4.8.1 Shortley Weller-Approximation Interpolation in randnahen Punkten... 81

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Partielle Differentialgleichungen und ihre Typeneinteilung Beispiele Typeneinteilungen bei Gleichungen zweiter Ordnung Typeneinteilungen bei Systemen erster Ordnung Unterschiedliche Eigenschaften der verschiedenen Typen Literatur Die Potentialgleichung Problemstellung Singularitätenfunktion Mittelwerteigenschaft und Maximumprinzip Stetige AbhängigkeitvondenRanddaten Die Poisson-Gleichung Problemstellung Green sche Funktion und Lösungsdarstellung Existenz einer Lösung Die Green sche Funktion fürdiekugel Die Neumann-Randwertaufgabe Die Integralgleichungsmethode Differenzenmethode für die Poisson-Gleichung Einführung: Der eindimensionale Fall Fünfpunktformel M-Matrizen, Matrixnormen und positiv definite Matrizen Eigenschaften der Matrix L h Konvergenz Differenzenverfahren höhererordnung Die Diskretisierung der Neumann-Randwertaufgabe Einseitige Differenz für u/ n Symmetrische Differenz für u/ n Symmetrische Differenz für u/ n im verschobenen Gitter Beweis des Stabilitätsatzes Diskretisierung der Poisson-Gleichung im beliebigen Gebiet

2 X Inhaltsverzeichnis Shortley Weller-Approximation Interpolation in randnahen Punkten Allgemeine Randwertaufgaben Dirichlet-Randwertaufgaben für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Problemstellung Maximumprinzip Eindeutigkeit der Lösung und stetige Abhängigkeit Differenzenverfahren für die allgemeine Differentialgleichung zweiterordnung Green schefunktion AllgemeineRandbedingungen Formulierung der Randwertaufgabe Differenzenverfahren bei allgemeinen Randbedingungen Randwertaufgaben höhererordnung Die biharmonische Differentialgleichung Allgemeine lineare Differentialgleichung der Ordnung 2m Diskretisierung der biharmonischen Differentialgleichung Exkurs über Funktionalanalysis Banach-Räume und Hilbert-Räume Normierte Räume Operatoren Banach-Räume Hilbert-Räume Sobolev-Räume Der Raum L 2 (Ω) Die Räume H k (Ω) und H0 k (Ω) Fourier-Transformation und H k (R n ) H s (Ω) für reelles s Spur- und Fortsetzungssätze Dualräume Dualraum eines normierten Raumes AdjungierteOperatoren Skalen von Hilbert-Räumen KompakteOperatoren Bilinearformen Variationsformulierung Historische Bemerkungen zum Dirichlet-Prinzip Gleichungen mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen Dirichlet-Randbedingung SchwacheFormulierung H0 m (Ω)-Elliptizität H0 m (Ω)-Koerzivität Inhomogene Dirichlet-Randbedingung NatürlicheRandbedingungen

3 Inhaltsverzeichnis XI Variation in H m (Ω) Konormale Randbedingung Schiefe Randbedingungen Randbedingungen bei m Weitere Randbedingungen Pseudodifferentialgleichungen Die Methode der finiten Elemente HistorischeBemerkungen DasRitz Galerkin-Verfahren Grundlagen Analyse der diskreten Gleichung Lösbarkeit des diskreten Problems Beispiele Fehlerabschätzungen Quasioptimalität Konvergenz der Ritz Galerkin-Lösungen Ritz-Projektion Weitere Stabilitäts- und Fehlerabschätzungen FiniteElemente Einführung: Lineare Elemente für Ω =(a, b) Lineare Elemente für Ω R Bilineare Elemente für Ω R Quadratische Elemente für Ω R Elemente für Ω R Behandlung von Nebenbedingungen Fehlerabschätzungen bei Finite-Element-Verfahren Vorbereitungen Eigenschaften von Folgen von Finite-Element-Räumen H 1 -Abschätzungen für lineare Elemente L 2 -Abschätzungen fürlineareelemente Verallgemeinerungen Fehlerabschätzungen für andere Elemente Finite Elemente für Gleichungen höherer Ordnung Finite Elemente für Nichtpolygon-Gebiete A-posteriori-Fehlerabschätzungen, Adaptivität A-posteriori-Fehlerabschätzungen Effizienz der Finite-Element-Methode Adaptive Finite-Element-Methode Eigenschaften der Systemmatrix Zusammenhang von L und L h Normäquivalenzen und Massematrix Inverse Abschätzung und Kondition von L Elementmatrizen Positivität,Maximumprinzip WeitereHinweise Gemischte bzw. hybride finite Elemente NichtkonformeElemente

4 XII Inhaltsverzeichnis NichtzulässigeTriangulationen Trefftz-Verfahren Finite-Element-Verfahren für singuläre Lösungen HierarchischeBasen Superkonvergenz Die Mörtelmethode ( mortar finite elements ) Verwandte Diskretisierungen Regularität Lösungen der Randwertaufgabe in H s (Ω), s>m Das Regularitätsproblem Regularitätssätze für Ω = R n Regularitätssätze für Ω = R n Regularitätssätze für allgemeines Ω R n Regularität bei konvexem Gebiet und Gebieten mit Ecken Innere Regularität Regularitätsabschätzung Verhalten der Singularitätenfunktion und der Green schen Funktion Regularitätseigenschaften der Differenzengleichungen Diskrete H 1 -Regularität Konsistenz Optimale Fehlerabschätzungen H m+θ 0,h -Regularität für 1/2 <θ<1/ Hh 2 -Regularität Innere Regularität Spezielle Differentialgleichungen Differentialgleichungen mit unstetigen Koeffizienten Formulierung Finite-Element-Diskretisierung Diskretisierung mittels Differenzenverfahren Unstetige Koeffizienten der ersten oder nullten Ableitungen Ein singulär gestörtesproblem Die Konvektionsdiffusionsgleichung Stabile Differenzenschemata FiniteElemente Eigenwertprobleme elliptischer Operatoren Formulierung der Eigenwertprobleme Finite-Element-Diskretisierung Diskretisierung Qualitative Konvergenzresultate Quantitative Konvergenzresultate KonsistenteProbleme Diskretisierung durch Differenzenverfahren WeitereAnmerkungen

5 Inhaltsverzeichnis XIII 12 Stokes-Gleichungen Elliptische Differentialgleichungssysteme Variationsformulierung Schwache Formulierung der Stokes-Gleichungen Sattelpunktprobleme Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eines Sattelpunktproblems Lösbarkeit und Regularität des Stokes-Problems Eine V 0 -elliptische Variationsformulierung der Stokes-Gleichung Finite-Element-Methode für das Stokes-Problem Finite-Element-Diskretisierung des Sattelpunktproblems Stabilitätsbedingungen Stabile Finite-Element-Räume für das Stokes-Problem Divergenzfreie Ansätze A Lösungen der Übungsaufgaben LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel LösungenzuKapitel Literaturverzeichnis Sachverzeichnis

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