Randwertbedingungen und Ghost Cells

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1 Randwertbedingungen und Ghost Cells Olaf Kern Universität Trier 16.Dezember 2010 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 1/23 16.Dezember / 23

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Periodische Randwert-Bedingungen 3 Advektion Outflow Inflow 4 Akustik Nicht-reflektierende Ränder Perfectly Matched Layer - Methode Eintretende Wellen Feste Wände Schwingende Wände 5 Zusammenfassung Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 2/23 16.Dezember / 23

3 Einführung Möglicher Ansatz: Formeln für die Grenzen hängen vom Typ des Randes ab hängen vom Typ der Methode innerhalb ab u.u. werden Spezielle Fluss-Limiter benötigt. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 3/23 16.Dezember / 23

4 Einführung (2) Bisher: Randbehandlung im Lösungsalgorithmus: Vorteil: weniger abstrakte Programmierung der Randbedingung Nachteil: verschiedene Lösungsäste Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 4/23 16.Dezember / 23

5 Einführung (3) Falls Gitter geordnet (z.b. kartesisch) können wir das 1D-Gitternetz um Ghost Cells erweitern: Diese haben folgende Eigenschaften: werden in jedem Zeitschritt aktualisiert möglichst gleiche Methode zur Berechnung wie im Inneren u.u. werden mehrere Schichten Ghost Cells benötigt Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 5/23 16.Dezember / 23

6 Periodische Randwert-Bedingungen Im Intervall [a, b] gilt für periodische Randbedingungen q(a, t) = q(b, t) Eine sehr einfache und präzise Lösung ist: Q 0 := Q N Q N+1 := Q 1 für eine 3-Punkt-Schablone. Für größere Schablonen ist nur eine sukzessive Erweiterung nötig. Für eine 5-Punkte-Schablone ergibt dies: Q 1 := Q N 1 Q N+1 := Q 2 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 6/23 16.Dezember / 23

7 Advektion gegeben: eine Advektion im Intervall [a, b] mit Geschwindigkeit ū > 0 und der RWB q(a, t) = g 0 (t), wobei g 0 (t) gegeben ist q t + ūq x = 0 Das Ziel ist nun eine passende Randwertbedingung an x = b zu finden. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 7/23 16.Dezember / 23

8 Advektion - Outflow bei upwind oder Beam-Warming irrelevant bzw. beliebig bei Lax-Wendroff (3-Punkte-Methode) benötigt man auch rechte Zellennachbarn Ansatz: upwind am äußersten rechten Punkt kombiniert mit Lax-Wendroff im Innern Problem hierbei: Störungen am rechten Rand können Lösung konterminieren, und u.u. für Instabilität sorgen Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 8/23 16.Dezember / 23

9 Advektion - Outflow (2) Lösungsansatz: Extrapolation 0. Ordnung der GC mit Hilfe der inneren Lösung: Setze einfach QN+i n := QN n, i = 1, 2 n Q n N+1 = 0 und F n N+ 1 2 = ūq n N (ū > 0) Da Q n 0 in Lax-Wendroff sein kann, haben wir in der letzten Zelle N 1 2 nicht immer eine upwind-methode 1. Ordnung. Eine weitere Möglichkeit wäre eine Extrapolation 1. Ordnung: Q n N+1 := Qn N + (Qn N Qn N 1 ) = 2Qn N Qn N 1 In diesem Fall haben wir eine upwind-methode 1. Ordnung mit φ(1) = 1. Trotzdem ist sie nicht zu empfehlen, da oft Stabilitätsprobleme aufkommen. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 9/23 16.Dezember / 23

10 Advektion - Inflow Betrachte Advektionsgleichung mit ū > 0 an x = a Ein möglicher Ansatz ist, Q n+1 1 mit Hilfe von F n 1/2 = 1 t = ū t tn+1 t n tn+1 t n ūq(a, t)dt g 0 (t)dt zu berechnen. Genauer, aber u.u. aufwendiger ist: F 1/2 = ūg 0 (t n + t 2 ) Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 10/23 16.Dezember / 23

11 Advektion - Inflow (2) Auch für die GC links des Gitternetzes ist es das Ziel, diese mit der gleichen Methode zu berechnen. Wir möchten setzen. Mit Q n 0 = 1 x a a x q(x, t n )dx q(x, t n ) = q(a, t n + a x ū ) = g 0(t n + a x ū ) folgt Q0 n = 1 a g 0 (t n + a x x a x ū )dx = ū tn+ x/ū g 0 (τ)dτ x t n Mit der Mittelpunktsregel 2. Ordnung erhalten wir: Q n 0 = g 0 (t n + x 2ū ) und Q n 1 = g 0 (t n + 3 x 2ū ) Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 11/23 16.Dezember / 23

12 Akustik Wiederholung p t + K 0 u x = 0 ϱ 0 u t + p x = 0 ω 1 (x, t) = 1 2Z 0 ( p + Z 0 u) ω 2 (x, t) = 1 2Z 0 (p + Z 0 u) Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 12/23 16.Dezember / 23

13 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder Wir haben ein AWP (Cauchy-Problem) mit u 0 (x) und p 0 (x) gegeben. Außerhalb von [a 1, b 1 ] seien diese konstant. { (p L, u L ), wenn x < a 1 (p, u) (p R, u R ), wenn x > b 1 Setze a, b so, dass a < a 1 < b 1 < b Eingehende Charakteristik: ω 2 (a 1, t) = 1 2Z 0 (p L + Z 0 u L ) Mittels Diagonalisierung erhält man: W 1 = ( Q 1 + Z 0 Q 2 )/2Z 0 W 2 = (Q 1 + Z 0 Q 2 )/2Z 0 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 13/23 16.Dezember / 23

14 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder (2) Da am linken Rand ω 1 austritt, können wir bereits für diese extrapolieren. ω 2 wollen wir als eine Funktion g 0 (t) setzen. Dies erreichen wir durch: w 2 konst. an x=a ω 2 (a, t) = p L + Z 0 u L t 2Z 0 W 1 2 = W0 2 = 1 (p L + Z 0 u L ) 2Z 0 W1 2 und die Randwerte W 0 2 und W 1 2 können wir auch durch Extrapolation erhalten, um Q 0 und Q 1 zu berechnen. Dies führt zu den gleichen Werten wie eine simple Extrapolation 0. Ordnung von Q. Daher reicht es zu extrapolieren: Q n 0 = Q n 1, Q n 1 = Q n 1 t Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 14/23 16.Dezember / 23

15 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder (3) Das Problem der Extrapolation zeigt sich im Mehrdimensionalen: Solch offene Ränder können Störungen hervor rufen und sorgen zudem für großen Rechenaufwand Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 15/23 16.Dezember / 23

16 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder - PML Alternative: Perfectly Matched Layers - Methode winkel- und frequenzunabhängig Absorption Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 16/23 16.Dezember / 23

17 Akustik - Nicht-reflektierende Ränder - PML (2) Etwas zur PML-Methode: basiert auf Maxwell-Gleichung u PML (x) := u(γ(x)) ū Amplitude 0 (exponentiell) innerhalb δ u.u. müssen weitere Unbekannte berechnet werden Unterscheidung in split, streched und uniaxiale PML: split: Aufteilung der Variablen streched: Variablen werden mit einem komplexen Faktor multipliziert uniaxiale: der PML-Bereich wird als anisotropes Material angenommen. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 17/23 16.Dezember / 23

18 Akustik - Eintretende Wellen Bisher haben wir eintretende Wellen ausgeschlossen. Diese werden nun betrachtet, desweiteren haben wir variierende Materialeigenschaften in [a 1, b 1 ], a < a 1 < b 1 < b Eintretende Wellen als: w 2 (a, t) = sin(ωt) Durch Dekomposition und Extrapolation Q 0 = W 1 1 r 1 + sin(ω(t n + x 2c 0 ))r 2 oder Q 0 = Q 1 + (sin(ω(t n + x 2c 0 )) W 2 1 )r 2 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 18/23 16.Dezember / 23

19 Akustik - Eintretende Wellen (2) Für ein größeres System von mehreren Gleichungen, wobei wir nur eine eingehende Charakteristik w j (a, t) = g 0 (t) haben wollen und die restlichen eingehendende und sämtiche ausgehenden Stärke 0 haben sollen: Q 0 = Q 1 + (g 0 (t n + x 2λ j ) W j 1 )r j wobei W j 1 = l j Q 1 der Eigenkoeffizient von r j in Q 1 und λ j der dazugehörige EW ist. Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 19/23 16.Dezember / 23

20 Akustik - Feste Wände Wir betrachten eine feste Wand u(a, t) = 0 t sowie vorgegebenen Druck und Geschwindigkeit. Eine einfache Lösung für dieses Problem ist die Projektion der Daten aus x > a auf den Bereich x < a: Dies führt zu folgenden Formeln: p 0 (a ξ) = p 0 (a + ξ) u 0 (a ξ) = u 0 (a + ξ) u(a) = u(a) für Q 0 : p 0 = p 1, u 0 = u 1 für Q 1 : p 1 = p 2,u 1 = u 2 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 20/23 16.Dezember / 23

21 Akustik - Schwingende Wände gegeben: an x = a oszillierende Wand mit u(a, t) = εsin(ωt) Analoge Implementierung: wobei U(t) = u(a, t) für Q 0 :p 0 = p 1, u 0 = 2U(t n ) u 1 für Q 1 :p 1 = p 2, u 1 = 2U(t n ) u 2 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 21/23 16.Dezember / 23

22 Zusammenfassung Periodische BC Q n 1 = Qn N 1, Qn 0 = Qn N, Qn N+1 = Qn 1,.. Advektion Sowohl für Inflow als auch Outflow ist die Extrapolation 0. Ordnung am sinnvollsten und stabilsten. Akustik Bei ABC ist Extrapolation möglich. Im 1D sehr sinnvoll, schon ab 2D kommen Störungen ins Innere. Besser hier: PML-Methode Bei eintretenden Wellen setze Q 0 = Q 1 + (sin(ω(t n + x 2c 0 )) W1 2)r 2 An einer festen Wand Q spiegeln, wobei Geschwindigkeit negativiert wird (für Q 0 : p 0 = p 1, u 0 = u 1 ) Erweiterung bei einer schwingenden Wand um RWB: für Q 0 : p 0 = p 1, u 0 = 2U(t) u 1 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 22/23 16.Dezember / 23

23 Quellen Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Quellen: Randall J. Leveque - Finite-Volume Methods for Hyperoblic Problems Thorsten Tischler - Die Perfectly-Matched-Layer-Randbedingung M. Münch - Strömungsverfahren J.H. Ferziger, M. Peric - Computational Methods for Fluid Dynamics Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 23/23 16.Dezember / 23