I. Einführung in die PDGL

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1 I. Einführung in die PDGL I.1 Modellierungsbeispiele I.2 Wohlgestelltheit I.3 Klassifizierung I.4 Lösungskonzepte Kapitel I (0) 1

2 Grundlegende Definitionen Partielle Differentialgleichung: (PDGL, engl. PDE) Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung, welche eine oder mehrere partielle Ableitungen einer Funktion u beinhaltet. Die Funktion u kann dabei je nach Anwendungsfall von der Zeit t und/oder mehreren Ortsvariablen x R d abhängen. Mit d bezeichnen wir die Raumdimension des Problems. Ordnung einer PDGL: Als Ordnung einer PDGL bezeichnet man die Ordnung der höchsten partiellen Ableitung, welche in der PDGL auftritt. u : R 2 R, partielle Ableitung dritter Ordnung: 3 u x y 2 Als System von PDGL bezeichnet man eine Zusammenfassung mehrerer einzelner PDGL, welche untereinander gekoppelt sein können. Kapitel I (1) 2

3 Beispiele 1) Transportgleichung, u : R [0, ) R u t +a u x zeitabhängig, d = 1, Ordnung 1. = 0, a > 0, a R. 2) Laplace-Gleichung, u : R 2 R zeitunabhängig, d = 2, Ordnung 2. 2 u x u y 2 = 0. 3) Wellengleichung, u : R [0, ) R zeitabhängig, d = 1, Ordnung 2. 2 u u t 2 c2 2 = 0, c R. x2 Kapitel I (2) 3

4 Homogene/Inhomogene PDGL Eine PDGL heißt homogen, falls jeder Term entweder von u oder einer partiellen Ableitung von u abhängt. Ansonsten heißt sie inhomogen. Beispiele für homogene PDGL (siehe vorherige Folie): Transportgleichung, Laplace-Gleichung, Wellengleichung Beispiel für eine inhomogene PDGL: Poisson-Gleichung, u : R 2 R 2 u x u y 2 = f(x,y), zeitunabhängig, d = 2, Ordnung 2, f : R 2 R ist ein geeignet vorgegebener Quellterm. Kapitel I (3) 4

5 Lineare/nichtlineare PDGL Eine PDGL heißt linear, falls die gesuchte Funktion u nur bis zur ersten Potenz in ihr auftritt. Ansonsten heißt sie nichtlinear. Alle bisherigen Beispiele sind lineare PDGL. Beispiel für eine nichtlineare PDGL: Burgersgleichung, u : R [0, ) R u t +u u x = 0, zeitabhängig, d = 1, Ordnung 1, homogen. Wegen ist diese PDGL nichtlinear. u u x = x ( ) u 2 2 Kapitel I (4) 5

6 Beispiele von PDE in der mathematischen Modellierung Lamé Gleichung Berechnung der Verformung von Körpern unter Krafteinwirkung. Schrödinger Gleichung Berechnung von Wellenfunktionen quantenmechanischer Systeme. Navier-Stokes Gleichungen Berechnung der Strömung von Flüssigkeiten und Gasen. Maxwell-Gleichungen Berechnung von Phänomenen im Elektromagnetismus. Kapitel I (9) 6

7 Lineare Elastizität Historisches Augustin Cauchy ( ) Quelle: Wikimedia Commons Diese Bild- oder Mediendatei ist gemeinfrei, weil ihre urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen ist Cauchy leistete mehrere Beiträge zur Elastizitätstheorie. Zum einen entwickelte er den Cauchy Spannungstensor eines Würfels, mit welchem die Spannung in einem Punkt eines elastischen Körpers vollständig beschrieben werden kann. Mit Hilfe der Cauchy Zahl kann man Aussagen über die Ähnlichkeit im Elastizitätsverhalten zweier Körper machen. Die Cauchy Zahl ist das Verhältnis der Trägheitskräfte zu den elastischen Kräften bei Schwingungen des Schalls in einem Körper. Kapitel I (einleitung39) 7

8 Lineare Elastizität Gesucht ist das Verschiebungsfeld u R d, das den Lamé Gleichungen divσ(u(x)) = f(x), für x Ω R d und zusätzlichen Randbedingungen auf Γ := Ω genügt. f(x) R d : Volumenkraftdichte σ(u) R d d : Spannungstensor σ(u) := λtr(ε(u))id+2µε(u) ε(u) R d d : Verzerrungstensor ε(u) := 1 2 ( u+( u) ) λ, µ R Lamé-Parameter, werden berechnet aus dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl (Poissonzahl) ν des Materials Kapitel I (einleitung31) 8

9 Lamé Parameter Plane Strain / Plane Stress In 3 Dimensionen (d=3): λ = Eν (1+ν)(1 2ν), µ = E 2(1+ν) In 2 Dimensionen (d=2): Eν Ebener Verzerrungszustand (Plane Strain): λ = (1+ν)(1 2ν), µ = E 2(1+ν) Ebener Spannungszustand (Plane Stress): λ = Eν (1 ν 2 ), µ = E 2(1+ν) Der ebene Spannungszustand liegt bei Bauteilen vor, deren Dicke in einer Koordinatenrichtung konstant ist und die wesentlich kleiner als die übrigen Abmessungen ist. Dagegen liegt der ebene Verzerrungszustand bei Bauteilen vor, deren Dicke in einer Koordinatenrichtung konstant ist und die wesentlich größer ist als die übrigen Abmessungen. Kapitel I (einleitung32) 9

10 Beispiel: Lineare Elastizität Ebener Verzerrungszustand (Plane Strain) Profilträger Kraft F auf Oberseite (Neumann-Daten) verankert am Boden (Dirichlet-Daten) gesucht: Deformation F Kapitel I (einleitung33) 10

11 Schrödinger Gleichung Historisches Schrödinger gilt als einer der Begründer der Erwin Schrödinger Quantenmechanik und erhielt mit Paul Dirac 1933 den ( ) Nobelpreis für Physik. Quelle: Wikimedia Commons Diese Bild- oder Mediendatei ist gemeinfrei, weil ihre urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen ist Österreichischer Physiker und Wissenschaftstheoretiker. Kapitel I (MSEEinf10) 11

12 Schrödinger Gleichung Sie ist die grundlegende Gleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik und beschreibt die Dynamik der quantenmechanischen Zustände eines Systems. Sie ist eine zeitabhängige, homogene, lineare PDGL zweiter Ordnung. i t ψ(x,t) = 2 2m ψ(x,t)+v(x,t)ψ(x,t) mit der gesuchten Größe ψ, der Planckschen Konstante, der Masse m und dem Potential V. ψ 2 gibt dabei die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens an. Mögliche Potentiale sind u.a.: harmonische Potential Potentialtopf Kapitel I (MSEEinf11) 12

13 Schrödinger Gleichung Figure 1: Orbitale (Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ 2 eines einzelnen Elektrons in einem stationären Zustand) des H-Atoms, für verschiedene Energielevel Quelle: Wikimedia Commons/CK-12 Foundation/cc-by-sa-3.0 Kapitel I (1) 13

14 Navier Stokes Gleichungen Historisches Claude Navier ( ) Quelle: Wikimedia Commons Diese Bild- oder Mediendatei ist gemeinfrei, weil ihre urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen ist Der Impulssatz für newtonische Fluide, z.b. für Wasser, wurde von Navier und Stokes unabhängig im 19. Jahrhundert formuliert. Obwohl die Gleichungen bereits zwei Jahre vor Stokes von Saint Venant hergeleitet wurden, setzte sich der Name Navier Stokes Gleichungen durch. George Stokes ( ) Quelle: Wikimedia Commons Bis heute gibt es keine allgemeinen Resultate über die theoretische Wohlgestelltheit der Navier Stokes Gleichungen. Diese Bild- oder Mediendatei ist gemeinfrei, weil ihre urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen ist Kapitel I (einleitung38) 14

15 Navier Stokes Gleichungen Die Navier Stokes Gleichungen sind ein System partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung bestehend aus dem Impulssatz und der Kontinuitätsgleichung. Hauptsächlich werden sie in der Strömungsmechanik verwendet um die Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen zu beschreiben. Gesucht ist das Geschwindigkeitsfeld u R d, d {2,3}, der Druck p R und die Dichte ρ R, die in Ω R d dem System ρ t u div(ν u)+ρ(u )u+ p = f t ρ+div (ρu) = 0 und zusätzlichen Randbedingungen auf Γ := Ω genügen. f(x) R d,x Ω: Volumenkraft ν > 0: kinematische Viskosität Die Gleichungen ohne den rotmarkierten Anteil sind die Stokes-Gleichungen Kapitel I (MSEEinf09) 15

16 Navier Stokes Gleichungen Beispiel Simulation einer turbulenten Strömung mit Hilfe der Navier Stokes Gleichungen zum Zeitpunkt t = 0 und zum Endzeitpunkt. Kapitel I (einleitung37) 16

17 Navier Stokes Gleichungen Beispiel Simulation einer turbulenten Strömung gekoppelt mit einer porösen Medien Strömung. Zu sehen ist die freie Strömung und die Reaktionen auf unterschiedliche Kopplungsbedingungen am unteren Rand. (glatt, rau, porös) Kapitel I (einleitung37) 17

18 Maxwell Gleichungen Historisches James Clerk Maxwell ( ) Quelle: Wikimedia Commons Diese Bild- oder Mediendatei ist gemeinfrei, weil ihre urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen ist Maxwell war ein schottischer Physiker. Er entwickelte die nach ihm benannten Gleichungen, welche die Grundlagen der Elektrizitätslehre und des Magnetismus bilden. Kapitel I (MSEEinf12) 18

19 Maxwell Gleichungen Die Maxwell Gleichungen beschreiben die Phänomene des Elektromagnetismus. Zusammen mit der Lorentzkraft erklären sie alle Phänomene der klassischen Elektrodynamik. Die Gleichungen sind ein zeitabhängiges System von partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. E = ρ ǫ H = 0 E = µ t H H = j +ǫ t E mit der magnetischen Feldstärke H, elektrischen Feldstärke E, Ladungsdichte ρ und Stromdichte j. µ und ǫ stellen physikalische Konstanten dar. Kapitel I (MSEEinf13) 19

20 Maxwell Gleichungen - Skin Effekt Stromdichte Eisen (links) und Kupfer (rechts) Stromdichten für verschiedene Materialien mit daraus resultierendem Skin-Effekt. Dies ist ein Effekt, durch den bei Wechselspannung die Stromdichte im Inneren eines Leiters niedriger ist als an der Oberfläche. Kapitel I (einleitung37) 20

21 Randbedingungen Die PDGL: 2 u x u y 2 = 0 besitzt auf einem geeigneten Gebiet Ω R 2 völlig unterschiedliche Lösungen u : Ω R z.b.: u(x,y) = x 2 y 2, u(x,y) = exp(x)cosy, u(x,y) = sinxcoshy, u(x,y) = ln ( x 2 +y 2). Wie kann man aus einer Menge von Lösungen eine bestimmte Lösung auswählen? Antwort: Auf dem Rand von Ω ( Ω) müssen geeignete Randbedingungen gesetzt werden. Für zeitabhängige PDGL müssen zudem noch geeignete Anfangsbedingungen definiert werden (vgl. Vorlesung zu den gewöhnlichen Differentialgleichungen). Kapitel I (2) 21

22 Wohlgestelltheit nach Hadamard 1. Existenz einer Lösung 2. Eindeutigkeit der Lösung J. Hadamard ( ), Quelle: Wikimedia Commons Diese Bild- oder Mediendatei ist gemeinfrei, weil ihre 3. stetige Abhängigkeit der Lösung von den Problemdaten urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen ist Ob ein Problem wohlgestellt ist, hängt sehr stark von dem Typ der PDGL und den jeweiligen Randbedingungen ab. Kapitel I (1) 22

23 Beispiel für Nicht-Existenz (Punkt 1 Hadamard) Seien g C( Ω),f C(Ω) und u C 2 (Ω) C 1 (Ω) eine Lösung zum Neumann Randwertproblem u = f in Ω, n u = g auf Ω. Direktes Einsetzen zeigt, dass v = u+const ebenfalls eine Lösung ist. Mit dem Gaußschen Integralsatz erkennen wir, dass die Daten die Kompatibilitätsbedingung gds = fdx erfüllen. Ω Eine Lösung zum Neumannschen Randwertproblem kann nicht existieren, wenn die Kompatibilitätsbedingung nicht erfüllt ist. Selbst dann gilt keine Eindeutigkeit! Ω Kapitel I (NeummannBoundary) 23

24 Beispiel für Eindeutigkeit (Punkt 2 Hadamard) Sei Ω R d beschränkt, u C 2 (Ω) C(Ω), sodass so folgt u 0 in Ω, max Ω u = max Ω u. Figure 2: Eine elastische Membran unter dem Einfluss der Schwerkraft erfüllt u 0 Analoges gilt für das Minimum im Fall u 0. Ein Beispiel für die weitreichenden Konsequenzen ist die Eindeutigkeit des Dirichlet Randwertproblems: Seien u 1,u 2 C 2 (Ω) C(Ω), sodass u 1 = u 2 in Ω und u 1 = u 2 auf Ω. Dann folgt u 1 = u 2. Hinweis: Betrachte v := u 1 u 2 und das Maximumsprinzip. Kapitel I (Maximumsprinzip) 24

25 Beispiel für nicht stetige Abhängigkeit (Punkt 3 Hadamard) aus Deuflhard, Weiser: Numerische Mathematik 3, 2013, Seite 10ff, nach Hadamard Üblich für elliptische Probleme sind Randwertvorgaben. Dennoch hat folgendes Anfangswertproblem im R 2 eine eindeutige Lösung u = xu+ 2 tu 2 = 0, u(x,0) = Φ(x), t u(x,0) = Ψ(x) Allerdings können kleine Störungen der Anfangswerte δφ = ε n 2 cos(nx),δψ = ε n cos(nx) große Störungen der Lösung verursachen: δu(x,t) ε n exp(nt). Das Anfangswertproblem hängt unstetig von den Daten ab. Es ist also nicht wohlgestellt nach der Definition von Hadamard. Dennoch ist das Problem im gewissen Sinn sinnvoll, wie wir in den Übungen sehen werden. Kapitel I (ElliptischesAnfangswertproblem) 25