10. Wellenpakete im Vakuum

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1 ω m. Wellenpakete im Vakuum. Informationsübertragung durch elektromagnetische Wellen Ein wichtiger Anwendungsbereich elektromagnetischer Strahlung ist die Informationsübertragung. Monochromatische ebene Wellen sind dazu ungeeignet, da sie praktisch keine Information außer ihrer Periode ω verteln können. Man kann monochromatische ebene Wellen jedoch modulieren und so Information übertragen. Im einfachsten Fall bildet man eine Überlagerung aus monochromatischen Wellen: ft = f cosω t + f cosω t.. Alternativ kann Gl.. als amplituden-modulierte Schwingung dargestellt werden: denn cos = ft = f cosω m t cosω t. ω m = ω ω ; ω = ω + ω,.3 ω ω cos ω + ω cos ω cos ω + sin ω sin ω = cos ω ω cos ω sin ω sin = + cos ω + cos ω cos ω = cos ω + cos ω. cos ω cos ω sin ω sin ω cos ω Wenn ω ω gewählt wird, dann ist Gl.. eine fast harmonische Schwingung der Frequenz ω Trägerfrequenz, deren Amplitude sich ω t Abbildung.: Überlagerung zweier monochromatischer Wellen, die eine Schwebung Trägerfrequenz ω Modulationsfrequenz ω m bilden. der Modulationsfrequenz ω m ändert. Man erhält das Bild einer Schwebung siehe Abb... Kompliziertere Schwingungsformen und da mehr Möglichkeiten zur Informationsübertragung ergeben sich durch Überlagerung mehrerer Schwingungen verschiedener Frequenzen.. Fourier-Reihen und Fourier-Integrale Ausgehend von einer Grundfrequenz ω = π/t bildet man ft = n= f n exp iω n t ω n = nω..4 Die Fourier-Reihe.4 konvergiert gleichmäßig und da auch punktweise, wenn ft periodisch der Periode T und stückweise glatt ist. Die schwächere Forderung der Konvergenz im quadratischen Mittel ist erfüllt für periodische, in, T] stetige Funktionen ft. Fourier-Koeffizienten Die Fourier-Koeffizienten f n sind durch f n = T T/ T/ dt ft expiω n t..5 gegeben. Für den Beweis verwenden wir die Orthonormalitätsrelation T T/ T/ dt expiωm nt = δ mn.6 3

2 und finden T/ T/ dt ft expiω m t = T n f n δ mn = T f m..7 f ~ f τ/π Fourier-Integrale Nicht-periodische Funktionen lassen sich i.a. durch Fourier-Integrale darstellen, die sich aus Gl..4 im Limes T ergeben, d.h. das Periodizitätsintervall ist T/, T/] T, und da muss die Summe über ω n durch ein Integral über ω ersetzt werden. Sei ω = π/t der Abstand benachbarter Frequenzen ω n, so ist ft = n fω i = lim T ω ω f n exp iω n t = fi ω = lim T n= ω fω n exp iω n t.8 T π f i..9 Also kann man Gl..8 als Riemann-Summe des Fourier-Integrals ft = dω fω exp iωt. auffassen. Für die Umkehrung von Gl.. zeigt der Vergleich von Gl..5 und.9: fω = π dt ft expiωt.. fω heißt die Fourier-Transformierte zu ft. Sie existiert und. konvergiert im quadratischen Mittel für alle quadratintegrablen Funktionen ft, für die dt ft < ;. fω ist dann auch quadratintegrabel. Beispiel: Rechteckimpuls 4 τ/ τ/ t Abbildung.: Rechteckfunktion und ihre Fouriertransformierte. ft = für τ t τ ; ft = sonst..3 Dann wird fω = π τ/ τ/ dt expiωt = expiωt πω i τ/ τ/ Die Breite ω von fω schätzt man aus obiger Figur ab zu: ω π τ = sinωτ/ πω. ω.4 oder ω t π..5 Je schmaler breiter das Signal ft werden soll, desto breiter schmaler ist das Frequenzspektrum, das man benötigt. Diese Unschärferelation ist nicht an das Beispiel.3 gebunden, sondern ist ein charakteristisches Merkmal der Fourier-Transformation. Bemerkung Oft wird die Fourier-Transformation in der symmetrischen Form benutzt. ft = π dω fω exp iωt.6 fω = π dt ft expiωt.7 5

3 .3 δ-distribution Die Fourier-Transformation.,. führt auf das folgende mathematische Problem: Setzt man Gl.. in. ein, so muss nach Vertauschung der Integrationsreihenfolge ft = π dt ft dω exp iωt t = dt ft δt t.8 δt t = dω exp iωt t.9 π für beliebige quadratintegrable Funktionen ft gelten. Die hier eingeführte Größe δt t ist offensichtlich keine gewöhnliche Funktion, sondern eine Distribution, die streng genommen nicht für sich alleine stehen darf, sondern nur in Verbindung der Integration in.8 erklärt ist. Darstellungen Die δ-distribution, als deren Definition wir im folgenden Gl..8 betrachten wollen, kann durch jede Folge stetiger Funktionen δ n, für die lim n dt ft δ n t t = ft. gilt, dargestellt werden. Beispiele:. Rechteck δ n t = n für t < n ; δ nt = sonst... Gauß-Funktion Glockenkurve δ n t = n exp πt n.. 3. Die Darstellung δ n t = sinnt = π t π n n führt gerade auf die Schreibweise.9. 6 dω expiωt.3 Vorsicht: Die Gleichungen. -.3 sind so zu verstehen, dass die t -Integration vor der Limes-Bildung n auszuführen ist! Rechenregeln. δt = δ t. δat = a δt 3. δt a = δt+a+δt a a ; a..4 Überlagerung monochromatischer ebenen Wellen Wir lösen die Wellengleichung E x, t = c t E x, t =.4 durch Fouriertransformation, in dem wir den Ansatz E x, t = d 3 k dω E k x ωt k, ωe i.5 machen, d.h. E x, t durch seine Fouriertransformierte in Raum und Zeit darstellen. In der Fouriertransformation ist k die zu x und ω die zu t konjugierte Variable, physikalisch bedeuten k den Wellenzahlvektor und ω die Kreisfrequenz. Statt einfach den Realteil dieses Ansatzes als die physikalische Lösung zu definieren, verfahren wir hier so, dass wir fordern, dass E x, t = E x, t: E x, t = d 3 k dω E k, ωe i k x ωt = d 3 k dω E k x ωt k, ωe i wobei wir im letzten Schritt k k und ω ω ersetzt haben vertauschen von Integrationsgrenzen und Vorzeichen der Integrationsdifferenziale kompensiert sich gegenseitig. Da folgt die Realitätsbedingung z.b. durch Umkehren der Fouriertransformation E k, ω = E k, ω ; 7 E k, ω = E k, ω

4 Einsetzen von Gl..5 in die Wellengleichung ergibt: E x, t = d 3 k dω E k x ωt k, ω e i = d 3 k dω E k, ω k + ω e k x ωt.6 i = wegen e i k x = i ke i k x ; e i k x = e i k x = i k e i k x = k e i k x. Wir finden also, dass die Fourierdarstellung einer Funktion null sein soll; dann muss die Fouriertransformierte selbst identisch null sein: c ω c k E k, ω = d.h. E k, ω = falls nicht ω c k =. Der allgemeinste Ausdruck dafür ist: E k, ω = E kδω ck + E kδω + ck Einsetzen in die Fourierdarstellung ergibt: E x, t = d 3 k E ke k x ckt i + E k x+ckt ke i E, k = E k, ±ck. Die Realitätsbedingung wird jetzt zu E k = E k bzw. E k = E k Leichtes Umformen der Lösung ergibt E x, t = d 3 k E ke k x ckt i + E k x+ckt ke i = d 3 k E ke k x ckt.7 i + E k x ckt ke i Diese Lösung ist jetzt offensichtlich reell und lässt sich sinngemäß auf B, A und Φ übertragen. 8.5 Wellenpakete, Phasen und Gruppengeschwindigkeit Zur Vereinfachung betrachten wir jetzt zunächst ein Wellenpaket, das sich nur in einer Koordinatenrichtung, z.b. in z-richtung ausbreitet. uz, t sei eine Komponente von E oder B, Wie oben folgt aus u = die Darstellung } uz, t = dk ũke i kz ωkt + ũ ke i kz ωkt.8 ωk = ck für elektromagnetische Wellen. Da aber das folgende im Prinzip auch für Wellen anderer Dispersion ωk gilt, bleiben wir zunächst bei der Schreibweise ωk. Wir nehmen jetzt an, dass die auftretenden Wellenzahlen aus einem Band, d.h. einem begrenzten Bereich in der Nähe der Wellenzahl k stammen. Wir wählen als Amplitudenfunktion ũ k eine Gaußfunktion ũk = u exp k k πσ σ Maximum k = k und Breite σ, die auf dk ũk = u normiert ist. Das bedeutet auch, dass ũk lim = δk k. σ u Wir setzen ũ k in das erste Integral von Gl..8 ein und substituieren dabei κ = k k /σ, d.h. dκ = dk/σ und k = k + σκ: dk ũke i kz ωkt = u dk exp k k πσ σ + i kz ωkt ] = u ] dκ exp κ π + ik + σκz iωk + σκt. Hier kommen wir ohne Kenntnis von ωk nicht weiter; aber für eine hinreichend schmale Gaußkurve für kleines σ können wir ωk + σκ nach σκ entwickeln und der linearen Näherung arbeiten: dωk ωk + σκ ωk + vσκ v = dk 9 k=k

5 Für elektromagnetische Wellen ist ωk = ck linear, und diese Näherung wird exakt. Einsetzen ergibt κ wegen κ dk ũke i kz ωkt = u e i k z ωk t π + iσz vtκ = = dκ exp = u e i k z ωk t exp σ z vt ] ] + iσz vtκ.9 iκ + iσz vtκ + σ z vt } σ z vt iκ + σz vt σ z vt.3 und ] dκ exp iκ + σz vt = π.3 Der zweite Teil von Gl..8 liefert das konjugierte Komplexe davon. Endergebnis: ] uz, t = u cosk z ωk t] exp σ z vt.3 Abb..3 zeigt die z-abhängigkeit der Lösung für eine feste Zeit t. Die Welle cosk z ωk t] = cos k z ωk ] t k bewegt sich Phasengeschwindigkeit v ph = ωk k in z-richtung. Sie wird begrenzt durch den z-abhängigen Amplitudenfaktor ] ± exp σ z vt uz,t der Breite /σ, der sich der Gruppengeschwindigkeit dωk v gr = v = dk k=k z Abbildung.3: Momentaufnahme des Wellenpakets für eine feste Zeit t. in z-richtung bewegt. Der Amplitudenfaktor formt das Wellenpaket. Im Allgemeinen sind Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit verschieden; dann gleitet die Welle durch das Wellenpaket hindurch. Im Fall elektromagnetischer Wellen jedoch sind beide gleich der Lichtgeschwindigkeit: Phasengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit v ph = ωk = c k v gr = ωk = c k.33 Welle und Wellenpaket sind hier also starr verbunden. Die Verallgemeinerung auf eine allgemeine Ausbreitungsrichtung k ist unproblematisch; das Wellenpaket wird dann durch u x, t = d 3 k ũ k ke i x ω kt.34 dargestellt, und man erhält für das Wellenpaket die Gleichung Re u x, t = cos k x ω k t ] d 3 k f k k cos k k x vt ]

6 einer um k zentrierten Amplitudenfunktion ũ k = f k k. Fourierdarstellung des Vektorpotentials.35 Signale endlicher Energie erhält man nur für raum-zeitlich begrenzte Felder Wellenpakete, die wir aus monochromatischen ebenen Wellen durch Superposition aufbauen können. Für das Vektorpotential erhalten wir: A x, t = A π 3/ d 3 k k e i k x ωt ] + A k x ωt k e i..36 riertransformierten weg. Da wird nach 8. die Feldenergie zu W = d 3 x ω F = d 3 x = ɛ ɛ 4π 3 d 3 x d 3 k d 3 k e i k+ k x } iωa k, t + iωa k, t + µ i k A k, t + i k A k, t ] A + A t µ } } iω A k, t + iω A k, t i k A k, t + i k A k, t} ],.4 Hierbei haben wir wieder die beiden Basislösungen expi k x ωt so addiert, dass A x, t reell ist. Wegen ω = c k kommen in.36 alle Frequenzen ω vor. Für die Fouriertransformation ist hier die symmetrische Schreibweise gewählt. Gleichzeitig stellt Gl..36 die allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung 9.8 dar. Die Coulomb-Eichung verlangt k A k =..37 wobei wir A k, t = iωa k, t t und A k, t = iωa k, t.4 t A k, t expi k x = i k A k, t expi k x.4 Photonen-Addition der Erhaltungsgrössen Wichtig für den Aufbau der Quantenmechanik, die das elektromagnetische Feld durch Photonen beschreibt, ist die Eigenschaft, dass Energie, Impuls und Drehimpuls des Feldes sich additiv aus den Beiträgen der monochromatischen ebenen Wellen zusammensetzen. Wir demonstrieren dies für den Fall der Energie. Dazu schreiben wir.36 noch einmal um, A x, t = den Abkürzungen π 3/ d 3 k A k, t + A k, t ] expi k x,.38 benutzt haben. Nach Ausführen der Integration d 3 x erhalten wir wegen π 3 d 3 x exp i k + k x ] = δ k + k.43 und δ k = δk x δk y δk z nur Beiträge für k = k und ω = c k auch nur für ω = ω. Wegen der Coulomb-Eichung A k = ist k A, und in der allgemeinen Vektoridentität a b c d = a c b d a d b c A k, t = A k exp iωt; A k, t = A k expiωt..39 entfällt durch diese Orthogonalität der zweite Summand, und wir haben Zur Vereinfachung der Schreibweise lassen wir hier die Tilde bei den Fou- k A k k A k = k A k A k. 3

7 Wir verwenden noch ɛ µ = c und finden: W = ɛ d 3 k 8 = ɛ 4 = ɛ iω A k, t A A } k, t} k, t A k, t ikc A k, t + A A } k, t} ] k, t + A k, t d 3 k ω ] A k A k + A k A k d 3 k ω ] A k A k..44 Gleichung.44 beschreibt die Feldenergie als Summe Integral der Einzelbeiträge ω F = ɛ /ω A aus Gl der beteiligten monochromatischen Wellen. Sie stellt zusammen den entsprechenden Gleichungen für Impuls und Drehimpuls die Grundlage für die Beschreibung des elektromagnetischen Feldes durch unabhängige Teilchen Photonen dar. W ist selbst zeitunabhängig in Einklang der Energieerhaltung. 4