10 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches Problem

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1 1 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches Problem In diesem Kapitel untersuchen wir die Approximation von Lösungen der Modell-Wärmeleitungsgleichung in zwei räumlichen Dimensionen mithilfe der Galerkin-Methode, die stückweise lineare Testfunktionen benutzt. In Abschnitt 1.1 betrachten wir die Diskretisierung nur hinsichtlich der räumlichen Variablen. In dem folgenden Abschnitt 1.2 untersuchen wir einige vollständig diskrete Schemata. 1.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente Sei Ω R 2 eine abgeschlossene, konvexe Menge mit glattem Rand Γ. Wir betrachten das Anfangs-Randwertproblem (1.1) u t u = f in Ω R +, u = auf Γ R +, u(, ) = v in Ω, wobei u t für u/ t und für den Laplace-Operator 2 / x / x 2 2 steht. Im ersten Schritt werden wir die Lösung u(x, t) mithilfe einer Funktion u h (x, t) approximieren, die für jedes feste t eine stückweise lineare Funktion von x über einer Triangulation T h von Ω ist und somit von einer endlichen Anzahl von Parametern abhängt. Es bezeichne also T h = {K} eine Triangulation von Ω von einem im Abschnitt 5.2 betrachteten Typ. Es seien {P j } M h die inneren Knoten von T h. Darüber hinaus bezeichnen wir mit S h die stückweise linearen Funktionen auf T h, die auf Ω verschwinden. Dabei sei {Φ j } M h die zu den Knoten {P j} M h gehörige Standardbasis von S h. Erinnern Sie sich an die Definition (5.28) der Interpolierten I h : C ( Ω) S h und an die Fehlerschranken (5.34) mit r = 2. Um eine approximative Lösung des Anfangs-Randwertproblems (1.1) zu definieren, schreiben wir dieses wie in Abschnitt 8.3 zunächst in schwacher

2 158 1 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches Problem Form, d. h. mit den obigen Definitionen als (1.2) (u t, ϕ) + a(u, ϕ) = (f, ϕ) ϕ H 1, t >. Wir stellen nun das Approximationsproblem, ein für jedes t zu S h gehöriges u h (t) = u h (, t) so zu bestimmen, dass (1.3) (u h,t, χ) + a(u h, χ) = (f, χ) χ S h, t >, u h () = v h erfüllt ist, wobei v h S h eine Approximation von v ist. Da wir nur in den räumlichen Variablen diskretisiert haben, wird dies als ein räumlich semidiskretes Problem bezeichnet. Im nächsten Abschnitt werden wir auch in der Zeitvariablen diskretisieren, was zu vollständig diskreten Schemata führt. Das semidiskrete Problem kann mithilfe der Basis {Φ j } M h folgendermaßen gestellt werden: Gesucht sind die Koeffizienten α j (t) in sodass M h u h (x, t) = α j (t)φ j (x), M h M h α j(t)(φ j, Φ k ) + α j (t)a(φ j, Φ k ) = (f(t), Φ k ), k = 1,..., M h gilt. Dabei bezeichnen die γ j die Knotenwerte der gegebenen Anfangsfunktion v h mit α j () = γ j, j = 1,..., M h. In Matrixdarstellung kann dies in der Form (1.4) Bα (t) + Aα(t) = b(t) für t > mit α() = γ ausgedrückt werden, wobei B = (b kj ) die Massenmatrix mit den Elementen b kj = (Φ j, Φ k ), A = (a kj ) die Steifigkeitsmatrix mit a kj = a(φ j, Φ k ), b = (b k ) der Vektor mit den Elementen b k = (f, Φ k ), α(t) der Vektor der Unbekannten α j (t) und γ = (γ j ) ist. Die Dimension dieser Objekte ist gleich der Anzahl M h der inneren Knoten von T h. Wir wissen aus Abschnitt 5.2, dass die Steifigkeitsmatrix A symmetrisch positiv definit ist und dies auch für die Massenmatrix B zutrifft, weil M h k, M h 2 ξ j ξ k (Φ j, Φ k ) = ξ j Φ j gilt und weil die Gleichheit nur auftreten kann, wenn der Vektor ξ = ist. Insbesondere ist B invertierbar, weshalb das obige gewöhnliche Differentialgleichungssystem in der Form

3 1.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente 159 α (t) + B 1 Aα(t) = B 1 b(t) für t > mit α() = γ geschrieben werden kann und somit offensichtlich für positive t eine eindeutige Lösung besitzt. Wir beginnen unsere Analyse mit Betrachtungen zur Stabilität der semidiskreten Methode. Wegen u h S h können wir in (1.3) χ = u h wählen, wodurch wir (u h,t, u h ) + a(u h, u h ) = (f, u h ) für t > d oder, weil der erste Term gleich 1 2 dt u h 2 und der zweite nichtnegativ ist, 1 2 erhalten. Daraus ergibt sich d dt u h 2 = u h d dt u h f u h d dt u h f, was nach Integration auf die Stabilitätsabschätzung (1.5) u h (t) v h + f ds führt. Damit wir Gleichung (1.3) in Operatorform aufschreiben können, führen wir einen diskreten Laplace-Operator h ein, den wir als Operator aus S h in sich selbst betrachten, der durch (1.6) ( h ψ, χ) = a(ψ, χ) ψ, χ S h definiert ist. Dieses diskrete Analogon zur Greenschen Formel definiert h ψ = Mh d jφ j eindeutig durch M h d j (Φ j, Φ k ) = a(ψ, Φ k ), k = 1,..., M h, weil die Matrix dieses Systems die positiv definite Massenmatrix ist, die uns bereits oben begegnet ist. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass der Operator h selbstadjungiert und h positiv definit in S h bezüglich des L 2 - Skalarproduktes ist (siehe Problemstellung 1.3). Die Gleichung (1.3) kann nun in der Form (u h,t h u h P h f, χ) = χ S h geschrieben werden, wobei P h die L 2 -Projektion auf S h bezeichnet. Wenn wir andererseits beachten, dass der erste Faktor in S h ist, sodass χ gleich diesem Ausdruck gewählt werden kann, folgt

4 16 1 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches Problem (1.7) u h,t h u h = P h f für t > mit u h () = v h. Wir bezeichnen mit E h (t) den Lösungsoperator im homogenen Fall der semidiskreten Gleichung (1.7) mit f =. E h (t) ist also der Operator, der die Anfangsdaten u h () = v h in die Lösung u h (t) zur Zeit t überführt, sodass u h (t) = E h (t)v h gilt. Man kann dann leicht zeigen (siehe Duhamel-Prinzip (8.22)), dass die Lösung des Anfangswertproblems (1.7) (1.8) u h (t) = E h (t)v h + E h (t s)p h f(s) ds ist. Wir bemerken nun, dass aus (1.5) die Stabilität von E h (t) in L 2 folgt, es gilt also (1.9) E h (t)v h v h v h S h. Da P h in L 2 auch die Norm eins hat, bestätigt dies zusammen mit (1.8) die Stabilitätsabschätzung (1.5) für die inhomogene Gleichung. Es ist also wirklich ausreichend, die Stabilität für die homogene Gleichung zu beweisen. Wir werden nun die folgende Abschätzung für die Abweichung der Lösung des semidiskreten Problems gegenüber der Lösung des kontinuierlichen Problems beweisen. Theorem 1.1. Seien u h und u die Lösungen von (1.3) und (1.1). Dann gilt u h (t) u(t) v h v + Ch 2( ) v 2 + u t 2 ds für t. Hier fordern wir wie gewöhnlich, dass die Lösung des kontinuierlichen Problems die Regularität besitzt, die implizit durch die Anwesenheit der Normen auf der rechten Seite angenommen wird. Beachten Sie außerdem, dass die Gleichung (5.31) für v h = I h v zeigt, dass (1.1) v h v Ch 2 v 2 gilt, was bedeutet, dass der erste Term auf der rechten Seite durch den zweiten dominiert wird. Dasselbe trifft auf den Fall v h = P h v zu, wobei P h die orthogonale Projektion des L 2 auf S h ist, weil diese Wahl die beste Approximation von v in S h bezüglich der L 2 -Norm darstellt (siehe (5.39)). Eine andere Wahl optimaler Ordnung ist v h = R h v, wobei R h die elliptische (Ritzsche) Projektion auf S h ist, die in (5.49) durch (1.11) a(r h v, χ) = a(v, χ) χ S h definiert wurde. Deshalb ist R h v die Finite-Elemente-Approximation der Lösung des elliptischen Problems, dessen exakte Lösung v ist. Wir wiederholen die Fehlerabschätzungen aus Theorem 5.5: (1.12) R h v v + h R h v v 1 Ch s v s für s = 1, 2. Wir kommen nun zum

5 1.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente 161 Beweis von Theorem 1.1. Im Hauptteil des Beweises werden wir die Lösung des semidiskreten Problems mit der elliptischen Projektion der exakten Lösung vergleichen. Wir schreiben dazu (1.13) u h u = (u h R h u) + (R h u u) = θ + ρ. Der zweite Term kann unter Verwendung von (1.12) offensichtlich leicht durch ρ(t) Ch 2 u(t) 2 = Ch 2 v + u t ds Ch 2( ) v 2 + u t 2 ds 2 abgeschätzt werden. Zum Abschätzen von θ stellen wir fest, dass (1.14) (θ t, χ) + a(θ, χ) = (u h,t, χ) + a(u h, χ) (R h u t, χ) a(r h u, χ) = (f, χ) (R h u t, χ) a(u, χ) = (u t R h u t, χ) oder (1.15) (θ t, χ) + a(θ, χ) = (ρ t, χ) χ S h gilt. Bei dieser Herleitung haben wir (1.3), (1.2), die Definition von R h in (1.11) und die leicht zu überprüfende Tatsache benutzt, dass dieser Operator mit der Zeitableitung kommutiert, d. h. R h u t = (R h u) t gilt. Wir können nun die Stabilitätsabschätzung (1.5) auf (1.15) anwenden und erhalten Hier gilt θ(t) θ() + ρ t ds. θ() = v h R h v v h v + R h v v v h v + Ch 2 v 2 und ferner ρ t = R h u t u t Ch 2 u t 2. Zusammen beweisen diese Abschätzungen das Theorem. Wir sehen aus dem Beweis von Theorem 1.1, dass die Fehlerabschätzung für das semidiskrete parabolische Problem eine Konsequenz aus der Stabilität dieses Problems und der Fehlerabschätzung des elliptischen Problems, ausgedrückt in der Form ρ = (R h I)u, ist. Wiederholen wir das Maximumprinzip für parabolische Gleichungen, Theorem 8.7, stellen wir sofort fest, dass für den Lösungsoperator E(t) im homogenen Fall des Anfangs-Randwertproblems (1.1) die Abschätzung E(t)v C v C für t gilt. Das zugehörige Maximumprinzip gilt für das Finite- Elemente-Problem nicht. Man kann allerdings zeigen, dass im Falle einer quasiuniformen Familie {T h } von Triangulationen (vgl. (5.52)) für ein C > 1

6 162 1 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches Problem E h (t)v h C C v h C für t gilt. Dies kann mit der Fehlerabschätzung (5.53) für das stationäre Problem kombiniert werden, um eine Fehlerabschätzung für das parabolische Problem in der Maximumnorm beweisen zu können. In diesem Zusammenhang erwähnen wir eine Variante des semidiskreten Problems (1.2), für das mitunter ein Maximumprinzip gilt. Dabei handelt es sich um die Lumped-Mass-Methode. Zu deren Definition ersetzen wir die Matrix B in (1.4) durch eine Diagonalmatrix B, in der sich die Diagonalelemente aus der Summe der Zeilenelemente ergeben. Man kann zeigen, dass diese Methode auch durch (1.16) (u h,t, χ) h + a(u h, χ) = (f, χ) χ S h für t > definiert werden kann, wobei das Skalarprodukt im ersten Term durch Berechnung des ersten Terms in (1.2) mithilfe der Knotenquadraturregel (5.64) zustande gekommen ist. Für diese Methode kann man eine Fehlerabschätzung der Ordnung O(h 2 ) herleiten, die der aus Theorem 1.1 ähnelt. Wenn wir nun annehmen, dass alle Triangulationswinkel kleiner gleich π/2 sind, dann sind die Nichtdiagonalelemente der Steifigkeitsmatrix A nichtpositiv. Daraus folgt, dass für den Lösungsoperator Ēh(t) des modifizierten Problems gilt. Ēh(t)v h C v h C für t Kehren wir zur gewöhnlichen Galerkin-Methode (1.1) zurück. Wir beweisen nun die folgende Abschätzung des Fehlers im Gradienten. Theorem 1.2. Unter den Annahmen von Theorem 1.1 gilt für t { u h (t) u(t) 1 v h v 1 + Ch v 2 + u(t) 2 + ( ) 1/2 } u t 2 1 ds. Beweis. Wie vorhin schreiben wir den Fehler in der Form (1.13). An dieser Stelle gilt wegen (1.12) ρ(t) 1 = R h u(t) u(t) 1 Ch u(t) 2. Um θ abzuschätzen, benutzen wir wiederum (1.15), nun mit χ = θ t. Wir erhalten θ t d 2 dt θ 2 1 = (ρ t, θ t ) 1 2 ( ρ t 2 + θ t 2 ), sodass d dt θ 2 1 ρ t 2 oder

7 1.1 Die semidiskrete Galerkin-Methode der finiten Elemente 163 θ(t) 2 1 θ() ρ t 2 ds ( ) t 2 v h v 1 + R h v v 1 + ρ t 2 ds gilt. Hieraus schlussfolgern wir wegen a 2 + b 2 ( a + b ) 2 und (1.12) { (1.17) θ(t) 1 v h v 1 + Ch v 2 + was den Beweis abschließt. ( ) 1/2 } u t 2 1 ds, Beachten Sie, dass im Falle v h = I h v oder R h v v h v 1 Ch v 2 gilt, sodass der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung aus Theorem 1.2 durch den zweiten dominiert wird. Wir machen nun bezüglich θ = u h R h u folgende Beobachtung: Wenn wir v h = R h v so wählen, dass θ() = ist, dann gilt zusätzlich zu (1.17) ( ) ( 1/2 θ(t) 1 ρ t 2 ds Ch 2 1/2. u t 2 2 ds) Somit ist der Gradient von θ von zweiter Ordnung O(h 2 ), während der Gradient des Gesamtfehlers für h lediglich von der Ordnung O(h) ist. Folglich ist u h eine bessere Approximation für R h u als es für u möglich ist. Dies ist ein Beispiel für ein Phänomen, das manchmal als Superkonvergenz bezeichnet wird. Der oben eingeführte Lösungsoperator E h (t) besitzt ebenfalls Glättungseigenschaften, die denen in Abschnitt 8.2 für das kontinuierliche Problem entsprechen, sodass beispielsweise E h (t)v h 1 Ct 1/2 v h für t >, v h S h und (1.18) D k t E h (t)v h = k h E h (t)v h C k t k v h für t >, v h S h gilt. Solche Resultate können verwendet werden, um beispielsweise die folgenden Fehlerabschätzungen für die homogene Gleichung im Falle nichtglatter Daten zu zeigen. Theorem 1.3. Ws gelte f = und seien u h und u die Lösungen von (1.3) beziehungsweise (1.1), wobei die Anfangsdaten für (1.3) als v h = P h v gewählt werden. Dann gilt u h (t) u(t) Ch 2 t 1 v für t >.

8 164 1 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches Problem Den Beweis überlassen wir dem Leser als Übung (siehe Problemstellung 1.4). Dieses Resultat zeigt, dass die Konvergenzrate für t > von der Ordnung O(h 2 ) ist. Dies trifft auch dann zu, wenn wir lediglich annehmen, dass v in L 2 ist. Die oben vorgestellte Theorie lässt sich unter geeigneten Annahmen für die Regularität der Lösung einfach auf finite Elemente höherer Ordnung übertragen. Gilt also im Raum der finiten Elemente (1.19) R h w w Ch r w r w H r H 1, dann können wir das folgende Theorem zeigen. Theorem 1.4. Seien u h und u die Lösungen von (1.3) beziehungsweise (1.1) und sei Gleichung (1.19) erfüllt. Dann gilt für ein geeignet gewähltes v h u h (t) u(t) Ch r( v r + ) u t r ds für t. Wir wissen bereits aus Gleichung (5.5), dass für r > 2 die Abschätzung (1.19) für stückweise Polynome vom Grad r 1 gilt, die Regularitätsannahme w H r H 1 für ein polygonales Gebiet Ω dann aber etwas unrealistisch ist. Für ein Gebiet Ω mit einem glatten Rand Γ sind spezielle Betrachtungen in der Grenzschicht Ω \ Ω h notwendig. 1.2 Einige vollständig diskrete Schemata Wir wenden unsere Aufmerksamkeit nun einigen einfachen Schemata zu, die auch bezüglich der Zeit eine Diskretisierung vornehmen. Es sei S h wie vorhin der Raum stückweise linearer Finite-Elemente-Funktionen. Wir beginnen mit dem Rückwärts-Euler-Galerkin-Verfahren. Sei k der Zeitschritt und U n S h die Approximation von u(t) an der Stelle t = t n = nk. Dann wird diese Methode dadurch definiert, dass die Zeitableitung in (1.3) durch einen Rückwärts- Differenzenquotienten ersetzt wird. Mit t U n = k 1 (U n U n 1 ) gilt also (1.2) ( t U n, χ) + a(u n, χ) = (f(t n ), χ) χ S h, n 1, U = v h. Ist U n 1 gegeben, dann wird U n damit implizit über das diskrete elliptische Problem (U n, χ) + ka(u n, χ) = (U n 1 + kf(t n ), χ) χ S h definiert. Wenn wir U n mithilfe der Basis {Φ j } M h als U n (x) = M h αn j Φ j(x) ausdrücken, können wir diese Gleichung in der in Abschnitt 1.1 eingeführten Matrixnotation als

9 1.2 Einige vollständig diskrete Schemata 165 Bα n + kaα n = Bα n 1 + kb n für n 1 schreiben, wobei α n der Vektor mit den Komponenten α n j oder α n = (B + ka) 1 Bα n 1 + k(b + ka) 1 b n für n 1 mit α = γ ist. Wir beginnen unsere Analyse des Rückwärts-Euler-Verfahrens damit, die unbedingte Stabilität dieser Methode zu zeigen. Das heißt, dass diese Methode unabhängig von der Relation zwischen h und k stabil ist. Wählen wir in (1.2) χ = U n, so gilt wegen a(u n, U n ) ( t U n, U n ) f n U n, wobei f n = f(t n ) ist, oder U n 2 (U n 1, U n ) k f n U n. Wegen (U n 1, U n ) U n 1 U n zeigt dies woraus durch wiederholte Anwendung U n U n 1 + k f n für n 1, (1.21) U n U + k n f j folgt. Wir werden nun die folgende Fehlerabschätzung beweisen. Theorem 1.5. Sind U n und u Lösungen von (1.2) beziehungsweise (1.1) und wählen wir v h so, dass (1.1) erfüllt ist, dann gilt für n U n u(t n ) Ch 2( n ) n v 2 + u t 2 ds + Ck u tt ds. Beweis. In Analogie zu (1.13) schreiben wir U n u(t n ) = ( U n R h u(t n ) ) + ( R h u(t n ) u(t n ) ) = θ n + ρ n. Wie vorhin gilt wegen (1.12) ρ n Ch 2 u(t n ) 2 Ch 2( n ) v 2 + u t 2 ds. Diesmal führt eine der Gleichung (1.14) entsprechende Berechnung auf (1.22) ( t θ n, χ) + a(θ n, χ) = (ω n, χ) mit

10 166 1 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches Problem ω n = R h t u(t n ) u t (t n ) = (R h I) t u(t n ) + ( t u(t n ) u t (t n )) = ω n 1 + ω n 2. Wenden wir die Stabilitätsabschätzung (1.21) auf (1.22) an, erhalten wir θ n θ + k n n ω j 1 + k ω j 2. An dieser Stelle folgt wegen (1.1) und (1.12) wie vorhin θ = v h R h v v h v + v R h v Ch 2 v 2. Beachten Sie nun, dass gilt, woraus sich ω j 1 = (R h I)k 1 j k n ω j 1 n j t j 1 u t ds = k 1 j t j 1 Ch 2 u t 2 ds = Ch 2 t j 1 (R h I)u t ds n ergibt. Darüber hinaus gilt aufgrund der Taylorschen Formel ω j 2 = k 1 (u(t j ) u(t j 1 )) u t (t j ) = k 1 j und damit n k ω j 2 n j (s t j 1 )u tt (s) ds k t j 1 u t 2 ds t j 1 (s t j 1 )u tt (s) ds n u tt ds. Zusammen genommen schließen unsere Abschätzungen den Beweis des Theorems ab. Ersetzen wir in (1.2) den Rückwärts-Differenzenquotienten bezüglich der Zeit durch einen Vorwärts-Differenzenquotienten, gelangen wir zum Vorwärts- Euler-Galerkin-Verfahren. Mit t U n = (U n+1 U n )/k gilt also ( t U n, χ) + a(u n, χ) = (f(t n ), χ) χ S h, n 1, U = v h. Dies kann in Matrixform als Bα n+1 = (B ka)α n + kb n für n ausgedrückt werden. Da B keine Diagonalmatrix ist, ist diese Methode nicht explizit. Wenden wir dieses Diskretisierungsverfahren jedoch auf die semidiskrete Gleichung (1.16) in der Lumped-Mass-Methode an, bei der man B

11 1.2 Einige vollständig diskrete Schemata 167 durch eine Diagonalmatrix B ersetzt, dann wird das zugehörige Vorwärts- Euler-Verfahren zu einem expliziten Verfahren. Unter Verwendung des in (1.6) definierten diskreten Laplace-Operators kann das Vorwärts-Euler-Verfahren auch durch (1.23) U n+1 = (I + k h )U n + kp h f(t n ) für n mit U = v h definiert werden. Diese Methode ist anders als das Rückwärts-Euler-Verfahren nicht unbedingt stabil. Wir werden allerdings die Stabilität unter der Bedingung zeigen, dass die Familie {S h } dergestalt ist, dass für den größten Eigenwert λ Mh,h von h (1.24) λ Mh,h k 2 gilt. Dabei werden wir der Einfachheit halber lediglich die homogene Gleichung betrachten. Erinnern wir uns an (6.37), so stellen wir fest, dass (1.24) beispielsweise dann gilt, wenn die S h die inverse Ungleichung (6.36) erfüllen und mit der Konstanten C aus Gleichung (6.37) k 2C 1 h 2 gilt, worin sich die bedingte Stabilität zeigt. Es ist klar, dass (1.23) genau dann stabil ist, wenn (I + k h )χ χ für alle χ S h erfüllt ist. Weil h symmetrisch positiv definit ist, gilt dies genau dann, wenn alle Eigenwerte von I + k h in [ 1, 1] liegen. Aufgrund der Positivität von h entspricht dies der Forderung, dass der kleinsten Eigenwert von I + k h größer gleich 1 ist, oder dass der größte Eigenwert von h kleiner gleich 2/k ist, also (1.24) erfüllt. Sehen Sie sich dazu auch Problemstellung 1.3 an. Beachten Sie, dass das Rückwärts-Euler-Verfahren aufgrund der unsymmetrischen Wahl der Zeitdiskretisierung in der Genauigkeit lediglich von erster Ordnung ist. Deshalb kommen wir nun zum Crank-Nicolson-Galerkin- Verfahren, bei dem die semidiskrete Gleichung symmetrisch um den Punkt t n 1/2 = (n 1 2 )k diskretisiert wird. Diese Vorgehensweise führt auf ein Verfahren, das in der Genauigkeit hinsichtlich der Zeit von zweiter Ordnung ist. Genauer gesagt, definieren wir U n S h für n 1 rekursiv durch (1.25) ( t U n, χ) + a( 1 2 (U n + U n 1 ), χ) = (f(t n 1/2 ), χ) χ S h, U = v h. In der Matrixnotation nimmt dies die Form Bα n kaαn = Bα n kaαn 1 + kb n 1/2 für n 1 oder mit α = γ die Form α n = (B ka) 1 (B 1 2 ka)αn 1 + k(b ka) 1 b n 1/2, n 1 an.

12 168 1 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches Problem Dieses Verfahren ist ebenfalls unbedingt stabil, was man zeigen kann, indem man in (1.25) χ = U n + U n 1 wählt und auf der rechten Seite die Cauchy-Schwarz-Ungleichung anwendet. Dann ergibt sich k( t U n, U n +U n+1 ) = U n 2 U n 1 2 = ( U n U n 1 )( U n + U n 1 ). Unter Verwendung der Positivität von a(u n, U n ) und nach Streichen eines Faktors U n + U n 1 erhalten wir U n U n 1 + k f n 1/2 mit f n 1/2 = f(t n 1/2 ), oder nach Summation U n v h + k n f j 1/2. Diesmal ergibt sich die folgende Fehlerabschätzung. Der Beweis, den Sie in Problemstellung 1.7 ausführen sollen, verläuft analog zu dem von Theorem 1.5. Theorem 1.6. Seien U n und u die Lösungen von (1.25) beziehungsweise (1.1). Wird v h so gewählt, dass (1.1) erfüllt ist, dann gilt für n U n u(t n ) Ch 2( n ) n v 2 + u t 2 ds + Ck 2 ( uttt + u tt ) ds. 1.3 Problemstellungen Problem 1.1. Betrachten Sie das Problem (1.1) in einer räumlichen Dimension mit Ω = (, 1). Zur numerischen Lösung verwenden wir die stückweise linearen Funktionen über der Zerlegung < x 1 < x 2 <... < x M < 1, x j = jh, h = 1/(M + 1). Bestimmen Sie die Massenmatrix B und die Steifigkeitsmatrix A und schreiben Sie das semidiskrete Problem, die Rückwärts-Euler-Gleichungen und die Crank-Nicolson-Gleichungen auf. Problem 1.2. (Übung am Rechner.) Betrachten Sie das Anfangs-Randwertproblem (1.1) mit Ω = ( π, π) und v = sign x. (a) Bestimmen Sie die exakte Lösung durch Entwicklung nach Eigenfunktionen. (b) Wenden Sie das Rückwärts-Euler-Verfahren (1.2) auf der Basis stückweise linearer finiter Elemente mit v h = P h v und (h, k) = (π/5, 1/1), (π/1, 1/4) an. Bestimmen Sie den maximalen Fehler an den Gitterpunkten für t =.1,.5, 1..

13 1.3 Problemstellungen 169 Problem 1.3. (a) Zeigen Sie, dass der in (1.6) definierte Operator h : S h S h selbstadjungiert positiv definit bezüglich (, ) ist. (b) Zeigen Sie, dass mit der Notation aus Theorem 6.7 M h h v h = λ i,h (v h, ϕ i,h )ϕ i,h und h = λ Mh,h i=1 gilt. Hinweis: Die linke Seite der zweiten Gleichung ist die Operatornorm von h (siehe (A.7)). Folglich müssen Sie für alle χ S h die Beziehung h χ λ Mh,h χ zeigen, wobei Gleichheit für ein χ angenommen wird. (c) Angenommen, die Familie der Räume finiter Elemente {S h } erfüllt die inverse Ungleichung (6.36). Zeigen Sie, dass gilt. Hinweis: Sehen Sie sich (6.37) an. h Ch 2 Problem 1.4. Angenommen, es gilt f = und u h und u sind Lösungen von (1.3) beziehungsweise (1.1) mit v h = P h v. (a) Es sei v H 2 H 1. Zeigen Sie die Gültigkeit von u h (t) u(t) Ch 2 v 2 für t. (b) Es sei v L 2. Zeigen Sie die Gültigkeit u h (t) u(t) Ch 2 t 1 v für t >. Hinweis: Leiten Sie zur Lösung von Teil (a) aus (1.15) die Beziehung (1.26) θ(t) = E h (t)θ() E h (t s)p h ρ t (s) ds ab. Zerlegen Sie die Integrale gemäß = /2 + und integrieren Sie im t/2 ersten Term partiell, wodurch Sie θ(t) = E h (t)p h e() E h (t/2)p h ρ(t/2) + /2 D s E h (t s)p h ρ(s) ds t/2 E h (t s)p h ρ t (s) ds erhalten. Verwenden Sie anschließend (1.18), (1.12), (8.18) und Problemstellung 8.1. Zur Lösung von Teil (b) integrieren Sie nochmals partiell, wodurch Sie die zusätzlichen Terme D t E h (t/2)p h ρ(t/2) /2 D 2 se h (t s)p h ρ(s) ds mit ρ(t) = ρ(s) ds, ρ Ch2 ũ 2, ũ 2 C ũ und ũ(t) = u t(s) ds = u(t) v erhalten.

14 17 1 Die Methode der finiten Elemente für ein parabolisches Problem Problem 1.5. Angenommen, für die Familie der Räume finiter Elemente {S h } gilt h Ch 2 (siehe Problemstellung 1.3). Seien u h und u Lösungen von (1.3) beziehungsweise (1.1). Nehmen Sie darüber hinaus v h v Ch 2 v 2 an. Zeigen Sie die Gültigkeit von u h (t) u(t) C ( 1 + log(t/h 2 ) ) h 2 max s t u(s) 2 für t h 2. Hinweis: Integrieren Sie in (1.26) partiell, was auf θ(t) = E h (t)p h e() P h ρ(t) + D s E h (t s)p h ρ(s) ds führt. Zerlegen Sie das Integral gemäß = h 2 + und behandeln Sie t h 2 den ersten Teil wie in Problemstellung 1.4 (a). Benutzen Sie im zweiten Teil D s E h (t s) = h E h (t s) h E h (t s) Ch 2. Problem 1.6. Beweisen Sie Fehlerschranken, die analog zu denen aus Theorem 1.1 sind, wenn der elliptische Term u in (1.1) wie in Abschnitt 3.5 durch Au = (a u) + b u + cu ersetzt wird. Hinweis: Sehen Sie sich die Problemstellungen 5.7 und 8.8 an. Problem 1.7. Beweisen Sie Theorem 1.6.

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