Adaptivität II - Theorie

Transkript

1 Adaptivität II - Theorie Hubertus Bromberger, Manuel Nesensohn, Johannes Reinhardt, Johannes Schnur 8. November 2007

2 Fazit des ersten Vortrages Ein geeignet verfeinertes Gitter ermöglicht massive Einsparung von Rechenzeit Die Genauigkeit wir dabei nicht oder kaum beeinträchtigt Bisher: intuitives, manuelles Vorghen Nachteil: aufwendig, nicht optimal Ziel: Entwicklung von Methoden und Werkzeugen zur Fehlerschätzung und dadurch zielgerichtete Gitterverfeinerung

3 Die Dual Weighted Residual Methode im R n

4 Die DWR - Methode im R n Sei A, A h R n n und b, b h R n, mit b h b und A h A für h 0. Wir betrachten das Problem Ax = b,

5 Die DWR - Methode im R n Sei A, A h R n n und b, b h R n, mit b h b und A h A für h 0. Wir betrachten das Problem Ax = b, und das approximierende Problem A h x h = b h

6 Die DWR - Methode im R n Sei A, A h R n n und b, b h R n, mit b h b und A h A für h 0. Wir betrachten das Problem Ax = b, und das approximierende Problem A h x h = b h Man führt folgende Bezeichnungen ein:

7 Die DWR - Methode im R n Sei A, A h R n n und b, b h R n, mit b h b und A h A für h 0. Wir betrachten das Problem Ax = b, und das approximierende Problem A h x h = b h Man führt folgende Bezeichnungen ein: approximation error: e := x x h.

8 Die DWR - Methode im R n Sei A, A h R n n und b, b h R n, mit b h b und A h A für h 0. Wir betrachten das Problem Ax = b, und das approximierende Problem A h x h = b h Man führt folgende Bezeichnungen ein: approximation error: e := x x h. residual: ρ := b Ax h.

9 Die DWR - Methode im R n Sei A, A h R n n und b, b h R n, mit b h b und A h A für h 0. Wir betrachten das Problem Ax = b, und das approximierende Problem A h x h = b h Man führt folgende Bezeichnungen ein: approximation error: e := x x h. residual: ρ := b Ax h. Durch Einsetzen erhält man Ae = b Ax h = ρ.

10 Die DWR - Methode im R n Sei A, A h R n n und b, b h R n, mit b h b und A h A für h 0. Wir betrachten das Problem Ax = b, und das approximierende Problem A h x h = b h Man führt folgende Bezeichnungen ein: approximation error: e := x x h. residual: ρ := b Ax h. Durch Einsetzen erhält man Ae = b Ax h = ρ.

11 Das duale Problem im R n Für j R n sei J(e) = J(u) J(x h ) = (e, j), das Fehlerfunktional.

12 Das duale Problem im R n Für j R n sei J(e) = J(u) J(x h ) = (e, j), das Fehlerfunktional. Dazu betrachten wir das duale Problem A z = j.

13 Das duale Problem im R n Für j R n sei J(e) = J(u) J(x h ) = (e, j), das Fehlerfunktional. Dazu betrachten wir das duale Problem A z = j. Für das Fehlerfunktional gilt dann: J(e) = (e, j) = (e, A z) = (Ae, z) = (ρ, z),

14 Das duale Problem im R n Für j R n sei J(e) = J(u) J(x h ) = (e, j), das Fehlerfunktional. Dazu betrachten wir das duale Problem A z = j. Für das Fehlerfunktional gilt dann: J(e) = (e, j) = (e, A z) = (Ae, z) = (ρ, z), was zu folgender Ungleichung führt: J(e) n ρ i z i. i=1

15 Fazit Damit haben wir jetzt eine a posteriori Abschätzung für das Fehlerfunktional gefunden.

16 Fazit Damit haben wir jetzt eine a posteriori Abschätzung für das Fehlerfunktional gefunden. Eigenschaften des Fehlerfunktional:

17 Fazit Damit haben wir jetzt eine a posteriori Abschätzung für das Fehlerfunktional gefunden. Eigenschaften des Fehlerfunktional: Durch die Wahl von j kann man den Fehler an einem einzelnen Element oder an einer Gruppe von Elementen abschätzen.

18 Fazit Damit haben wir jetzt eine a posteriori Abschätzung für das Fehlerfunktional gefunden. Eigenschaften des Fehlerfunktional: Durch die Wahl von j kann man den Fehler an einem einzelnen Element oder an einer Gruppe von Elementen abschätzen. Wählt man z.b. j = ei erhält man eine Fehlerabschätzung für die i-te Komponente.

19 Fazit Damit haben wir jetzt eine a posteriori Abschätzung für das Fehlerfunktional gefunden. Eigenschaften des Fehlerfunktional: Durch die Wahl von j kann man den Fehler an einem einzelnen Element oder an einer Gruppe von Elementen abschätzen. Wählt man z.b. j = ei erhält man eine Fehlerabschätzung für die i-te Komponente. Wählt man z.b. j = (1,..., 1) erhält man eine Abschätzung für e e n. Also einen gemittelten Fehler.

20 Fazit Damit haben wir jetzt eine a posteriori Abschätzung für das Fehlerfunktional gefunden. Eigenschaften des Fehlerfunktional: Durch die Wahl von j kann man den Fehler an einem einzelnen Element oder an einer Gruppe von Elementen abschätzen. Wählt man z.b. j = ei erhält man eine Fehlerabschätzung für die i-te Komponente. Wählt man z.b. j = (1,..., 1) erhält man eine Abschätzung für e e n. Also einen gemittelten Fehler. Berechnung der Elemente (ρ i, z i ) der Ungleichung:

21 Fazit Damit haben wir jetzt eine a posteriori Abschätzung für das Fehlerfunktional gefunden. Eigenschaften des Fehlerfunktional: Durch die Wahl von j kann man den Fehler an einem einzelnen Element oder an einer Gruppe von Elementen abschätzen. Wählt man z.b. j = ei erhält man eine Fehlerabschätzung für die i-te Komponente. Wählt man z.b. j = (1,..., 1) erhält man eine Abschätzung für e e n. Also einen gemittelten Fehler. Berechnung der Elemente (ρ i, z i ) der Ungleichung: Die Residuen ρi sind leicht zu berechnen.

22 Fazit Damit haben wir jetzt eine a posteriori Abschätzung für das Fehlerfunktional gefunden. Eigenschaften des Fehlerfunktional: Durch die Wahl von j kann man den Fehler an einem einzelnen Element oder an einer Gruppe von Elementen abschätzen. Wählt man z.b. j = ei erhält man eine Fehlerabschätzung für die i-te Komponente. Wählt man z.b. j = (1,..., 1) erhält man eine Abschätzung für e e n. Also einen gemittelten Fehler. Berechnung der Elemente (ρ i, z i ) der Ungleichung: Die Residuen ρi sind leicht zu berechnen. Um aber die Gewichte zi zu berechnen muss das duale Problem gelöst werden, was in den Anwendungen sehr aufwendig sein kann.

23 Fazit Damit haben wir jetzt eine a posteriori Abschätzung für das Fehlerfunktional gefunden. Eigenschaften des Fehlerfunktional: Durch die Wahl von j kann man den Fehler an einem einzelnen Element oder an einer Gruppe von Elementen abschätzen. Wählt man z.b. j = ei erhält man eine Fehlerabschätzung für die i-te Komponente. Wählt man z.b. j = (1,..., 1) erhält man eine Abschätzung für e e n. Also einen gemittelten Fehler. Berechnung der Elemente (ρ i, z i ) der Ungleichung: Die Residuen ρi sind leicht zu berechnen. Um aber die Gewichte zi zu berechnen muss das duale Problem gelöst werden, was in den Anwendungen sehr aufwendig sein kann.

24 Die Dual Weighted Residual Methode im unendlichdimensionalen

25 Die Laplace Gleichung Wir betrachten nun die Laplace-Gleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen auf einem Gebiet Ω R d u = f, u Ω = 0,

26 Die Laplace Gleichung Wir betrachten nun die Laplace-Gleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen auf einem Gebiet Ω R d u = f, u Ω = 0, beziehungsweise die schwache Formulierung: a(u, ϕ) := ( u, ϕ) = (f, ϕ) ϕ H0 1 (Ω) =: V

27 Die Laplace Gleichung Wir betrachten nun die Laplace-Gleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen auf einem Gebiet Ω R d u = f, u Ω = 0, beziehungsweise die schwache Formulierung: a(u, ϕ) := ( u, ϕ) = (f, ϕ) ϕ H0 1 (Ω) =: V Durch Diskretisierung erhalten wir folgendes Problem (V h V, endlichdimensional) a(u h, ψ h ) = (f, ψ h ), ψ h V h

28 Die Laplace Gleichung Wir betrachten nun die Laplace-Gleichung mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen auf einem Gebiet Ω R d u = f, u Ω = 0, beziehungsweise die schwache Formulierung: a(u, ϕ) := ( u, ϕ) = (f, ϕ) ϕ H0 1 (Ω) =: V Durch Diskretisierung erhalten wir folgendes Problem (V h V, endlichdimensional) a(u h, ψ h ) = (f, ψ h ), ψ h V h Das Vorgehen ist nun analog zum endlichdimensionalen.

29 Die DWR-Methode im unendlichdimensionalen Fall Wir betrachten das duale Problem: a(ϕ, z) = J(ϕ), ϕ V = H 1 0, wobei J ein gegebenes Fehlerfunktional ist.

30 Die DWR-Methode im unendlichdimensionalen Fall Wir betrachten das duale Problem: a(ϕ, z) = J(ϕ), ϕ V = H 1 0, wobei J ein gegebenes Fehlerfunktional ist. Wir führen folgende Bezeichnungen ein:

31 Die DWR-Methode im unendlichdimensionalen Fall Wir betrachten das duale Problem: a(ϕ, z) = J(ϕ), ϕ V = H 1 0, wobei J ein gegebenes Fehlerfunktional ist. Wir führen folgende Bezeichnungen ein: V h = { v V : v K P(K), K T h }

32 Die DWR-Methode im unendlichdimensionalen Fall Wir betrachten das duale Problem: a(ϕ, z) = J(ϕ), ϕ V = H 1 0, wobei J ein gegebenes Fehlerfunktional ist. Wir führen folgende Bezeichnungen ein: V h = { v V : v K P(K), K T h } Definiere h K = diam(k) und

33 Die DWR-Methode im unendlichdimensionalen Fall Wir betrachten das duale Problem: a(ϕ, z) = J(ϕ), ϕ V = H 1 0, wobei J ein gegebenes Fehlerfunktional ist. Wir führen folgende Bezeichnungen ein: V h = { v V : v K P(K), K T h } Definiere h K = diam(k) und R h K := f + u h

34 Die DWR-Methode im unendlichdimensionalen Fall Wir betrachten das duale Problem: a(ϕ, z) = J(ϕ), ϕ V = H 1 0, wobei J ein gegebenes Fehlerfunktional ist. Wir führen folgende Bezeichnungen ein: V h = { v V : v K P(K), K T h } Definiere h K = diam(k) und R h K := f + u h { 1 r h Γ := 2 [ nu h ], falls Γ K \ Ω 0, falls Γ Ω

35 Skizze zu den Bezeichnungen

36 Die DWR-Methode im unendlichdimensionalen Fall Mit diesen Bezeichnungen können wir folgenden Satz formulieren:

37 Die DWR-Methode im unendlichdimensionalen Fall Mit diesen Bezeichnungen können wir folgenden Satz formulieren: Satz Für die approximierende Lösung gilt: J(e) = K T h {(R h, z ψ h ) K + (r h, z ψ h ) K } für ein beliebiges ψ h V h

38 für ein beliebiges ψ h V h. Die DWR-Methode im unendlichdimensionalen Fall Mit diesen Bezeichnungen können wir folgenden Satz formulieren: Satz Für die approximierende Lösung gilt: J(e) = K T h {(R h, z ψ h ) K + (r h, z ψ h ) K } für ein beliebiges ψ h V h und es gilt die a posteriori Ungleichung J(e) K T h ρ K ω K wobei ( ρ K := ω K := R h 2 K + h 1 K r h 2 K ) 1/2 ( z ψ h 2 K + h k z ψ h 2 K ) 1/2

39 Fehler der Energie-Norm : Beispiele J(ϕ) = ( ϕ, e) e 1

40 Fehler der Energie-Norm : Beispiele J(ϕ) = ( ϕ, e) e 1 Fehler an einer Stelle : ε J ε (ϕ) = (2ε) 1 ϕ = ϕ(0) + O(ε) ε

41 Fehler der Energie-Norm : Beispiele J(ϕ) = ( ϕ, e) e 1 Fehler an einer Stelle : ε J ε (ϕ) = (2ε) 1 ϕ = ϕ(0) + O(ε) ε

42 Beispiele 1: Energie-Norm Als ein erstes Beispiel betrachten wir folgendes Fehlerfunktional wobei e eine feste Größe ist. J(ϕ) = ( ϕ, e) e 1.

43 Beispiele 1: Energie-Norm Als ein erstes Beispiel betrachten wir folgendes Fehlerfunktional J(ϕ) = ( ϕ, e) e 1. wobei e eine feste Größe ist. Das duale Problem ist gegeben durch: a(ϕ, z) = ( ϕ, e) e 1, ϕ H 1 0.

44 Beispiele 1: Energie-Norm Als ein erstes Beispiel betrachten wir folgendes Fehlerfunktional J(ϕ) = ( ϕ, e) e 1. wobei e eine feste Größe ist. Das duale Problem ist gegeben durch: a(ϕ, z) = ( ϕ, e) e 1, ϕ H 1 0. In diesem Fall kann man z explizit durch z = e e 1 angeben.

45 Fortsetzung von Beispiel 1 Der Satz liefert die Ungleichung: J(e) = e ρ K ω K K T h K Th h 2 K ρ2 K 1/2 K Th h 2 K ω2 K 1/2

46 Fortsetzung von Beispiel 1 Der Satz liefert die Ungleichung: J(e) = e ρ K ω K K T h K Th h 2 K ρ2 K 1/2 K Th h 2 K ω2 K 1/2 und mit der Interpolationsungleichung inf ψ h V h K Th { } 1/2 h 2 K z ψ h 2 K + h 1 K z ψ h 2 K c 1 z

47 Fortsetzung von Beispiel 1 Der Satz liefert die Ungleichung: J(e) = e ρ K ω K K T h K Th h 2 K ρ2 K 1/2 K Th h 2 K ω2 K 1/2 und mit der Interpolationsungleichung inf ψ h V h folgt: K Th e c I K Th { } 1/2 h 2 K z ψ h 2 K + h 1 K z ψ h 2 K c 1 z h 2 K ρ2 K 1/2 z c I K Th h 2 K ρ2 K 1/2

48 Beispiel 2: lokaler Fehler (im R) Der Einfachheit halber sei Ω = ( 1, 1)

49 Beispiel 2: lokaler Fehler (im R) Der Einfachheit halber sei Ω = ( 1, 1) Betrachte folgendes Fehlerfunktional: ε J ε (ϕ) = (2ε) 1 ϕ = ϕ(0) + O(ε) ε

50 Beispiel 2: lokaler Fehler (im R) Der Einfachheit halber sei Ω = ( 1, 1) Betrachte folgendes Fehlerfunktional: Das duale Problem ist dann: ε J ε (ϕ) = (2ε) 1 ϕ = ϕ(0) + O(ε) ε a(ϕ, z) = J(ϕ), 1 1 ϕ z = ε ε ϕ ϕ Lösungsideen für das Duale Problem:

51 Beispiel 3: lokaler Fehler (im R 2 ) J ε (ϕ) = λ(b(0, ε)) ϕ = ϕ(0) + O(ε 2 ) B(0,ε)

52 Beispiel 3: lokaler Fehler (im R 2 ) J ε (ϕ) = λ(b(0, ε)) ϕ = ϕ(0) + O(ε 2 ) B(0,ε) Dann erhält man für den Fehler:

53 Beispiel 3: lokaler Fehler (im R 2 ) J ε (ϕ) = λ(b(0, ε)) ϕ = ϕ(0) + O(ε 2 ) B(0,ε) Dann erhält man für den Fehler: e(0) = c I K T h h3 K x 2 + e 2 ρ K.

54 Beispiel 3: lokaler Fehler (im R 2 ) J ε (ϕ) = λ(b(0, ε)) ϕ = ϕ(0) + O(ε 2 ) B(0,ε) Dann erhält man für den Fehler: e(0) = c I K T h h3 K x 2 + e 2 ρ K. Es ist also sinvoll um die Stelle 0 herum zu verfeinern.