Kurze Einführung in die Finite-Elemente-Methode

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1 Kurze Einführung in die Finite-Elemente-Methode Stefan Girke Wissenschaftliches Rechnen 23 Die Finite-Elemente-Methode In diesem Skript soll eine kurze Einführung in die Finite-Elemente-Methode gegeben werden. Wir beschränken unsere Betrachtungen dabei auf elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung in 2 Dimensionen.. Grundlegende Begriffe Definition. (Linearform). Ist V ein K-Vektorraum, so nennen wir eine Abbildung f : V K einen Linearform auf V, falls sie linear ist, d.h. f(λ v +λ 2 w) = λ f(v)+λ 2 f(w). Definition.2 (Bilinearform). Seien V, W zwei K-Vektorräume. Eine Abbildung B : V W K heißt Bilinearform, falls sie bzgl. des ersten bzw. des zweiten Arguments linear ist, d.h. B(v +v 2,w) = B(v,w)+B(v 2,w), B(v,w +w 2 ) = B(v,w )+B(v,w 2 ), B(λv,w) = λb(v,w) = B(v,λw).

2 2 Definition.3 (Divergenz-, Gradient- und Laplace-Operator). Mit u(x) := ( u(x), 2 u(x)) bezeichnen wir den Gradienten einer Funktion u : R 2 R. Mit v(x) := 2 i v i (x) bezeichnen wir die Divergenz einer Funktion v : R 2 R 2. Mit u(x) := ( u(x)) = 2 i 2 u(x) bezeichnen wir den Laplace-Operator einer Funktion u : R 2 R. Bemerkung.4. Für zeitabhängige Funktionen u : R 2 (,T) R bezieht sich der Gradient (bzw. Divergenz bzw. Laplace) gewöhnlicherweise nur auf die Ortsvariablen, d.h. u(x,t) := ( u(x), 2 u(x)) usw. Definition.5 (L p -Räume). Sei p [, ) und ein Gebiet. Dann bezeichnen wir mit L p () den Raum { ( ) } /p L p () = u : R u Lebesgue-messbar, u p <. Mit der Norm ( ) /p u L p () := u p ist L p () ein Banachraum. Auf L 2 () ist durch uv ein Skalarprodukt definiert, dass L2 () zu einem Hilbertraum macht.

3 3 L () bezeichnet den Raum L () = {u : R u Lebesgue-messbar,esssup u < }. Definition.6 (Lipschitz-Gebiet). Eine offene Teilmenge R heißt Lipschitz-Gebiet, genau dann wenn der Rand sich lokal in einer jeweils geeigneten Richtung als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion schreiben lässt und auf einer Seite des Graphen liegt. Abbildung : Lipschitz-Bedingung nicht erfüllt Satz.7 (Satz von Gauß für Lipschitz-Gebiete). Sei R 2 ein Lipschitz- Gebiet und v C (;R 2 ) C (;R 2 ) ein Vektorfeld mit v L (). Dann gilt vdx = v ndσ(x), wobei n die äußere Normale an den Rand von bezeichne. Satz.8 (partielle Integration). Sei R 2 ein Gebiet, sodass der Satz von Gauß gilt und u C () und v C (;R 2 ). Dann gilt u(x) v(x)dx = u(x) (v(x))dx+ u(x)v(x) n(x)dσ(x). Definition.9 (Lokale Integrierbarkeit). Sei R 2 ein Gebiet. Dann definieren wir L loc() := {u L (K) K,Kkompakt}. Beispiel. (Lokale Integrierbarkeit). Für u : R R,x gilt u L loc (), aber u / L ().

4 4 Definition. (Schwache Ableitung). Sei α = (α,...,α d ) N d ein Multiindex. Eine Funktion u L loc () besitzt eine schwache Ableitung v α L loc (), wenn gilt ud α ϕ = ( ) α v α ϕ Wir schreiben v α = D α u für die schwache Ableitung. ϕ C (). Beispiel.2 (Schwache Ableitung von x ). x ϕ (x)dx = sign(x)ϕ(x)dx Definition.3 (Sobolev-Räume). Seien m N, p [, ] und u L loc (). Wir nehmen an, dass alle schwachen, partiellen Ableitungen Dα u für a m existieren. Dann definieren wir die Sobolevnormen u H m,p () durch für p < bzw. u H m,p () := D α u p L p () α m /p, u H m,p () := max D α u L (). α m Hiermit definieren wir die Sobolev-Räume H m,p () durch H m,p () := {u L loc () u H m,p () < }. Für p = 2 schreiben wir H m () := H m,2 (). Definition.4 (Schwache Nullrandwerte). Für p <, m N definieren wir die Sobolevräume mit Nullrandwerte durch H m,p () := C m () H m,p ().

5 5 Dies macht H m,p () zu einem abgeschlossenen Teilraum von H m,p (). Beispiel.5. Sei := B /2 () R 2 und u : R 2,x log log x, dann gilt: u H,2 (), aber u / C (). Bemerkung.6 (Vollständigkeit der Sobolevräume). Klassische Funktionenräume sind bzgl. L p -Normen nicht vollständig, Sobolevräume schon!.2 Das Poisson-Problem Als Modellbeispiel für elliptische Differentialgleichungen betrachten wir zunächst ein einfaches Poisson-Problem. Definition.7 (Poisson-Problem (klassische Formulierung)). Sei R 2 ein Gebiet und f C (). Gesucht ist die klassische Lösung des Poisson- Problems u C 2 () C () der Gleichung u = f in, u = auf. Definition.8 (Schwache Formulierung des Poisson-Problems). Sei R 2 ein Gebiet, f L 2 (). Eine Funktion u H () heißt schwache Lösung des Randwertproblems für die Poisson-Gleichung, falls u(x) ϕ(x)dx = f(x)ϕ(x)dx ϕ H () gilt. Fassen wir die linke Seite als Bilinearform und die rechte Seite als Funktional auf, dann können wir mit den Definitionen a(u,v) := b(v) := u v, auch schreiben: Eine Funktion u H () heißt schwache Lösung des fv

6 6 Randwertproblems für die Poisson-Gleichung, falls a(u,v) = b(v) v H () gilt..3 Das Rechengitter (konforme Triangulierungen) Definition.9 (Referenzelement). ImR 2 bezeichnen wir das Dreieck ˆT mit den Eckpunkten (,),(,) und (,) als Referenzelement. In diesem Fall sprechen wir auch von dem Referenzdreieck. Definition.2 (Entitäten, Subentitäten). Dreiecke bezeichnen wir allgemeiner auch als Entitäten und bezeichnen die Kanten eines Dreiecks als Subentitäten der Kodimension und Ecken eines Dreieck als Subentitäten der Kodimension 2. Definition.2 (konforme Triangulierung). Sei R 2 ein polygonal berandetes Gebiet und T h = {T i i {,...,M}}, wobei T,...,T N Dreiecke sind. T h ist eine konforme Triangulierung, falls T = und falls für T T h zwei nicht identische Simplizes T,T T h der Schnitt T T eine Entität der Kodimension bzw. 2 ist. Abbildung 2: konforme Triangulierungen Definition.22 (Referenzabbildung). Zu jedem beliebigem Dreieck T mit den Eckpunkten a, a und a 2 gibt es eine affine Transformation F T : R 2 R 2, sodass jeder Punkt im Referenzelement ˆT auf T abgebildet wird. Diese

7 7 Abbildung 3: nicht konforme Triangulierung (hängender Knoten) Abbildung nennen wir Referenzabbildung und ist gegeben durch F T (x) = A T x+b T mit A T R 2 2, b T R 2. F T ˆT Abbildung 4: Referenzabbildung.4 Finite Elemente-Verfahren Definition.23 (Lagrange-Gitter). Wir definieren auf einem Dreieck T das Lagrange-Gitter k-ter Ordnung G k (T) durch gleichmäßiges Anordnen von Punkten, wie in Abbildung 5 skizziert. Definition.24 (Simpliziales Lagrange-Element). Die Anzahl der Punkt in G k (T) werde mit n bezeichnet. Durch die Angabe von Werten p(x i ) in den Punkten x i N := G k (T),i =,...,n ist eindeutig eine Funktionp P k (T) definiert. Durch Φ := {ϕ i ϕ i (x i ) = δ ik,i,k =,...,n} ist eine nodale Basis des Raums P k (T) gegeben. Wir nennen das Tripel (T,Φ,N) simpliziales Lagrange-Element vom Grad k.

8 8 Definition.25 (lokale Freiheitsgrade (degrees of freedom, dofs)). Sei p h P k (T) für ein Dreieck T und eine Basis ϕ,...,ϕ n durch das simpliziale Lagrange-Element gegeben, dann gilt p h (x) = n u i ϕ i (x), wobei u,...,u n R lokale Freiheitsgrade, oder im Englischen degrees of freedom, kurz dofs genannt werden. Abbildung 5: Freiheitsgrade lineares/ quadratisches/ kubisches Lagrange- Element/ Lagrange-Element vierter Ordnung Abbildung 6: Basisfunktionen des linearen Lagrange-Elements festgelegt durch Freiheitsgrade Beispiel.26 (Lineares simpliziales Lagrange-Element). Durch die Vorgabe von Funktionswerten in den Eckpunkten eines Dreiecks T, ist eindeutig eine lineare Funktion bestimmt. Setzt man die Funktionswerte wie in Abbildung 6, so erhält man drei linear unabhängige Basisfunktionen. Beispiel.27 (quadratisches simpliziales Lagrange-Element). Analog zu dem linearen Fall setzt man die 6 unterschiedlichen Freiheitsgrade auf bzw.

9 9 und erhält so 6 linear unabhängige Basisfunktionen. In Abbildung 7 ist eine Basisfunktion skizziert. Abbildung 7: Basisfunktion eines quadratischen Lagrange-Elements p 3 Element T N 3 p N N 2 u 2 u p u h (x) = 3 u i p i (x) Ecken Basisfunktionen diskrete Funktion u 3 Abbildung 8: vom simplizialen Lagrange-Element zur diskreten Funktion Definition.28 (Lagrange-Finite-Elemente-Raum). Sei R 2 und T h eine konforme Triangulierung von. Wir definieren den Raum der Lagrange- Finite-Elemente auf simplizialem Gitter S k h durch S k h := {v h C () v h T P k (T),T T h } Da das simpliziale Lagrange-Element nur lokale Informationen bereitstellt, müssen ein paar weitere Überlegungen gemacht werden, um eine Basis des

10 Abbildung 9: Vergleich lokale/ globale Dof-Nummerierung Lagrange-Finite-Elemente-Raums mithilfe von Lagrange-Elementen darstellen zu können. Insbesondere muss die Stetigkeitsbedingung zwischen den Elementrändern erfüllt sein. Dies geschieht automatisch, indem lokale Dofs unterschiedlicher Elemente miteinander indentifiziert werden. Man erhält eine globale Nummerierung für globale Freiheitsgrade. Bemerkung.29 (Abbildung von lokale in globale Freiheitsgrade). Sei T T h ein Dreieck. Wir definieren ν T : N N als injektive Funktion, die jedem lokalen Freiheitsgrad eine eindeutige globale Nummer/Freiheitsgrad (wie in Abbildung 9) zuordnet. Definition.3 (Basis des Lagrange-Finite-Elemente-Raums/Diskrete Funktionen). Eine Basis kann nun aus den lokalen Lagrange-Elementen bestimmt werden. Bezeichne N die Anzahl der Freiheitsgrade von Sh k. Nun lässt sich jede diskrete Funktion v h Sh k darstellen als v h (x) = N u i ϕ i (x), wobei u,...,u N R die Freiheitsgrade von Sh k ν T können wir dies auch lokal formulieren seien. Mithilfe der Abbildung v h (x) = N u i ϕ i (x) = n u νt (i)ϕ i (x). T T h Diese Formulierung können wir mithilfe des Referenzdreiecks ˆT mit Basis

11 ˆϕ,..., ˆϕ n und zugehöriger Referenzabbildung F T darstellen: v h (F T (ˆx)) = n u νt (i)ˆϕ i (ˆx). T T h Abbildung zeigt eine globale Basis von S k h für k =. Abbildung : globale Basisfunktion Definition.3 (Finite-Elemente-Verfahren). Sei R 2 und T h eine konforme Triangulierung von. Wir definieren Sh, k := Sk h {v C () v = auf }. Dann ist Sh, k H () und u h Sh, k heißt Lösung des Finite- Elemente-Verfahrens für das Poisson-Problem, falls gilt a(u h,v h ) = b(v h ) v h S k h,..5 Aufstellen des Gleichungssystems Da die Gleichung a(u h,v h ) = b(v h ) für alle Testfunktionen v h Sh, k gilt, ist sie inbesondere auch für Testfunktionen ϕ,...,ϕ N einer Basis vonsh k erfüllt, d.h. wir fordern für die Lösung u h Sh k a(u h,ϕ j ) = b(ϕ j ) j =,...,N. Mit der Darstellung von u h durch die Basis können wir u h = N u i ϕ i schreiben, d.h. N a( u i ϕ i,ϕ j ) = b(ϕ j ) j =,...,N,

12 2 N a(ϕ i,ϕ j )u i = b(ϕ j ) j =,...,N. Definieren wir also die Matrix S R N N durch S ji := a(ϕ i,ϕ j ) i,j =,...,N und die Vektoren u,f R N durch u i := u i f i := b(ϕ i ) i =,...,N, i =,...,N, so ist u h genau dann Lösung des Finite-Elemente-Verfahrens, wenn u das folgende lineare Gleichungssystem löst Su = f. Wir möchten nun die rechte Seite des linearen Gleichungssystems aufstellen (=assemblieren). Dabei treten Integrale über nicht triviale Funktionen auf, die nur mithilfe numerischer Quadraturen berechnet werden können. Definition.32 (Quadraturen). Eine Quadratur ˆQ = (W,X) der Ordnung r mit Gewichten W = (ŵ α ) r α= R und Quadraturpunkten X = (ˆx α ) r α= R 2, r ˆQ(ĝ) := ŵ α ĝ(ˆx α ), α= approximiert für ĝ C (ˆT) das Integral ˆT g(x)dx. Für g C (T) wird mittels r Q T (g) := deta T ŵ α g(f T (ˆx α )) α=

13 3 eine Quadratur für T T h induziert. Definition.33 (Assemblieren der rechten Seite). f i = fϕ i Q T (fϕ i ) T T h = r deta T ŵ α f(f T (ŵ α ))ϕ i (F T (ˆx α )) T T h α= = r deta T ŵ α f(f T (ŵ α ))ˆϕ i (ˆx α ) T T h α= i =,...,N Aus Effizienzgründen kann man auch zunächst nur die lokalen rechten Seiten berechnen und dann fi T = T fϕ i Q T (fϕ i ), f = n fi T e ν T (i). T T h i =,...,n Definition.34 (Assemblieren der Systemmatrix). Die Einträge der Matrix S ij := ϕ j (x) ϕ i (x)dx, können wir durch lokale Systemmatrizen darstellen Damit erhalten wir ( (x)dx)n s T := ϕ T j (x) ϕt i. T i,j= S := T T h n s T kl E ν T (k)ν T (l), k,l= i,j =,...,N mit der Matrix E ij = (δ ik δ jl ) N k,l=. Zur Berechnung der Systemmatrix st

14 4 verwenden wir die Transformation auf das Referenzelement s T ij = ϕ T i ϕ T j T = deta T A T ˆϕ i A T ˆϕ j. T und berechnen die nicht konstanten Terme ˆϕ i bzw. ˆϕ j wieder mit numerischen Quadraturen..6 Lösung des Gleichungssystems Zum Lösen des linearen Gleichungssystems Su = f verwendet man keine direkten Löser (z.b. Gauß-Elimination), sondern numerische Löser, z.b. das cg-verfahren für positiv definite und symmetrische Matrizen.