II. Elliptische Probleme

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1 II. Elliptische Probleme II.1 Finite Differenzen: Grundidee II.2 Konvergenzaussagen II.3 Allgemeine Randbedingungen II.4 Gekrümmte Ränder Kapitel II (0) 1

2 Dirichlet Randwerte mit finiten Differenzen Einfachster Fall: Äquidistantes Gitter über dem Einheitsquadrat: Der Rand wird von unserem Gitter genau getroffen. (0, n+1) (n+1, n+1) Ω (0,1) (1,1) (n+1,1) (0,0) (1,0) (n+1,0) Homogene Dirichlet-Randbedingungen können hier direkt auf die Punktwerte angewendet werden. Wir erhalten die Bedingungen u 0,j = u n+1,j = u i,0 = u i,n+1 = 0, i = 0,...,n+1, j = 0,...,n+1. Dies funktioniert leider nur für sehr einfache Geometrien Kapitel II (fdm-dirichlet) 2

3 Finite Differenzen: Grundidee Ω = (0,1) 2. Partielle Differentialgleichung u = f in Ω, u = 0 auf Ω. Gitter x ij = (ih,jh), i,j = 0,...,n+1, h = 1/(n+1). Idee: Approximiere durch finite Differenzen, u(x ij ) = u ij 1 h 2( u i 1,j u i+1,j +4u ij u i,j 1 u i,j+1 ), i,j = 1,...,n Kapitel II (einführung12) 3

4 Finite Differenzensterne für L = 5 Punkt Stern, Ordnung 2 9 Punkt Stern, Ordnung 4 1/36 1/9 1/36 1/9 4/9 1/9 1/36 1/9 1/36 Vorfaktor 1 12 Differenzensterne sind Verallgemeinerungen der Differenzenquotienten für höhere Dimensionen Kapitel II (einführung03) 4

5 Finite Differenzen Linksseitiger (Rückwärts-) Differenzenquotient: u (x i ) u i u i 1 h Rechtsseitiger (Vorwärts-) Differenzenquotient: u (x i ) u i+1 u i h Zentraler (symmetrischer) Differenzenquotient: i 2 i 1 i i+1 i i 2 i 1 i i+1 i+2 1 i 2 i 1 i i+1 i+2 1 u (x i ) u i+1 u i 1 2h u (x i ) u i 1 2u i +u i+1 h 2 1/2 1/2 i 2 i 1 i i+1 i Wir approximieren die Ableitungsoperatoren der Differentialgleichung durch Punktauswertungen des Differenzenquotienten Kapitel II (einfuehrung13) 5

6 Verschiedene Nummerierungen des Gitters Eine äquidistante FDM Diskretisierung von Ω = (0,1) 2 liefert N Gleichungen für die N Unbekannten u (i,j). Werden die Unbekannten als Vektor u h R N angeordnet, so lässt sich das LGS als A h u h = h 2 f h schreiben. Die Nummerierung der Gitter hat dabei einen gro ssen Einfluss auf die Gestalt der Matrix A h. Beispielhaft einige Nummerierungen zu einem 3 3 Gitter zu homogenen Dirichlet- Randwerte mit dem 5 Punkt-Stern. (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) Ω (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (Hier also: N = 9) Kapitel II (FDMNummerierung) 6

7 (i,j) n h (j 1)+i. Lexikographische Nummerierung (1,3) (2,3) (3,3) (1,2) (2,2) (3,2) (1,1) (2,1) (3,1) Blocktridiagonale Gestalt (3 3 innere Punkte) A h = B 3 I 3 I 3 B 3 I 3, B 3 = , I 3 = I 3 B Kapitel II (FDMNummerierungLexikographisch) 7

8 Schachbrettordnungen Punktweise Schachbrettordnung [ ] 4I5 H A h = H T 4I 4 H = Zeilenweise Schachbrettordnung B 3 I 3 A h = B 3 I 3 I 3 I 3 B Kapitel II (FDMNummerierungSchachbrett) 8

9 Die Poisson-Matrix Lexikografische Nummerierung führt auf LGS A h u = f h mit A h = B n Id Id B n B n Id Rn Id B n 2 n 2, n 2 n+1 n 2 B n = Rn n. 1 4 n+1 n+2 2n 1 2 n Kapitel II (einführung12) 9

10 Besetzungstrukturen in verschiedenen Dimensionen nz = nz = nz = 304 Figure 1: Bandstruktur, 1D 3-Punkte Stern (links), 2D 5-Punkte Stern (mitte), 3D 7-Punkte Stern (rechts) Kapitel II (einführung10) 10

11 Advektions Diffusions Gleichung (Modellbeispiel) εu +βu = 0, x [0,1], u(0) = 0, u(1) = β = 0.0 β = 0.03 β = 0.1 β = 0.5 Lösung u(x) globale Pécletzahl: Pe gl = β 2ε Dominanz der Advektion bez. Diffusion Exakte Lösung: Funktionswert u(x) u(x) = exp(βx/ε) 1 exp(β/ε) 1 ε = x Achse Kapitel II (ellrwp01) 11

12 Zentraler Differenzenstern Diskretisierung 5 Diskrete Lösung u (x i ) u i+1 u i 1 2h u (x i ) u i 1 2u i +u i+1 h 2 lokale Pécletzahl: Oszillationen für Pe > 1 Pe = β h 2ε 2ε ε + h 2 β ε h 2 β 2ε ε + h β... ε h 2 β 2ε ε + h 2 β ε h 2 β 2ε Funktionswert u(x) Pe = Pe = Pe = solution u 1 u 2. u n 2 u n 1 x Achse = ε h 2 β Kapitel II (ellrwp02) 12

13 Upwind Verfahren Wähle Vorwärts oder Rückwärts - Differenz so, dass die Matrix diagonaldominant ist. u (x i ) u i+1 u i, β < 0, h u (x i ) u i u i 1, β > 0. h Funktionswert u(x) Pe = 62.5 Pe = Pe = solution Upwind Verfahren Nachteil: Unsymmetrische Differenzen haben Ordnung 1, zentrale Ordnung 2 Vorteil: keine Oszillationen x Achse Kapitel II (ellrwp03) 13

14 Ersetze im Upwind Verfahren für β > 0 Numerische Viskosität ε u i+1 2u i +u i 1 h 2 +β u i u i 1 h = 0 den Term u i u i 1 = u i+1 u i 1 h u i+1 2u i +u i 1 h 2h 2 h 2. Dann erhält man folgende äquivalente Darstellung ε h u i+1 2u i +u i 1 h 2 mit der numerischen Viskosität ε h = ε ( 1+ β h ) 2ε +β u i+1 u i 1 2h = ε(1+pe). = 0 Kapitel II (ellrwp04) 14

15 Scharfetter Gummel Verallgemeinerung der Numerischen Viskosität zu Beispiele: ε h = ε(1+φ(pe)) mit lim Φ(t) = 0. t 0+ Φ(t) = 0 Φ(t) = t zentrale Differenz, Upwind Verfahren. Scharfetter Gummel: Φ(t) = t 1+B(2t) mit Bernoulli Funktion B(t) = t e t 1. Kapitel II (ellrwp05) 15

16 Scharfetter Gummel Das Scharfetter Gummel Verfahren nutzt die jeweiligen Vorteile des Upwind Verfahrens und der zentralen Differenzen aus: Upwind: keine Oszillationen Funktionswert u(x) Scharfetter Gummel Pe = 62.5 Pe = Pe = solution zentrale Differenz: höhere Ordnung x Achse Kapitel II (ellrwp06) 16

17 Konvergenzordnungen Diskrete L Norm bzgl. Knoten x i. Konvergenzordnungen Diskrete L Norm bzgl. sehr feinem Gitter mit mindestens Stützstellen in [0, 1]. Die diskrete Lösung wurde hierbei linear interpoliert. Konvergenzordnungen Fehler 10 2 Fehler zentrale Differenz Upwind Scharfetter Gummel Anzahl der Schritte 10 6 zentrale Differenz Upwind Scharfetter Gummel Anzahl der Schritte Das Scharfetter Gummel Verfahren besitzt an den Diskretisierungsknoten für das Modellbeispiel den Fehler 0. Kapitel II (ellrwp07) 17

18 Übersicht Verfahren Ordnung Oszillationen Pécletzahl Zentrale Differenzen 2 Ja h abh. Upwind 1 NEIN <1 Scharfetter Gummel 2 NEIN <1 Kapitel II (ellrwp08) 18