Stochastische FEM mit elementaren Zufallselementen

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1 Stochastische FEM mit elementaren Zufallselementen Hans-Jörg Starkloff Westsächsische Hochschule Zwickau 13. Südostdeutsches Kolloquium zur Numerischen Mathematik 2007 Freiberg, 27. April 2007

2 Einführung Deterministische FEM Die Methode der finiten Elemente für stochastische Aufgabenstellungen Methode der finiten Elemente: wichtiges Näherungsverfahren zur Lösung einer großen Anzahl mathematischer und angewandter Aufgabenstellungen flexibel, mathematisch gut fundiert und weit verbreitet eingehende Parameter, Daten in (praktischen) Problemen häufig mit Unsicherheiten behaftet eine Möglichkeit der Modellierung der Unsicherheiten: Modellierung durch Zufallsgrößen bzw. Zufallsfunktionen oder allgemeine Zufallselemente stochastische FEM (SFEM), FEM für stochastische Probleme (FEMSP)

3 Einführung Deterministische FEM Ausgangspunkt für deterministische FEM häufig: Randwertaufgabe für partielle oder gewöhnliche Differentialgleichung, z.b. div (a(x) grad u(x)) = f (x), x D R d (1) u(x) = 0, x D bzw. d dx (klassische Lösungen) ( a(x) du(x) ) = f (x), x (0, 1) R, (2) dx u(0) = 0, a(1) du(1) dx = F

4 Einführung Deterministische FEM Variationsformulierung Definition einer Bilinearform a(u, v) und einer Linearform l(v) auf einem geeigneten Hilbertraum V Betrachtung der Variationsaufgabe: ges. u V mit a(u, v) = l(v) v V (3) z.b. bzw. D a(x) 1 0 d j=1 u(x) v(x) dx = f (x)v(x) dx x j x j D a(x)u (x)v (x) dx = v H 1 0 (D) 1 0 f (x)v(x) dx + Fv(1), v H 1 ([0, 1]), v(0) = 0

5 Einführung Deterministische FEM FEM Betrachtung der Variationsaufgabe in endlichdimensionalen Teilräumen V h V : ges. u h V h mit Basisfunktionen {φ 1,..., φ N } in V h a(u h, v h ) = l(v h ) v h V h (4) Basisdarstellung der gesuchten Lösung in V h u h = u 1 φ u N φ N mit lokalem Träger lineares Gleichungssystem für die N unbekannten Koeffizienten {u j } N u j a(φ j, φ i ) = l(φ i ) i = 1,..., N, bzw. A u = f j=1 Satz von Lax/Milgram sichert eindeutige Lösbarkeit unter bestimmten Bedingungen (Koerzität von a(, ), Stetigkeit von a(, ), l( ))

6 Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen Zufällige Parameter rechte Seite Koeffizienten,Parameter in der Differentialgleichung oder den Randbedingungen das betrachtete Gebiet selber verschiedene Interpretationen der vorkommenden Operatoren, z.b. Ableitungen als zufällige Parameter Zahl Zufallsgröße Vektor Zufallsvektor Funktion Zufallsfunktion allgemein: Zufallselement d.h. Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, S Ω, P), messbarer Raum (X, S X ), messbare Abbildung X : Ω X

7 Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen Kenngrößen der zufälligen Parameter Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsmaß P X auf (X, S X ) für Zufallsgrößen geg. durch Verteilungsfunktion F X (x) = P(X < x), x R, oder Verteilungsdichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion oder charakteristische Funktion für Zufallsvektoren geg. durch gemeinsame Verteilungsfunktion F (X1,...,X n)(x 1,..., x n ) = P(X 1 < x 1,..., X n < x n ) oder Verteilungsdichte bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion für Zufallsfunktionen geg. durch System der endlichdimensionalen Verteilungen bzw. äquivalente Kenngrößen abgeleitete Kenngrößen, wie Erwartungswerte, Varianzen, höhere Momente, Kovarianzen, Erwartungswert- und Kovarianzfunktionen

8 Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen Zufällige Lösungen Lösungen (klassische oder verallgemeinerte) sind Zufallsfunktionen bzw. Zufallselemente, es können ganz verschiedene Kenngrößen gesucht sein, z.b. Verteilungen von Funktionalen der Lösung Momente der Lösung oder von Funktionalen der Lösung Wahrscheinlichkeiten für bestimmte zufällige Ereignisse, die durch die Lösung definiert werden usw. zu beachten ist: Abhängigkeit der Lösung von Koeffizienten in Differentialgleichung ist nichtlinear Verteilungen verhalten sich wesentlich nichtlinear Verteilungen sind unendlichdimensional abgeleitete Kenngrößen der zufälligen Parameter bestimmen im Allgemeinen nicht eindeutig Kenngrößen der Lösung

9 Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen Nichteindeutigkeit der Lösungskenngrößen im Beispiel d dx ( a(x) du(x) ) = 0, x (0, 1), dx u(0) = 0, Lösung u(x) = falls a(x, ω) = β(ω)a 0 (x) mit E{β} = 1 x 0 a(1) du(1) dx F a(y) dy und F, a 0 (x) deterministisch, β(ω) > 0 f.s., a 0 (x) > 0 { } 1 x F E{u(x)} = E β a 0 (y) dy 0 = F

10 Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen Unzureichende Charakteristiken Es gilt aber { { } 1 sup E β { { } 1 inf E β } : β( ) > 0, E{β} = 1 = (β U(1, 1 + )) } : β( ) > 0, E{β} = 1 = 1 (Jensen-Ungleichung) z.b. falls a 0 (x) = e x, F = 100 E{u(x)} = E { } ( 1 e x) β

11 Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen Realisierungsweise Variationsformulierung Voraussetzungen wie für deterministische FEM an (fast) alle Realisierungen der zufälligen Parameter Variationsaufgabe: ges. Zufallselement u(ω), ω Ω, mit Werten in V, z.b. D so dass a(ω)(u(ω), v) = l(ω)(v) v V P f.s. (5) a(x, ω) 1 0 d j=1 u(x, ω) v(x) dx = f (x, ω)v(x) dx x j x j D v H 1 0 (D) a(x, ω)u (x, ω)v (x) dx = P f.s. 1 v H 1 ([0, 1]), v(0) = 0 0 f (x, ω)v(x) dx + F(ω)v(1), P f.s.

12 Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen Realisierungsweise Variationsformulierung deterministischer Raum von Testfunktionen bei Kenntnis der Eigenschaften der Realisierungen der zufälligen Parameter kann die deterministische Theorie der FEM genutzt werden Ausgangspunkt von verschiedenen Varianten der FEMSP Monte-Carlo-FEMSP FEMSP mit Störungsansatz FEMSP mit Neumann-Reihe

13 Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen Stochastische Variationsformulierung geeigneter Hilbertraum von Zufallselementen Ṽ, z.b. F-messbare Zufallselemente in V mit endlichem zweiten Moment F wird von zufälligen Parametern erzeugt { { Ṽ = v( ) : Ω V, F messbar, E v( ) 2} } < unter bestimmten Bedingungen an zufällige Parameter: Linearform l : Ṽ L 1(Ω, F, P; R) l(v) := E {l( ) (v( ))} Bilinearform ã : Ṽ Ṽ L 1(Ω, F, P; R) ã(u, v) := E {a( )(u( ), v( ))}

14 Zufällige Parameter Zufällige Variationsformulierungen Stochastische Variationsformulierung gesucht u Ṽ, so dass v Ṽ ã(u, v) = l (v) Zufallselemente als Testfunktionen Approximation durch endlichdimensionale Aufgaben durch FEM-Methoden bezüglich der räumlichen Variablen und besonderer endlichdimensionaler Approximationen bezüglich der stochastischen Einflussgrößen Ausgangspunkt von weiteren Varianten der FEMSP, wie dem sogenannten Spektralansatz

15 elementare Zufallselemente in V können nur endlich viele mögliche Werte annehmen, d.h. ihr Wertebereich ist eine (f.s.) endliche Menge im Raum V im Fall von Zufallsgrößen oder Zufallsvektoren besitzen elementare Zufallselemente eine diskrete Verteilung sind die zufälligen Parameter der Differentialgleichung elementare Zufallselemente, ist das Problem bezüglich der stochastischen Einflussgrößen endlichdimensional: N Zerlegung des Wahrscheinlichkeitsraumes Ω = k=1 auf jeder Teilmenge Ω k nimmt jeder der Parameter einen deterministischen Wert an deterministische Differentialgleichung oder Variationsaufgabe Ω k

16 unter bestimmten Bedingungen lassen sich beliebige Zufallselemente durch elementare Zufallselemente approximieren: Satz: Sei X ein Zufallselement mit Werten in einem separablen metrischen Raum. Dann existiert eine Folge (X n ) n N von elementaren Zufallselementen, die P-f.s. (unter geeigneten Voraussetzungen auch im p-ten Mittel) gegen X konvergiert. (Entsprechende Aussagen gelten auch für Verteilungen und die Konvergenz in Verteilung.)

17 für Zufallsvariable bzw. Zufallsvektoren: durch diskrete Zufallsvariable bzw. Zufallsvektoren für Zufallsfunktionen: Abbruch von Reihenentwicklungen, Koeffizienten mit diskreten Verteilungen Approximation z.b. durch zufällige Polynome mit Koeffizienten mit diskreter Verteilung Approximationsoperatoren im unendlichdimensionalen Wertebereich des Zufallselementes hier ist die Approximation der gemeinsamen Verteilung von Interesse

18 Zerlegung des Wahrscheinlichkeitsraumes Ω = N k=1 auf jeder Teilmenge Ω k nimmt jeder der Parameter einen deterministischen Wert an endliche Anzahl von deterministischen Problemen: gesucht u k V so dass Ω k a k (u k, v) = l k (v) v V Lösung dieser Probleme mittels deterministischer FEM

19 Resultat: elementares Zufallselement mit Werten u k : u(ω) = u k für ω Ω k, P(Ω k ) = p k Verteilung der Näherungslösung ist bekannt gesuchte stochastische Kenngrößen der Lösung können näherungsweise berechnet werden flexibel notwendig, zuverlässig Approximationen durch elementare Zufallselemente zu bestimmen entstehende Fehler müssen abgeschätzt werden Möglichkeit zur Verifizierung anderer Verfahren steht im Verhältnis zur Monte Carlo stochastischen FEM ungefähr wie die Erzeugung von Quasizufallszahlen (gleichverteilte Zahlenfolgen) zur Erzeugung von Folgen von Zufallszahlen

20 Zufällige Beispielaufgabe Gesucht ist eine Zufallsfunktion u(x, ω) mit d ( a(x, ω) du ) (x, ω) = f (x, ω), 0 < x < 1 dx dx u(0) = 0 a(1) du (1, ω) = F(ω) dx Lösungsformel für Ensemble der Realisierungen ( x ) F(ω) u(x, ω) = a(y, ω) f (s, ω) ds dy a(y, ω) 0 (Verschiebungen in einem axial belasteten Stab) y

21 Konkretisierung der Beispielaufgabe F( ) sei gleichverteilt auf (100, ) α( ) sei gleichverteilt auf ( δ, δ) und unabhängig von F a(x, ) = e (1+α( ))x Für feste Werte x (0, 1) (bzw. x 1, x 2 ) ist dann die Verteilungsfunktion von a(x): 0 für z e (1 δ)x ( 1 P(a(x) z) = ln z 2δ x 1 + δ ) für e (1 δ)x < z e (1+δ)x 1 für e (1+δ)x < z

22 Konkretisierung der Beispielaufgabe die Dichtefunktion von a(x): p a(x) (z) = { 1 2δxz für e (1 δ)x < z < e (1+δ)x 0 sonst Verteilungsfunktion Dichtefunktion (x = 1 2, δ = 0.4)

23 Konkretisierung der Beispielaufgabe die Erwartungswertfunktion von a(x): vgl. dazu die Funktion die Kovarianzfunktion von a(x): C a (x 1, x 2 ) = E{a(x)} = E{e (1+α)x } = e x eδx e δx e (1+E{α}))x = e x 2δx e x 1+x 2 (e ) (x 1+x 2 )δ e (x 1+x 2 )δ 2δ(x 1 + x 2 ) ex 1+x 2 4δ 2 x 1 x 2 ( e x 1δ e x 1δ ) ( e x 2δ e x 2δ )

24 Konkretisierung der Beispielaufgabe Erwartungswertfunktion Kovarianzfunktion (δ = 0.4 rot, δ = 0.8 grün, (δ = 0.4) Vergleichsfunktion blau)

25 Charakteristiken der Lösung erhält man mit Hilfe der Lösungsformel als nichtlineare Transformation der gegebenen Zufallsgrößen α( ) und F( ) u(x, ω) = F(ω) (1 e (1+α(ω))x) 1 + α(ω) { F m u (x) = E{u(x)} = E (1 e (1+α)x)} 1 + α δ 1 e (1+s)x = 100 ds δ 2δ(1 + s)

26 C u (x 1, x 2 ) = ( δ (1 e (1+s)x 1)(1 e (1+s)x 2) 3 3 ) δ 2δ(1 + s) 2 ds m u (x 1 ) m u (x 2 ) Erwartungswertfunktion Kovarianzfunktion (δ = 0.4 rot, δ = 0.8 grün, (δ = 0.4) Vergleichsfunktion blau) (Einheiten mal )

27 elementare Zufallselemente im Beispiel Betrachten statt der unabhängigen, stetig gleichverteilten Zufallsgrößen α, F unabhängige, diskret gleichverteilte Zufallsgrößen α, F mit den möglichen Werten, z.b. α 1 = 0.32 α 2 = 0.16 α 3 = 0 α 4 = 0.16 α 5 = 0.32 F 1 = 92 F 2 = 96 F 3 = 100 F 4 = 104 F 5 = 108 Jede der 25 Kombinationen tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von = 1 = 0.04 ein. 25

28 elementare Zufallselemente im Beispiel Berechnung der zugehörigen Lösung ũ, z.b. u kl (x) = x 0 F k e (1+α l )y dy = oder mittels deterministischer FEM F ( ) k 1 e (1+α l )x 1 + α l Berechnung der gewünschten Kenngrößen für die Lösung mit endlich vielen möglichen Werten, z.b. m u (x) m eu(x) = k=1 l=1 5 u kl (x)

29 elementare Zufallselemente im Beispiel Lösungsfunktionen Verteilungsfunktion

30 Bemerkung zur FEM im Beispiel falls räumliche Diskretisierung mit Hütchenfunktionen analytisch invertierbare Systemmatrix ( A 1) min(i,j) = ij k=1 Lösung falls f (x) = 0, 0 < x < 1 u i = F n 2 i k=1 1 = 1 min(i,j) c k n 2 k=1 1 b i = F n 2 k=1 1 k n k 1 a(x) dx n i 1 i n i 1 a(x) dx n 1 Größen müssen gut approximiert werden i n i 1 a(x, ω) dx n