Numerische Mathematik für Anfänger

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1 Gerhard Opfer Numerische Mathematik für Anfänger Eine Einführung für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker 5., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit zahlreichen Abbildungen, Beispielen und Programmen STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort. v Inhaltsverzeichnis ix Liste der Beispiele. xiii Liste der Tabellen xvi Liste der Figuren... xvii Liste der Programme xix Zahldarstellung und Rundungsrehler 1 l.1 Maschinenzahlen I l. I.t Relativer und absoluter Fehler _ I Gleitpunktdarstellung 2 l.2 Fehler beim Rechnen Aufgaben Auswertung elementarer Funktionen Gewöhnliche Polynome Trigonometrische Polynome Rationale Funktionen Aufgaben 33 3 Interpolation Polynom-Interpolation Fehler der Interpolation Hermite-lnterpolation Fehler der Hermite-Interpolation Trigonometrische Interpolation Interpolation in linearen Räumen Radiale Funktionen Rationale Interpolation Aufgaben 78

3 x Numerische Mathematik 4 Splines 4. I Einführung. 4.2 Lineare Splines 4.3 Quadratische Splines 4.4 Kubische Splines 4.5 Lokale Splines B-Splines Rekursive Definition der B-Splines Der von den B-Splines aufgespannte Raum k,t Stückweise polynomiale Funktionen in k,t B-Splines auf einem Intervall Auswertung von Splines in k,t und die Berechnung der Ableitung InteflJolation mit B-Splines in k.t B-Splines als CAD-Werkzeug 4.7 Aufgaben Numerische Integration 5.1 InteflJolatorische Formeln 5.2 Zusammengesetzte Formeln 5.3 Konvergenzuntersuchungen 5.4 Extrapolation und Adaption 5.5 Gauß-Quadratur 5.6 Integration singulärer Funktionen Regularisierung Anwendung der Gauß-Quadratur 5.7 Aufgaben Lineare Gleichungssysteme 6. J AufgabensteIlung. 6. J.J Matrizen 6.2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren 6.2. I Pivotsuche Gauß-Variationen, Cholesky-Zcrlegung Mehrere rechte Seiten 6.3 Iterative Lösungsverfahren 6.4 Methode der konjugierten Gradienten 6.5 Aufgaben J

4 Inhalt Xl 7 Lineare Optimierung AufgabensteIlung Basisvektoren Das Simplexverfahren Praktische Durchführung Modifikationstechniken Aufgaben Ausgleichs- und Approximationsprobleme Normen von Vektoren und linearen Abbildungen Lineare Approximation Überbestimmte Gleiehungssysteme Ausgleiehung im quadratischen Mittel Householder-Transfonnationen, QR-Zerlegungen Herstellung einer Bidiagonalform Ausgleiehung in der Summen- und Maximumnorm Approximation von Funktionen Tschebyscheff-Approximation Approximation von Funktionen in der L2-Nonn WaveJets und Multiskalen-Analyse Basen in unendlich-dimensionalen Räumen Waveletkonstruktion mit Hilfe eines Urwavelets Waveletkonstruklion mit Hilfe einer Multiskalen-Analyse (MSA) Orthogonale Wavelets auf kompakten Trägern Die Wertebestimmung einer Skalierungsfunklion Die praktische Durchführung einer MSA Anwendung einer MSA auf gestörte Signale Aufgaben Matrixeigenwerte und -eigenvektoren AufgabensteIlung und elementare Eigenschaften Das von-mises-verfahren (Potenzmethode) Die inverse von-mises-lleration Das QR-Verfahren Der Lanczos-Algorilhmus 318

5 xii Numerische Mathematik 9.6 Berechnung der Singulärwerte Beispiele Von-Mises-Verfahren Inverses von-mises-verfahren QR-Verfahren Lanczos-Algorithmus Singulärwertberechnung Aufgaben Nichtlineare Gleichungen und Systeme AufgabensteIlung Hilfsmittel aus der Analysis Fixpunktiterationen Das Newton-Verfahren Konvergenz für lineare Probleme Eindimensionale Probleme Biseklion Regula falsi Sekantenverfahren Das vereinfachte Sekantenverfahren Fixpunktverfahren Das Newton-Verfahren für eine Dimension Nullstellen von Polynomen Aufgaben 362 Anhang: Alphabete 367 Literaturverzeichnis 368 Stichwortverzeichnis Hinweis: Die Beispiele, Tabellen,..., Sätze, Definitionen etc. sind injedem Kapitel einheitlich durchlaufend numerien, mit vorangestellter Kapitelnummer. Dasselbe gilt für die Formelnummern, für die nach gleichem Muster eine separate Durchnumerierung existiert. Die (Unter-) Abschnittsnummern werden also nicht in das Numerierungssystem übernommen. 375

6 Inhalt Liste der Beispiele Xlii 1.4 Maschinendarstellung von Binärzahlen Auswertung eines Polynoms mit Horner-Schema 16 Horner-Sehema zur Umrechnung in andere Zahldarstellungen 16 Vorkommen von Polynomen Schnelle Fouriertransformation für N = 4 24 Division von Polynomen. 28 Wiederholte Division von Polynomen Einfache Interpoiationspolynome.. Inverse Interpolation mit Hilfe des Neville-Sehemas Bestimmung eines Interpolationspolynoms durch vier Punkte. Hermite-Interpolation mit Doppelknoten Hermite-Interpolation mit zwei Knoten. Trigonometrische Interpolation der Wurzel Unlösbarkeit von Interpolationsproblemen Radiale Funktionen Radiale Matrix. Lineare Splines Interpolation durch rationale Funktionen Pole bei der rationalen Interpolation... Vergleich rationaler mit polynomialer Interpolation Interpolationsfehler von JjtT in [-1,1]. Interpolation durch einen linearen Spline Quadratischer Interpolationsspline. Kubische Splineinterpolation Lokale, lineare, quadratische, kubische Splines Interpolation von J(t) := t sin(t) mit lokalem, kubischem Spline Bernstein-Polynome als B-Splines.. Lokaler Charakter von B-Spline-Summen Quadratische Splineinterpolation mit B-Splines Kubische Splineinterpolation mit B-Splines.. Zeichnen von Bezier-Kurven mit verschiedenen B-Splines

7 XIV Numerische Mathematik 5.2 Integrationsformeln für einen bis vier Knoten Ordnung der Rechtecksregel Ordnung der Simpson-Regel Abschätzung des Quadraturfehlers Gauß-Tschebyscheff-Formeln Gauß-Quadraturformel der Ordnung Vier Dreitermrekursion für stückweise lineares Gewicht Zweitermrekursion für Tschebyscheff-Polynome Integration einer singulären Funktion Integration einer singulären Funktion mit Gauß-Quadratur Produktionsmodell von Leontief Links-Rechts-Zerlegungen im Vergleich Lösung eines linearen Gleichungssystems Kleines Residuum und großer Fehler Verschiedene Dreieckszerlegungen diaga, AL, AR für n = Anwendung des GSV und ESV Vandermonde-Matri x Modellproblem Emährungsplan Umwandlung von Nebenbedingungen Lösung eines linearen Optimierungsproblems Modifikationstechniken Normen in endlich-dimensionalen Räumen Normen in Funktionenräumen Normen von Matrizen und Matrixnormen Kondition einer 2 x 2-Matrix Tschebyscheff-Approximation Approximation in LI Periodische Schwingungen Nichtexistenz von besten Approximationen Mehrere beste Approximationen..237

8 Inhalt xv 8.23 Datenapproximation Lz als Vektorraum mit Skalarprodukt Approximation durch eine Gerade Lineare Regression QR-Zerlegung für einen einzigen Vektor Householder-Verfahren, Lösung eines linearen Gleichungssystems BidiagonaJform Berechnung der Quadratwurlel Approximation der Monome t" Gram-Schmidt-Verfahren Basen für {p-räume Haarsches Wavelet Experimenl I: MSA: Anwendung auf ein einheitlich gestörtes Signal Experimenl 2: MSA: Anwendung auf ein nur in [1, 3J gestörtes Signal Experiment 3: MSA: Anwendung auf zwei verschieden starke Störungen Experiment 4: MSA: Wie Experiment I, jedoch mit Datenkompression Eulerscher Knickstab Schwingende Saite Dimension von Eigenräumen Eigenwerte einer Diagonalmatrix SingulärwertzerJegung eines Vektors Instabile Produkt bildung B+B von-mises-verfahren, verschiedene Beispiele Singulärwerte einer reellen Matrix Singulärwerte einer komplexen Matrix Konvergenzordnung Eintauchtiefe eines Holzstammes Fixpunktiteration mit zwei Variablen Fixpunktiteration für f(x) := X Z Kontraktionssalz für eine Dimension Kontraktionssatz für zwei Dimensionen Allgemeines zweidimensionales Newton-Verfahren ,24 Nullstellen der komplexen Funktion g(z) := e Z - z 345

9 xvi Numerische Mathematik Einzugsbereiche des Newton-Verfahrens für g(x) := x 3 + i = Bisektion für g(x) := r(x) - x Regula falsi für g(x) := r(x) - x Sekantenverfahren für g(x) := r(x) - x Vereinfachtes Sekantenverfahren für g(x) := r(x) - X Zyklen im Newton-Verfahren Nullstellen komplexer PoJynome Untere Schranken für PolynomnuJlsteilen 36J Obere Schranken für Polynomnullstellen.362 Liste der TabeHen 1.1 Gleitpunktdarstellung verschiedener Dezimalzahlen Maschinenzahlen mit zweisteiliger Mantisse Relative Fehler von dreisteiligen Dualzahlen Horner-Schema fürp3(2) aus Beispiel Umrechnung der Dezimalzahl 389 in eine Binäfzahl Gewinne aus Maschinenkauf Verzinsung nach Maschinenkauf Schnelle Fouriertransformation für N = Daten des Fourierpolynoms J8 Schnelle Auswertung eines Fourierpolynoms Ergebnisse aus dem Kellenbruchprogramm Schema der dividierten Differenzen Neville-Schema Neville-Schema zur inversen Interpolation Dividierte Differenzen für (0, 1), (1,2), (3,3), (4,2) Neville-Formel Aitken-Forrnel Herrnite-Interpolation der Daten (3.37) Trigonometrische Interpolation der Wurzel für N = Beispiele von Haarschen Räumen Funktionen g, die nicht-singuläre radiale Matrizen M definieren 70

10 Inhalt xvii 4.2 Fehler En-l und Fehlerordnung Ü' bei n Knoten Dividierte Differenzen für quadratische Splines Dividierte Differenzen für kubische Splines Interpoiations- und Splineknoten für einen quadratischen Spline Ergebnjsse adaptives Simpson mit berechneten Knoten Orthogonale Polynome für verschiedene Gewichte 'Y Orthogonale Polynome q, Knoten x, Gewichte w bei Gewichtsfunktion 0 ~ O Berechnung von I(J) = Jo 1 cos xx-. dx mit der Mittelpunktsformel ohne und mit Abziehen der Singularität und mit Gauß-Integration Übersicht über Matrix-Notationen Operationszahlen bei der Gauß-Elimination GSV und ESV für Beispiel 6.17 mit c k = maxi=1.2,3ix~-1 - x Operationszahlen für das Gaußsehe Eliminationsverfahren bei kleinen n Vektor- und zugehörige Operatornorm Skalierungskoeffizienten hk von 4q, und Werte 4q,(k) Beispiel einer MSA mit 4 Daubechies-Koeffizienten (8.102), S Lösungen der diskretisierten Eigenwertaufgabe (9.4) von-mises-iteration Inverse von-mises-iteration WerteÜ'k+l =sinü'k f Fixpunktiteration für Z:=.x + iy = logz mit Fehlerabschätzungen 339 Z Newton-Verfahren für g(z) := e - Z = O Bisektionsverfahren für g(x) := f(.x) - x Regula falsi für g(x) := f(x) - x Sekantenverfahren für g(x) := f(x) -:I: 356 IOAI Vereinfachtes Sekantenverfahren für g(x) := f(x) -.x Beispiele zur NullstelIenbestimmung. 364 Liste der Figuren 3.21 Zur inversen Interpolation, Beispiel