Numerische Mathematik für Ingenieure

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1 Numerische Mathematik für Ingenieure Von Prof. Dipl.-Math. Jürgen Becker Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer Prof. Dr. Wolfhart Haacke Prof. Dipl.-Math. RudolfNabert 2., überarbeitete Auflage Mit 113 Bildern, 108 Beispielen und 52 Aufgaben B. G. Teubner Stuttgart 1985

2 Verfasser: Prof. Dipl.-Math. Jürgen Becker Prof. Dr. Wolfhart Haacke Prof. Dipl.-Math. Rudolf Nabert Universität-Gesamthochschule-Paderborn Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer Fachhochschule Hamburg CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Numerische Mathematik für Ingenieure / von Jürgen Becker " überarb. Auf!. - Stuttgart : Teubner, ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: Becker, Jürgen [Mitverf.] Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, besonders die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Bildentnahme, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes, dem Verlag vorbehalten. Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Verlag gemäß 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. B. G. Teubner, Stuttgart 1977 Satz: G. Hartmann, Nauheim Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen

3 4 Vorwort Leser zur Vertiefung seines Wissens anregen. Die zum Teil umfangreichen Lösungen sind ausführlich in einem Anhang zusammengefaßt, so daß sich das Buch auch zum Selbststudium eignet. Bei vielen in diesem Buch behandelten Problemkreisen werden mehrere Verfahren entwickelt. In all diesen Fällen kann keinem Verfahren beim Einsatz in den Ingenieurwissenschaften ein absoluter Vorzug gegeben werden, vielmehr ist bei unterschiedlichen Aufgaben und bei unterschiedlichem Einsatz der Hilfsmittel (Taschenrechner, kleine oder größere Rechenanlage) einmal das eine, einmal das andere Verfahren vorzuziehen. Zum Verständnis sind mathematische Kenntnisse erforderlich, wie sie z.b. im Mathematik-Kurs eines technischen Studienganges an einer Fachhochschule angeboten werden und in dem im gleichen Verlag erschienenen Lehrbuch "Brauch, W.; Dreyer, H.-J.; Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure" zu finden sind. Die einzelnen Abschnitte sind absichtlich so gefaßt worden, daß sie unabhängig voneinander gelesen werden können. Hierdurch bedingt, müssen an einigen wenigen Stellen Begriffe erläutert werden, die thematisch einem anderen Abschnitt zugeordnet werden könnten. Durch vielfache Bezüge zwischen den Abschnitten wird dafür gesorgt, daß der Zusammenhang jederzeit zu erkennen ist. Die Auswahl der Themengebiete ist auf die Praxis des Ingenieurs zugeschnitten. Der einführende Abschnitt behandelt Fehlerarten, Fehlerfortpflanzung und Fehlerbeurteilung, der zweite Ein- und Mehrschrittverfahren zur Bestimmung von Nullstellen nichtlinearer Funktionen (insbesondere Polynome) und Funktionensysteme. Der numerischen Handhabung linearer Gleichungssysteme ist der dritte Abschnitt gewidmet, einschließlich des Eigenwertproblems sowohl fur diagonalähnliche als auch ftir beliebige Matrizen. Die aus der Baustatik stammende und bisher hauptsächlich in der Kontinuumsmechanik angewandte Methode der finiten Elemente wird, ihrer wachsenden Bedeutung entsprechend, in einem eigenen Abschnitt behandelt, der zugleich eine Anwendung der Lösungsmethoden der linearen Algebra darstellt. Die Methode der finiten Elemente hat besonders im Fahrzeug-, Flugzeug- und Schiffbau sowie im Hochbau und Behälterbau bereits vielfältige Anwendungen gefunden. Der folgende Abschnitt enthält wichtige Interpolations- und Approximationsmethoden, insbesondere die Spline-Interpolation und die Tschebyscheff-Approximation unter Betonung ihrer Bedeutung für die Berechnung technisch bedeutsamer Funktionen auf Rechenanlagen. Für Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen werden rechnergerechte Ein- und Mehrschrittverfahren sowie das Extrapolationsverfahren dargeboten. Rand- und Eigenwertprobleme fur gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen werden mit Hilfe unterschiedlicher Differenzenverfahren an Beispielen aus der Mechanik behandelt. Der letzte Abschnitt enthält Algorithmen zur bildlichen Darstellung numerisch ermittelter räumlicher Gebilde auf Sicht- und Zeichengeräten. Er gibt dem Ingenieur eine wertvolle Hilfe bei den rasch an Bedeutung gewinnenden Aufgaben aus der graphischen Datenverarbeitung. Das Buch wendet sich in gleicher Weise an die künftigen wie an die bereits in der Praxis tätigen Ingenieure, die den sich ständigen verändernden Anforderungen gewachsen sein müssen. Die Autoren hoffen, daß der Leser durch dieses Buch zur kritischen Beurteilung numerischer Verfahren und der mit deren Hilfe in Rechenanlagen gewonnenen riesigen Zahlenmengen angeregt wird, wodurch eine nutzbringende Anwendung der Numerik und Informatik auf technische Probleme gefördert wird. In der vorliegenden 2. Auflage wurden bekanntgewordene Druckfehler sowie Versehen korrigiert. Für die von den Lesern gegebenen Hinweise danken die Autoren. In Abschnitt 1 wurde ferner der Algorithmusbegriff deutlicher herausgearbeitet sowie in Abschnitt die Berechnungsmethode aufgrund der Berücksichtigung der Symmetrie wirkungsvoller eingesetzt. Hamburg, Paderborn, im Winter 1984/85 Die Verfasser

4 Vorwort Die praktische Tätigkeit des Ingenieurs hat sich in den letzten Jahrzehnten grundlegend gewandelt. Die Beherrschung komplexer, technisch ausgefeilter, wirtschaftlich rentabler Gebilde, die Beurteilung ihrer Einsatzmöglichkeiten, ihre Weiterentwicklung und die Schaffung neuer, dem technologischen Stand angepaßter Systeme wird von ihm ganz selbstverständlich erwartet, denn diese gibt es in allen Bereichen der ingenieurmäßigen Forschung und Entwicklung, angefangen von den ersten Entwürfen bei der Automobilkonstruktion über Großmaschinenkonstruktion bis hin zum Raumflug auf der einen Seite, von Problemen des Baubetriebs bei Großbaustellen bis hin zu komplizierten statischen Berechnungen auf der anderen Seite. Hierzu benötigt der Ingenieur das entsprechende Rüstzeug. Der Rechenschieber für die überschlägige Berechnung einer groben Näherung muß dem entsprechend ausgestatteten, nach Möglichkeit programmierbaren, Taschenrechner, in vielen Fällen auch der Rechenanlage, weichen, da sich nur mit ihnen die komplizierten Algorithmen, die hinter den technischen Systemen stehen, in erträglicher Zeit mit erträglichen Kosten in der erforderlichen Genauigkeit berechnen lassen. Vom Ingenieur wird natürlich weit mehr verlangt als die bloße Beherrschung dieser Hilfsmittel. Daher orientiert sich die Darstellung dieses Buches jeweils an der nachstehend aufgeführten Reihenfolge: Problemstellungen aus der Praxis, Herausarbeitung des mathematischen Modells, Aufsuchen eines geeigneten Verfahrens (Algorithmus) zur LÖs\.lng, Überprüfung, in welchen Fällen dieses Verfahren zu einer Lösung des Problems führt, Rückübertragung der so gefundenen Lösung auf das Praxisproblem. Bei allen diesen Schritten wird besonders darauf geachtet, daß dem Ingenieur eine gesunde Skepsis gegenüber den Methoden und Verfahren vermittelt wird, um ihn davon zu überzeugen, daß die Ergebnisse, die ein Rechner liefert, nicht kritiklos hingenommen werden sollten, da sie zwar richtig gerechnet, aber aufgrund fehlerhafter Eingaben und ungeeigneter Programme falsch sein können. Für die rechnerische Handhabung mathematischer Modelle bietet die numerische Mathematik grundlegende Methoden, die weit über die wenigen klassischen Verfahren hinausreichen, welche im Rahmen einer mathematischen Kursvorlesung behandelt werden können. Mit Hilfe der automatisierten Datenverarbeitung ist die Numerik in den letzten zwanzig Jahren sowohl durch Bahnung neuer Wege als auch durch den Ausbau bekannter Verfahren bemerkenswert weiterentwickelt worden. In dem vorliegenden Buch versuchen die Autoren, dieser Entwicklung gerecht zu werden und die numerische Mathematik in dem Umfang und der Auswahl anzubieten, wie es die modernen ingenieurmäßigen Aufgaben erfordern, zugleich aber auch den Ingenieur bei der Aufstellung passender Modelle zu unterstützen, da hiervon die Auswahl geeigneter Algorithmen wesentlich beeinflußt wird. Eine lückenlose theoretische Begründung der vorgestellten, auf die Verwendung von Rechnern besonders abgestimmten Verfahren würde den Rahmen dieses Buches sprengen und dem Ingenieur wenig nützen. Hierzu dienen die zahlreichen Verweise auf die weiterführende Literatur. Stattdessen zeigen viele Beispiele den gesamten Weg von der technischen Fragestellung eines Problems bis zur praktischen Auswertung der Resultate. Aufgaben am Ende jedes Abschnitts sollen den

5 Inhalt 1 Fehler und Fehlerfortpflanzung (W. Haacke) 1.1 Maschinenzahlen Fehlerarten Fehlerfortpflanzung In- und Output von Algorithmen Aufgaben zu Abschnitt Nullstellen (I. Becker) 2.1 Auflösung einer Gleichung mit einer Unbekannten Regula falsi Methode der sukzessiven Approximation Newtonsches Näherungsverfahren Auflösung zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten Methode der sukzessiven Approximation Newtonsches Näherungsverfahren Reelle und komplexe Nullstellen ganzer rationaler Funktionen mit reellen KoeffIzienten Horner-Schema zur Polynomberechnung. Newton-Verfahren Methode von Bernoulli Bairstow-Verfahren Nachiteration Aufgaben zu Abschnitt Lineare Algebra (I. Becker) 3.1 Lineare Gleichungen. Lineare Systeme. Stiefel-Austauschverfahren 3.2 Berechnung der Kehrmatrix Lösung linearer Gleichungssysteme Verkürztes Stiefel-Verfahren Determinante einer quadratischen Matrix Verketteter Gauß-Algorithmus Nachiteration Gauß-Seidel-Einzelschrittverfahren zur iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme Eigenwerte und Eigenvektoren bei Matrizen Stiefel-Algorithmus Von Mises-Verfahren Aufgaben zu Abschnitt

6 6 Inhalt 4 Elementare Einführung in die Methode der finiten Elemente (H.-J. Dreyer) 4.1 Einleitung Zug-Druck-Stabe1emente Die Steifigkeitsmatrix eines Zugstabelementes Umrechnung von Elementkoordinaten in Strukturkoordinaten Stabwerk Biegestabelement Steifigkeitsmatrix Gesamtsteifigkeitsmatrix zweier benachbarter Elemente gleicher Richtung Biegestabsystem Dreieckförmiges Scheibenelement Spannung und Dehnung Steifigkeitsmatrix des dreieckförmigen Scheibenelementes Struktur aus Dreieckelementen Aufgaben zu Abschnitt Interpolation und Approximation (R. Nabert) 5.1 Interpolations- und Approximationsaufgaben der Technik Interpolation Differenzenschemata Interpolationsformeln von Lagrange und Newton Interpolation bei Funktionen mit zwei Veränderlichen Spline-Interpolation Approximation von Funktionen Approximation im Gaußschen Sinne Approximation im Tschebyscheffschen Sinne Approximation elementarer Funktionen Numerische Integration Das Verfahren von Romberg Gaußsche Integration Monte-Carlo-Methoden Vergleich der Integrationsverfahren Numerische Differentiation Aufgaben zu Abschnitt Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen (W. Haacke) 6.1 EinfUhrung Euler-Verfahren Verfahren von Adams-Bashfort Einschrittverfahren Der Ansatz von Runge-Kutta Das Verfahren von Gill

7 Inhalt Mehrschrittverfahren Die Mittelpunktsregel Der Ansatz von Hamming Anlaufrechnung Schrittweitenänderung Extrapolationsverfahren Zusammenfassung Aufgaben zu Abschnitt Rand- und Eigenwertaufgaben (H.-J. Dreyer) 7.1 Differenzenverfahren Herleitung einfacher Differenzenformeln Verbesserung der Formeln Mehrstellenverfahren DifferenzenausdIÜcke bei partiellen Ableitungen Lineare Randwertaufgabe bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Träger auf zwei Stützen mit veränderlicher Biegesteifigkeit Geschlossene Lösung Berechnung mit einfachen Differenzenformeln Berechnung mit dem verfeinerten Verfahren Berechnung mit dem Mehrstellenverfahren Vergleich der Verfahren Nichtlineare Randwertaufgabe. Träger mit großer Durchbiegung Lösung der linearisierten Aufgabe Aufstellen der Differenzengleichung für die nichtlineare Aufgabe Lösung des Ersatzsystems mit Iterationsverfahren Eigenwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Der an einem Ende eingespannte und am anderen Ende gelenkig gefiihrte Knickstab Herleitung der Differentialgleichung und Lösung Berechnung mit dem einfachen Differenzenverfahren Mehrstellenverfahren Fehlerbetrachtungen Randwertaufgabe bei partiellen Differentialgleichungen. Biegung einer Rechteckplatte Vertikal unverschieblicher momentfreier Rand Vertikal unverschieblicher eingespannter Rand Aufspalten der Differentialgleichung Fehlerbetrachtungen Aufgaben zu Abschnitt Numerische Geometrie (R. Nabert) 8.1 Querschnitte von Flugzeug- und Schiffsrümpfen und ihre analytische Behandlung Einführung homogener Koordinaten und einfache Anwendungen Kollineare Abbildungen in der Ebene und im Raum Allgemeine Formeln Parallelprojektion und Perspektiven

8 8 Inhalt 8.4 Verwendung von Kegelschnitten und ihre analytische Behandlung Aufgaben zu Abschnitt Anhang 9.1 Lösungen zu den Aufgaben Weiterftihrende Literatur Sachverzeichnis