Numerische Mathematik für Anfänger

Transkript

1 Gerhard Opfer Numerische Mathematik für Anfänger 2., verbesserte Auflage Mit 26 zum Teil farbigen Abbildungen, zahlreichen Beispielen und Programmen 3 vieweg

2 Inhalt Vorwort Inhaltsverzeichnis Liste der Beispiele Liste der Tabellen Liste der Figuren Liste der Programme v vü xi xiii xv xvi 1 Zahldarstellung und Rundungsfehler Maschinenzahlen Relativer und absoluter Fehler Gleitpunktdarstellung Fehler beim Rechnen Aufgaben 8 2 Auswertung elementarer Funktionen Gewöhnliche Polynome Trigonometrische Polynome Rationale Funktionen Aufgaben 31 3 Interpolation Polynom-Interpolation Hermite-Interpolation Spline-Interpolation Lineare Splines Quadratische Splines Kubische Splines Trigonometrische Interpolation 61

3 Inhalt ix 3.4 Interpolation in linearen Räumen Rationale Interpolation Aufgaben 76 4 Numerische Integration Interpolatorische Formeln Zusammengesetzte Formeln Konvergenzuntersuchungen Extrapolation und Adaption Gauß-Quadratur Integration singulärer Funktionen Regularisierung Anwendung der Gauß-Quadratur Aufgaben Lineare Gleichungssysteme Aufgabenstellung Matrizen Das Gaußsche Eliminationsverfahren Pivotsuche Gauß-Variationen, Cholesky-Zeriegung Mehrere rechte Seiten Iterative Lösungsverfahren Methode der konjugierten Gradienten Aufgaben Lineare Optimierung Aufgabenstellung Basisvektoren Das Simplexverfahren Praktische Durchführung Modifikationstechniken Aufgaben 177

4 x Numerische Mathematik 7 Ausgleichs- und Approximationsprobleme Normen von Vektoren und linearen Abbildungen Lineare Approximation Überbestimmte Gleichungssysteme Ausgleichung im quadratischen Mittel Ausgleichung in der Summen- und Maximumnorm Approximation von Funktionen Tschebyscheff-Approximation Approximation von Funktionen in der Z/2-Norm Aufgaben Matrixeigenwerte und -eigenvektoren Aufgabenstellung und elementare Eigenschaften Das von-mises-verfahren (Potenzmethode) Die inverse von-mises-iteration Der QR-Algorithmus Der Lanczos-Algorithmus Beispiele Von-Mises-Verfahren Inverses von-mises-verfahren QR-Verfahren Lanczos-Algorithmus Aufgaben Mchtlineare Gleichungen und Systeme Aufgabenstellung Hilfsmittel aus der Analysis Fixpunktiterationen Newton-Iterationen Konvergenz für lineare Probleme Eindimensionale Probleme Nullstellen von Polynomen Nullstellen von beliebigen reellen Funktionen Verfahren ohne Benutzung von Ableitungen Anhang: Einzugsbereiche des Newton-Verfahrens Aufgaben 273

5 Inhalt xi Anhang: Alphabete 277 Literaturverzeichnis 278 Stichwortverzeichnis 282 Hinweis: Die Beispiele, Tabellen,..., Sätze, Definitionen etc. sind in jedem Kapitel einheitlich durchlaufend numeriert, mit vorangestellter Kapitelnummer. Dasselbe gilt für die Formelnummern, für die nach gleichem Muster eine separate Durchnumerierung existiert. Die (Unter-) Abschnittsnummern werden also nicht in das Numerierungssystem übernommen. Liste der Beispiele 1.4 Maschinendarstellung von Dualzahlen Auswertung eines Polynoms mit Horner-Schema Horner-Schema zur Umrechnung in andere Zahldarstellungen Vorkommen von Polynomen Schnelle Fouriertransformation für N = Division von Polynomen Wiederholte Division von Polynomen Einfache Interpolationspolynome Inverse Interpolation mit Hilfe des Neville-Schemas Bestimmung eines Interpolationspolynoms durch vier Punkte mit verschiedenen Methoden Hermite-Interpolation mit Doppelknoten Vorgabe der Ableitungen bis zur Ordnung k, bzw. k 1 an den beiden Randpunkten eines Intervalls [a,b] Vorgabe der Ableitungen bis zur Ordnung k an beiden Randpunkten eines Intervalls [a,b] Interpolationsfehler Interpolation durch einen linearen Spline Trigonometrische Interpolation der Wurzel Unlösbarkeit von Interpolationsproblemen Interpolation durch rationale Funktionen Pole bei der rationalen Interpolation 75

6 xii Numerische Mathematik 3.57 Vergleich rationaler mit polynomialer Interpolation Integrationsformeln für einen bis vier Knoten Ordnung der Rechtecksregel Ordnung der Simpson-Regel Abschätzung des Quadraturfehlers Gauß-Tschebyscheff-Formeln Gauß-Quadraturformel der Ordnung Vier Dreitermrekursion für stückweise lineares Gewicht Integration einer singulären Funktion Integration einer singulären Funktion mit Gauß-Quadratur Produktionsmodell von Leontief Lösung eines linearen Gleichungssystems Kleines Residuum und großer Fehler Verschiedene Dreieckszerlegungen diaga,a L,A Ä für n = Anwendung des GSV und ESV Vandermondematrix Modellproblem Ernährungsplan Umwandlung von Nebenbedingungen Lösung eines linearen Optimierungsproblems Normen in endlich-dimensionalen Räumen Normen in Funktionenräumen Matrix-Normen Kondition einer 2 x 2-Matrix Tschebyscheff-Approximation Approximation in Li Periodische Schwingungen Nichtexistenz von besten Approximationen Mehrere beste Approximationen Datenapproximation 192

7 Inhalt xiii 7.26 L2 als Vektorraum mit Skalarprodukt Approximation durch eine Gerade Lineare Regression Householder-Verfahren Berechnung der Quadratwurzel Approximation der Monome t" Eulerscher Knickstab Schwingende Saite Dimension von Eigenräumen Eigenwerte einer Diagonalmatrix Konvergenzgeschwindigkeit Eintauchtiefe eines Holzstammes Fixpunktiteration mit zwei Variablen Fixpunktiteration für/(x) x Kontraktionssatz für eine Dimension Kontraktionssatz für zwei Dimensionen Allgemeines zweidimensionales Newton-Verfahren Nullstellen der komplexen Funktion g(z) = e z Nullstellen komplexer Polynome Untere Schranken für Polynomnullstellen Obere Schranken für Polynomnullstellen Zyklen im Newton-Verfahren 266 Liste der Tabellen 1.1 Gleitpunktdarstellung verschiedener Dezimalzahlen Maschinenzahlen mit zweistelliger Mantisse Relative Fehler von dreistelligen Dualzahlen Horner-Schema für p3 (2) aus Beispiel Umrechnung der Dezimalzahl 389 in eine Dualzahl Gewinne aus Maschinenkauf Verzinsung nach Maschinenkauf 17

8 XIV Numerische Mathematik 2.14 Schnelle Fouriertransformation für N = Daten des Fourierpolynoms Schnelle Auswertung eines Fourierpolynoms Ergebnisse aus obigem Kettenbruchprogramm Schema der dividierten Differenzen Neville-Schema Aitken-Schema Neville-Schema zur inversen Interpolation Dividierte Differenzen für (0,1), (1,2), (3,3), (4,2) Neville-Formel Aitken-Formel Hermite-Interpolation der Daten (3.34) Dividierte Differenzen für quadratische Splines Dividierte Differenzen für kubische Splines Trigonometrische Interpolation der Wurzel für N = Beispiele von Haarschen Räumen Ergebnisse adaptives Simpson mit berechneten Knoten Orthogonale Polynome für verschiedene Gewichte Orthogonale Polynome q, Knoten x, Gewichte w bei Gewichtsfunktion (4.49) Berechnung von /(/) = J cos xx~ 5 dx mit der Trapezregel ohne und mit Abziehen der Singularität und mit Gauß-Integration Übersicht über Matrix-Notationen Operationszahlen bei der Gauß-Elimination GSV und ESV für Beispiel 5.15 mit E* = max <= i, 2, 3 x*=-'- x, fc Operationszahlen für das Gaußsche Eliminationsverfahren bei kleinen n Vektor-und zugehörige Operatornorm Lösungen der diskretisierten Eigenwertaufgabe (*) von-mises-iteration Inverse von-mises-iteration 240

9 Inhalt xv 9.10 Wertea k+i = sina* TT Fixpunktiteration für z = log z und experimentelle Konvergenzordnung qk Newton-Verfahren für g(z) = e z - z = Beispiele zur Nullstellenbestimmung 274 Liste der Figuren 3.13 Zur inversen Interpolation, Beispiel Knotenpolynom UJ aus (3.18) für n = 12 mit äquidistanten und Tschebyscheffknoten (gestrichelt) Straßenlaterne mit parabelförmigem Bogen Trigonometrische Interpolation der Wurzel, Fehler rechts Fehler der polynomialen und rationalen Interpolation von tan in [0,1.5] mit 5 äquidistanten Punkten Integration über ein Intervall [a,b] und über einen zweidimensionalen Bereich R I h /2 als extrapolierter Wert aus Ih und I h / Verschiedene Schwingungsformen Verschiedene beste Approximationen der Rechtecksschwingung Projektion v von / auf V Auslenkung einer Spiralfeder und durchhängende Kette Fallstrecke s in Abhängigkeit von der Fallzeit t Alte Knoten tj (x) und neue Knoten tj (o) beim Remez-Algorithmus am Beispiel von f(x) = exp( i 2 ) und V = II Saitenschwingung und Knickstab (gestrichelt) für j = 1,2, 3, Größte und kleinste Ritz-Werte bei äquidistanten und zwei gehäuften Eigenwerten Schnittpunkte von f(x) = tan(z) und g(x) = -(x - 7r/2) Newton-Verfahren und Linearisierung Startpunkte, für die das Newton-Verfahren nicht konvergiert Graph und Höhenlinien von JV' mit AT'(x) = (2/3)(l+i/x 3 ) Einzugsbereiche eines Newton-Verfahrens in [ 1,1] x [ 1,1] 272

10 xvi Numerische Mathematik 9.44 Anzahl der Schritte eines Newton-Verfahrens in [ 1,1] x [ 1,1] Berechnung des Kreisradius aus Sehne und Bogenlänge 275 Liste der Programme 1.6 Zahlbereichsüberlauf Abfrage auf Gleichheit Horner-Schema für alle Ableitungen Herstellung eines Kettenbruchs Neville-Algorithmus Dividierte inverse, dividierte Differenzen, Kettenbruch und Newton-Polynom (MATLAB-Programm) Pascal-Programm zur adaptiven Simpson-Integration Pascal-Programm Gaußsches Eliminationsverfahren Vorwärts-und Rückwärtseinsetzen beim Eliminationsverfahren Householder für lineare Gleichungssysteme 210