akima- und Renner-Kurven Näherungsweise Berechnung der Bogenlänge einer Kurve Entscheidungshilfen Numerische Differentiation Aufgabenstellung Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer Polynom-Splines Differentiation nach dem Romberg-Verfahren Entscheidungshilfen Numerische Quadratur Vorbemerkungen Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln Newton-Cotes-Formeln Die Sehnentrapezformel Die Simpsonsche Formel Die 3/8-Formel Weitere Newton-Cotes-Formeln 342

9 XXII Zusammenfassung zur Fehlerordnung von Newton-Cotes-Formeln Quadraturformeln von Maclaurin Die Tangententrapezformel Weitere Maclaurin-Formeln Die Euler-Maclaurin-Formeln Tschebyscheffsche Quadraturformeln Quadraturformeln von Gauß Einfache Berechnung von Gewichten und Stützstellen verallgemeinerter Gauß-Quadraturformeln Quadraturformeln von Clenshaw-Curtis Das Verfahren von Romberg Fehlerschätzung und Rechnungsfehler Adaptive Quadraturverfahren Konvergenz der Quadraturformeln Entscheidungshilfen für die Auswahl der geeigneten Methode Numerische Kubatur Problemstellung Konstruktion von Interpolationskubaturformeln Newton-Cotes-Formeln für rechteckige Integrationsbereiche Newton-Cotes-Kubaturformeln für Dreieckbereiche Das Romberg-Kubaturverfahren für Rechteckbereiche Gauß-Kubaturformeln für Rechteckbereiche Gauß-Kubaturformeln für Dreieckbereiche Dreieckbereiche mit achsenparallelen Katheten Dreiecke in allgemeiner Lage Berechnung des Riemannschen Flächenintegrals mit bikubischen Splines Entscheidungshilfen Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Problemstellung Prinzip der numerischen Verfahren Einschrittverfahren Das Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy Das verbesserte Euler-Cauchy-Verfahren 397

10 XXIII Praediktor-Korrektor-Verfahren von Heun Explizite Runge-Kutta-Verfahren Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren Klassisches Runge-Kutta-Verfahren Zusammenstellung expliziter Runge-Kutta-Formeln Einbettungsformeln Implizite Runge-Kutta-Verfahren vom Gauß-Typ Gemeinsame Darstellung aller Einschritt verfahren. Verfahrensfunktion eines Einschrittverfahrens. Konsistenz Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung Fehlerschätzung Methoden zur automatischen Schrittweitensteuerung, adaptive Anfangswertproblemlöser Mehrschrittverfahren Prinzip der Mehrschrittverfahren Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth Das Praediktor-Korrektor-Verfahren von Adams-Moulton Verfahren von Adams-Störmer Fehlerschätzungsformeln für Mehrschrittverfahren Rechnungsfehler für Ein- und Mehrschrittverfahren Extrapolationsverfahren von Bulirsch-Stoer-Gragg Stabilität Vorbemerkungen Stabilität der Differentialgleichung Stabilität des numerischen Verfahrens Steife Differentialgleichungssysteme Problemstellung Kriterien für Steifheit eines Systems Das Verfahren von Gear zur Integration steifer Systeme Entscheidungshilfen bei der Wahl des Verfahrens Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Problemstellung Zurückführung des Randwertproblems auf ein Anfangswertproblem 464

11 XXIV Randwertprobleme für nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Randwertprobleme für Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung Mehrzielverfahren Differenzenverfahren Das gewöhnliche Differenzenverfahren Differenzenverfahren höherer Näherung Iterative Auflösung der linearen Gleichungssysteme zu speziellen Randwertproblemen Lineare Eigenwertprobleme 481 Anhang: Turbo Pascal-Programme 483 Verzeichnis der Programme nach Reihenfolge im Anhang 485 Vorwort zum Anhang 489 Turbo Pascal-Programme 491 Literaturverzeichnis 877 Literatur zu weiteren Themengebieten Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen Methode der Finiten Elemente 897 Sachwortverzeichnis 901