Numerische Mathematik

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1 Hans Rudolf Schwarz I Norbert Köckler Numerische Mathematik 8., aktualisierte Auflage STUDIUM VIEWEG+, TEUBNER /

2 Iahalt Einleitung 13 1 Fehlertheorie Fehlerarten Zahldarstellung Rundungsfehler Differenzielle Fehleranalyse Ergänzungen und Beispiele Software Aufgaben 28 2 Lineare Gleichungssysteme, direkte Methoden Der Gauß-Algorithmus Elimination, Dreieckszerlegung und Determinantenberechnung Pivotstrategien Ergänzungen Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen Normen Fehlerabschätzungen, Kondition Systeme mit speziellen Eigenschaften Symmetrische, positiv definite Systeme Bandgleichungen Tridiagonale Gleichungssysteme Verfahren für Vektorrechner und Parallelrechner Voll besetzte Systeme Tridiagonale Gleichungssysteme Anwendungen.... y Software Aufgaben

3 8 Inhalt 3 Interpolation und Approximation Polynominterpolation Problemstellung Lagrange-Interpolation Newton-Interpolation Hermite-Interpolation Inverse Interpolation Anwendung: Numerische Differenziation Splines Kubische Splines B-Splines 1. Grades Kubische B-Splines Zweidimensionale Splineverfahren Bilineare Tensorsplines Bikubische Tensorsplines Kurveninterpolation Kurven und Flächen mit Bezier-Polynomen Bernstein-Polynome Bezier-Darstellung eines Polynoms Der Casteljau-Algorithmus Bezier-Kurven Bezier-Flächen Gauß-Approximation Diskrete Gauß-Approximation Kontinuierliche Gauß-Approximation Trigonometrische Approximation Fourier-Reihen Effiziente Berechnung der Fourier-Koeffizienten Orthogonale Polynome Approximation mit Tschebyscheff-Polynomen Interpolation mit Tschebyscheff-Polynomen Die Legendre-Polynome ( Software Aufgaben / Nichtlineare Gleichungen Theoretische Grundlagen Problemstellung Konvergenztheorie und Banachscher Fixpunktsatz Stabilität und Kondition 189

4 Inhalt Gleichungen in einer Unbekannten Das Verfahren der Bisektion Das Verfahren von Newton Die Sekantenmethode Brents Black-box-Methode Gleichungen in mehreren Unbekannten Fixpunktiteration und Konvergenz Das Verfahren von Newton Nullstellen von Polynomen Reelle Nullstellen: Das Verfahren von Newton-Maehly Komplexe Nullstellen: Das Verfahren von Bairstow Software Aufgaben Eigenwertprobleme Theoretische Grundlagen Das charakteristische Polynom Ähnlichkeitstransformationen Symmetrische Eigenwertprobleme Elementare Rotationsmatrizen Das klassische Jacobi-Verfahren Die Vektoriteration Die einfache Vektoriteration nach von Mises Die inverse Vektoriteration Transformationsmethoden Transformation auf Hessenberg-Form Transformation auf tridiagonale Form Schnelle Givens-Transformation QÄ-Algorithmus Grundlagen zur QR-Transformation Praktische Durchführung, reelle Eigenwerte Q_R-Doppelschritt, komplexe Eigenwerte Qi?-Algorithmus für tridiagonale Matrizen Zur Berechnung der Eigenvektoren Das allgemeine Eigenwertproblem Der symmetrisch positiv definite Fall Eigenwertschranken, Kondition, Stabilität Anwendung: Membranschwingungen Software Aufgaben 271

5 10 Inhalt 6 Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate Lineare Ausgleichsprobleme, Normalgleichungen Methoden der Orthogonaltransformation Givens-Transformation Spezielle Rechentechniken Householder-Transformation Singulärwertzerlegung Nichtlineare Ausgleichsprobleme Gauß-Newton-Methode Minimierungsverfahren Software Aufgaben Numerische Integration Newton-Cotes-Formeln Konstruktion von Newton-Cotes-Formeln Verfeinerung der Trapezregel Romberg-Integration Transformationsmethoden Periodische Integranden Integrale über R Variablensubstitution Gauß-Integration Eingebettete Gauß-Regeln Adaptive Integration Mehrdimensionale Integration Produktintegration Integration über Standardgebiete Software Aufgaben.j 339 8, Anfangswertprobleme Einführung Problemklasse und theoretische Grundlagen Möglichkeiten numerischer Lösung Einschrittverfahren Konsistenz Runge-Kutta-Verfahren Explizite Runge-Kutta-Verfahren 354

6 Inhalt Halbimplizite Runge-Kutta-Verfahren Schrittweitensteuerung Mehrschrittverfahren Verfahren vom Adams-Typ Konvergenztheorie und Verfahrenskonstruktion Stabilität Inhärente Instabilität Absolute Stabilität bei Einschrittverfahren Absolute Stabilität bei Mehrschrittverfahren Steife Differenzialgleichungen Anwendung: Lotka-Volterras Wettbewerbsmodell Software Aufgaben Rand- und Eigenwertprobleme Problemstellung und Beispiele Lineare Randwertaufgaben Allgemeine Lösung Analytische Methoden Analytische Methoden mit Funktionenansätzen Schießverfahren Das Einfach-Schießverfahren Das Mehrfach-Schießverfahren Differenzenverfahren Dividierte Differenzen Diskretisierung der Randwertaufgabe Software Aufgaben Partielle Differenzialgleichungen Differenfeenverfahren Problemstellung Diskretisierung der Aufgabe Randnahe Gitterpunkte, allgemeine Randbedingungen Diskretisierungsfehler Ergänzungen Parabolische Anfangsrandwertaufgaben Eindimensionale Probleme, explizite Methode Eindimensionale Probleme, implizite Methode Diffusionsgleichung mit variablen Koeffizienten 459

7 12 Inhalt Zweidimensionale Probleme Methode der fmiten Elemente Grundlagen Prinzip der Methode der finiten Elemente Elementweise Bearbeitung Aufbau und Behandlung der linearen Gleichungen Beispiele Software Aufgaben Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen Relaxationsverfahren Konstruktion der Iterationsverfahren Einige Konvergenzsätze Optimaler Relaxationsparameter und Konvergenzgeschwindigkeit Mehrgittermethoden Ein eindimensionales Modellproblem Eigenschaften der gedämpften Jacobi-Iteration Ideen für ein Zweigitterverfahren Eine eindimensionale Zweigittermethode Eine erste Mehrgittermethode Die Mehrgitter-Operatoren für das zweidimensionale Modellproblem Vollständige Mehrgitterzyklen Komplexität Ein Hauch Theorie Methode der konjugierten Gradienten Herleitung des Algorithmus Eigenschaften der Methode der konjugierten Gradienten Konvergenzabschätzung Vorkonditionierumg Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen Grundlagen des Verfahrens Algorithmische Beschreibung und Eigenschaften ' Speicherung schwach besetzter Matrizen Software Aufgaben 559 Literaturverzeichnis 563 Sachverzeichnis 576