Martinovsky Nicole. Schwarzmann Tobias. Thaler Michael

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1 Themen: Unbestimmtheitsrelationen, Materiewellen, Materieteilchen als Welle, Wellenfunktion, Dispersionsrelation, Wellenpaket, Wahrscheinlichkeitsinterpretation, Materie-Quanteninterferenz Martinovsky Nicole Schwarzmann Tobias Thaler Michael

2 1 Inhalt 1. Die Wellenfunktion.... Dispersionsrelation von Materie Das Wellenpaket Definition Überlagerung zweier harmonischer Wellen.. 5

3 1. Die Wellenfunktion Die Wellenfunktion beschreibt in der Quantenmechanik den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im Ortsraum, ihr Betragsquadrat bestimmt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen eines ganzen Systems. Die quantenmechanische Wellenfunktion ist die meist komplexe Lösung einer Wellengleichung, vor allem der besonders wichtigen Schrödingergleichung. Lösungen dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen wie Elektronen im Orbitalmodell oder freie Teilchen (z. B. als Wellenpaket) beschreiben. In der klassischen Physik hat der Begriff Wellenfunktion eine deutlich andere Bedeutung. Wir konstruieren uns nun Materiewellen analog zu den elektromagnetischen Wellen und gehen vom Ansatz Ψ,= einer ebenen Welle auf. Ebene Welle in x-richtung: Ψ,=. Aufgrund Plank-Einstein: =h=ħ und de Broglie: = = =ħ können wir dies in der Form Ψ,= ħ umschrieben. Weil ein Exponent immer dimensionslos sein muss, wird wohl = ħ gelten müssen- also sind und bzw. und zueinander Duale Größen. ħ Betrachten wir nun die Phasengeschwindigkeit: = = unserer Wellen. Bei Elektromagnetische Wellen im Vakuum gilt = =0, also tritt keinerlei Dispersion auf. Im Falle von Materiewellen haben wir nun de Broglie = = = = = = bzw. =²vorliegen. Daraus folgen zwei wichtige Unterschiede: Zum einen liegt wegen Spezielle Relativitätstheorie: < ständig > vor, und zum anderen gilt wegen = =, sodass Materiewellen sogar im Vakuum Dispersion zeigen.. Dispersionsrelation von Materie Um die Dispersionsrelation = Wellengleichung Δ= ² ² ² = ausgegangen für elektromagnetische Wellen herzuleiten sind wir um den Ansatz ebener Wellen in Richtung ² = ² = ² = ²

4 3 ²+ ²+ ²= 1 ² ² ²= = ² ² ² Lineare Dispersion!!! Im Falle unserer Materiewellen starten wir nun beim relativistischen Energiesatz ²= + ²,welche sich in =²²+ ² ² umschreiben lässt. Berücksichtigt man nun =h sowie =ħ,dann folgt daraus sofort ² = ²² + ² ħ² ². Substituieren wir nun den Ausdruck ² =, so weist die Dimension einer Frequenz auf und wir erhalten folgendes ²= ²² ² = ² + ² ħ² ² ² als DISPERSIONSRELATION für Materiewellen. Sie stimmt auch für das Photon, denn als masseloses Teilchen =0 vor und aus ²= ²² erhalten wir ² ² =² zurück. ² ħ ħ² ² = ² + ² ² ² 3. Das Wellenpaket 3.1 Definition (von Wikipedia.org) Ein Wellenpaket oder Wellengruppe ist ein räumlich und zeitlich begrenztes System von Wellen, das ein breites Frequenzband umfasst. Die Frequenzverteilung lässt sich rechnerisch mit Hilfe einer Fourier Transformation und experimentell mit einem Spektrometer bestimmen. Dies bedeutet, dass man durch Superposition (Aufaddieren) mehrerer einfacher Wellen erreicht, dass sich die Amplitude nur in einem räumlich eng begrenzten Bereich merklich von 0 unterscheidet. So wie wir unsere Materiewellen eingeführt haben, sind sie für den gesamten Raum definiert, und das passt nicht in unser Teilchenbild. Um die Wellen nun im Raum zu lokalisieren bietet sich eine einfache Lösung an: Die Überlagerung unterschiedlichster Wellen, welche sich alle ein wenig in ihrer Frequenz unterscheiden. Dies führt zu Interferenzerscheinungen, welche die Überlagerungswelle Ψ,= im gesamten Raum ausgehen, bis auf einen ganz bestimmten Ort, wo sie ein lokalisiertes Wellenpaket mit einer bestimmten, maximalen Amplitude im Zentrum formen, welches sich mit der Gruppengeschwindigkeit = ausbreitet. Nehmen wir unendliche viele Wellen in einem FrequenzintervallΔ, dann wird aus der Summe ein Integral und die

5 4 Überlagerung erhält eine neue Form Ψ,=. Wenden wir die Taylorentwicklung von = + + ²² + für alles ab dem zweiten Term vernachlässigen. Durch diese Abschätzung jedoch verlieren wir mit der zweiten Ableitung den Krümmungsterm und damit die Beschreibung der Dispersion. Die verwendete zweite Näherung erklärt das Zerfließen des Wellenpakets. Gehen wir davon aus, dass innerhalb von für die Gewichtung = gilt, dann erhalten wir aus = + =+ sowie = die Wellenfunktion Ψ,= = =, mit,= Δ,= Δ Unserer Welle wird durch moduliert. Klar wird für 0den obigen Ausdruck gegen 1 streben, hingegen verschwindet er für alle =±. Daraus folgt eine ebene Welle mit einem Maximum bei =0. Das ist gleichbedeutend mit = =. Das Maximum bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit = = < fort. Aus der Elektrodynamik ist uns folgendes bekannt = = + = + =!! Mithilfe der Umrechnung = = ħ² können wir direkt = = ħ = = ekennen. =

6 5 3. Zerfließen des Wellenpaket Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Wellenpaket von der Wellenlänge und damit vom Wellenvektor k abhängt, breiten sich die zum Paket überlagerten Teilwellen unterschiedlich schnell aus: Dispersion führt zu Zerfließen. Zerfließen heißt nur: Unsicherheit des Ortes wird größer! 3..1 Überlagerung zweier harmonischer Wellen Ein Elektron, dass sich mit =6 10 / bewegt, hat den Impuls und die Energie Daraus ergeben sich Wellenzahl und Kreisfrequenz für eine harmonische Welle: Für eine zweite harmonische Welle wird gewählt:

7 6 Dieser Impuls führt zu = = Aus den beiden Wellen wird die Resultierende gebildet:,= + = cos + +cos + Es genügt, den Realteil zu betrachten:,= cos +cos Unter Berücksichtigung von cos+cos= cos + cos wird daraus:,= cos + + cos Zur Abkürzung werden die Mittelwerte und die Differenzen = +,= + Δk=, Δ= gebildet.

8 7 Die Resultierende nimmt dann die Form an, cos Δ Δ cos Dies beschreibt eine harmonische Welle mit Wellenzahl und Kreisfrequenz und einer modulierten Amplitude cos. Beobachtung 1: Die resultierende Welle breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit /

9 8 aus. Die Einhüllende cos sogenannten Gruppengeschwindigkeit dagegen breitet sich mit der = Δ Δ = = / aus. Es ist festzustellen:, Die Gruppengeschwindigkeit stimmt näherungsweise mit der Teilchengeschwindigkeit überein, die Phasengeschwindigkeit ist nur etwa halb so groß. In der Grafik sind zur Verdeutlichung die Ausbreitung eines Maximums der Einhüllenden (rot) und die Ausbreitung einer Phase der Welle (blau) markiert. Beobachtung : Die Entfernung von Nullstellen der Einhüllenden cos wird als Maß für die räumliche Ausdehnung des Wellenpakets aufgefasst. Für zwei aufeinanderfolgende Nullstellen gilt: Zusammengefasst: Mit = wird daraus ħ = + = = =h

10 9 Für einen festen Ort ergibt sich dasselbe Bild wie oben, jedoch für die zeitliche Entwicklung, d.h. es ist x durch t zu ersetzen. Für die zeitliche Ausdehnung des Wellenpaktes ergibt sich = = Mit der de Broglie-Beziehung = ħ wird daraus =h