WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE

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1 2.5 ANFANGSRANDWERTPROBLEM DER ELASTOMECHANIK Charakterisierung Die Zusammenfassung der in den vorangehenden Folien entwickelten Grundgleichungen des dreidimensionalen Kontinuums bildet das Anfangsrandwertproblem der Elastomechanik. Im einzelnen waren dies die Beschreibung der Deformation im Rahmen der Kinematik die Formulierung des Kräftegleichgewichts auf Basis kinetischer Betrachtungen die Anfangs- und Randbedingungen die konstitutive Gleichung 76

2 2.5 ANFANGSRANDWERTPROBLEM DER ELASTOMECHANIK Charakterisierung Der Charakter von Anfangsrandwertproblemen der Strukturmechanik ist abhängig von der zu beschreibenden Struktur und Belastung, dessen Modellierung im wesentlichen nach den Gesichtspunkten geometrische Linearität oder Nichtlinearität materielle Linearität oder Nichtlinearität Zeitunabhängigkeit oder Zeitabhängigkeit klassifiziert werden können. Simplifizierung der Physik geometrisch und materiell nichtlinear geometrisch linear und materiell nichtlinear geometrisch nichtlinear und materiell linear geometrisch und materiell linear Komplexität der numerischen Lösung 77

3 2.5 ANFANGSRANDWERTPROBLEM DER ELASTOMECHANIK Geometrisch und materiell lineare Elastodynamik Unter den Voraussetzungen kleiner Deformationen und kleiner Verzerrungen ist es zulässig strukturmechanische Analysen im Rahmen der geometrisch und materiell linearen Theorie durchzuführen. Die wesentlichen Komponenten der Beschreibung kleiner, linear elastischer Deformationen bilden die Formulierung des Zusammenhangs von Verschiebungs- und Verzerrungsfeld die Spannungen und Verzerrungen verbindende konstitutive Gleichung das Kräftegleichgewicht Alle drei Komponenten bilden zusammen die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung der linearen Elastodynamik mit dem Verschiebungsfeld als Lösungsvariable. 78

4 2.5 ANFANGSRANDWERTPROBLEM DER ELASTOMECHANIK Geometrisch und materiell lineare Elastostatik Im Fall statischer oder quasi-statischer Analysen wird das Anfangsrandwertproblem durch die Vernachlässigung transienter Effekte zu einem Randwertproblem reduziert. Die resultierende Differentialgleichung ist mit gegeben. 79

5 Das lokale Verhalten eines elastischen Körpers wurde in den vorangehenden Abschnitten hinreichend mit Hilfe des Anfangsrandwertproblems beschrieben. Die Lösung dieser partiellen Differentialgleichung ist im allgemeinen nicht analytisch möglich. Aus diesem Grund werden zur Auffindung einer approximativen Lösung Näherungsverfahren, speziell die Finite-Element-Methode eingesetzt. Diese Methode löst allerdings nicht die sogenannte starke Form der Differentialgleichung sondern lediglich deren Integral über dem Lösungsgebiet, die sogenannte schwache Form der Differentialgleichung. Diese schwache Formulierung bildet die Grundvoraussetzung zur Anwendung von Näherungsverfahren. Klassische integrale Prinzipe der Mechanik sind das (Prinzip der virtuellen Arbeit) das Prinzip der virtuellen Kräfte das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials (verallg. Hamilton sche Prinzip des Kontinuums) 80

6 Das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials fordert die Existenz eines Potentials, womit seine Anwendbarkeit auf die Strukturmechanik hyperelastischer Werkstoffe beschränkt bleibt. Das Prinzip der virtuellen Kräfte angewendet auf die Strukturmechanik stellt das Kraftgrößenverfahren dar, welches sich bei der computerorientierten Umsetzung als ungünstig erweist. Universell für beliebige Werkstoffe einsetzbar und exzellent systematisier- und programmierbar ist hingegen die auf dem basierte Finite-Element-Methode. Zur Generierung Prinzips der virtuellen Verschiebungen werden die starke Form der Differentialgleichung, die der lokalen Impulsbilanz entspricht, sowie die statische Randbedingung mit einer vektorwertigen Testfunktion skalar multipliziert und über das Volumen beziehungsweise über den Neumann-Rand des betrachteten Körpers integriert. 81

7 Als Testfunktion wird die virtuelle Verschiebung δu gewählt. Diese spezielle Testfunktion hat die folgenden Eigenschaften: δu genügt den geometrischen Randbedingungen δu = 0 X Ω u δu genügt den Feldbedingungen sym δu = δε δu ist infinitesimal klein δu ist beliebig 82

8 Als Testfunktion wird die virtuelle Verschiebung δu gewählt. Diese spezielle Testfunktion hat die folgenden Eigenschaften: δu genügt den geometrischen Randbedingungen δu = 0 X Ω u δu genügt den Feldbedingungen sym δu = δε δu ist infinitesimal klein δu ist beliebig 83

9 Die schwache Formulierung der Impulsbilanz und der statischen Randbedingung ergibt sich durch Umformung dieser Grundgleichungen. Danach wird eine Multiplikation mit der Testfunktion δu, die Integration über das Volumen, bzw. über den Neumann-Rand und die Addition der Integralterme durchgeführt. Zur weiteren Umformung dieser Gleichung wird zunächst der Term δu div σ betrachtet. 84

10 Der Term δu div σ kann durch die Anwendung der Produktregel für die Divergenz auf den Ausdruck div δu σ umgeformt werden. Ferner wird der Gauß'sche Integralsatz für die Divergenz eines Tensors erster Stufe (Vektor) auf das Volumenintegral des Terms div δu σ angewendet. Der Rand Ω konnte in obiger Umformung durch den Neumann-Rand Ω σ substituiert werden, da die Testfunktion δu nach auf dem Dirichlet-Rand Null ist. 85

11 Mit den zuvor hergeleiteten Gleichungen kann die schwache Form der Impulsgleichung folgendermaßen angegeben werden: Zuletzt wird noch der Term δ u σ unter die Lupe genommen und in eine alternative Form umgeschrieben. 86

12 Das ist damit in der gebräuchlichen Form, mit dem skalaren Produkt der Variation des Verzerrungstensors und dem Spannungstensor, hergeleitet. In Komponentenschreibweise liest sich das wie folgt: 87

13 Die einzelnen Summanden werden als virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte δψ dyn, interne virtuelle Arbeit δψ int und virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte oder äußere virtuelle Arbeit δψ ext bezeichnet. Zur Generierung finiter Elemente wird die Definition der Spannungen und Verzerrungen als Vektoren verwendet. Berücksichtigt man zusätzlich die kinematische Gleichung (Folie 33) und das konstitutive Gesetz (Folie 65), erhält man die innere virtuelle Arbeit als Funktion der Verschiebungen u, der Materialmatrix C und des Differentialoperators D ε. 88

14 Eigenschaften des Prinzips der virtuellen Verschiebungen Da die Spannungen σ ε Funktionen der Verzerrungen sind und diese wiederum über die geometrische Beziehung ε = ε u von den Verschiebungen abhängen, stellt das Prinzip der virtuellen Verschiebungen eine Bedingungsgleichung für die unbekannten Verschiebungen u dar. Kennt man die Lösung dieser Gleichungen, so ist dies gleichzeitig die Lösung der entsprechenden strengen oder starken Form, nämlich der Gleichgewichtsbedingung (Folie 45). Da das für beliebige Testfunktionen δu gelten müssen, beinhaltet sie die Differentialgleichungen des Impulssatzes und die statischen Randbedingungen. Wird das allerdings nicht exakt, sondern mit Hilfe von Ansatzfunktionen gelöst (wie das bei der Finite-Element-Methode der Fall ist), sind die Lösungen der schwachen und starken Form nicht identisch. Die approximierte Verschiebungslösung in die starke Form des Impulssatzes eingesetzt, ergibt einen Fehler, das sogenannte Residuum. 89

15 Eigenschaften des Prinzips der virtuellen Verschiebungen Das bedeutet, im kontinuierlichen Fall sind starke und schwache Form identisch, im diskretisierten Fall hingegen nicht. Da die integrale Form des Gleichgewichts und der Neumann-Randbedingungen lokale Fehler zulässt, bildet sie die Basis zur Entwicklung der Finite-Element-Methode. Infolge der Wahl der virtuelle Verschiebung δu als speziellen Typs der Testfunktion, die den geometrischen Randbedingungen genügt, werden im die geometrischen Randbedingungen stark erfüllt. Das Gleichgewicht und die statischen Randbedingungen werden dagegen infolge ihrer Multiplikation mit der Testfunktion und Integration über das Volumen, bzw. den Neumann-Rand nur schwach, d.h. im integralen Sinne, erfüllt. 90

16 Eigenschaften des Prinzips der virtuellen Verschiebungen Wegen der Bedeutung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen für die Entwicklung der Finite- Element-Methode sollen abschließend die diesbezüglich gewonnenen Erkenntnisse zusammengefasst werden: Die Dirichlet-Randbedingungen sind im streng erfüllt. Die Neumann Randbedingungen und die Gleichgewichtsbeziehung müssen im Prinzip der virtuellen Verschiebungen nur schwach erfüllt werden. Der Vorteil der Integralform gegenüber der Differentialform liegt darin, dass die schwache Form lokale Fehler, die bei einer Approximation entstehen können, verzeiht, solange die Differentialgleichung im Integralmittel erfüllt wird. Aus diesem Grund bildet die schwache Form die Basis für die Finite-Element-Methode. 91