Übersicht Hohlleiter. Wellenausbreitung. Allgemeine Bemerkungen. Lösung der Maxwell'schen Gleichungen
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- Waltraud Becker
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1 Übersicht Hohlleiter Vergleich: freie Wellen vs. Leitungswellen Ebene Welle im rechteckigen Hohlleiter "Geführte Wellenlänge" Übertragung von Signalen Moden Mathematische Herleitung (Rechteck) Aufteilung der Wellenzahl: Cutoff Rundhohlleiter Besselfunktionen Wellenausbreitung Allgemeine Bemerkungen Freie Wellen: Ebene Welle Lösung der Maxwell'schen Gleichungen Leitungswellen: "Drahtwellen", (Quasi-)TEM-Wellen Lösung der Leitungs-Gleichungen 1
2 Freie Wellen Vergleich Leitungswellen Feldtheorie Wellenimpedanz Nur Material Charakteristische Impedanz Geometrie und Material Frage: Warum bleibt das Feld der Leitungswellen bei den Drähten? (keine Abstrahlung) Antworten: 1. Dies ist eine Suggestivfrage. 2. Praktisch jede Leitung strahlt (ein bisschen). 3. Mathematische Antwort: Eigenwert-Problem mit unbekanntem EW 4. Falls TEM, dann nur ein EW! 2
3 Wann existieren TEM-Wellen? 1. Zylindrische, unendlich lange Struktur. 2. Mindestens zwei ideale, voneinander isolierte Leiter. 3. Dazwischen nur ein einziges Dielektrikum. 4. Achtung: Es gibt immer auch höhere Moden. 5. Für TEM-Moden gelten: Transversales E-Feld wie in der Statik. Beispiel: Kurvenreiche Eisenbahn Wo fliesst der Strom zurück? Transversales E-Feld wie in der Statik. Wenig Strom Viel Strom 3
4 Hohlleiter Es geht darum, elektromagnetische Wellen durch ein Rohr zu schicken Wie sieht das EM-Feld aus, wenn es sich durch ein (leitendes) Rohr zwängt? Ebene Welle im Hohlleiter Wellenvektor y z x H-Feld Feld unabhängig von y E-Feld (y-polarisiert) Seitenflächen: Weder E- noch H-Randbedingungen erfüllt! Boden-/Deckflächen: H-normal = 0 E-tangential = 0 4
5 Ebene Welle im Hohlleiter x y z Randbedingungen Boden-/Deckflächen: Seitenflächen: Superposition von zwei Wellen (E-Feld) neuer Wellenvektor, gleiche Polarisation x z (H-Feld) 5
6 Projizierte "Wellenlängen" Geführte Wellenlänge Stehende Welle Ausbreitungskonstante von oben Geschwindigkeiten frequenzabhängig Kathetensatz von Euklid: Photon 6
7 Frequenzabhängigkeiten 1 Übertragung von Signalen: immer mehrere Frequenzen Trägerfrequenz Signalfrequenz Amplitude 7
8 Übertragung von Signalen (2) Ausbreitung frequenzabhängig! Gruppengeschwindigkeit = Signalgeschwindigkeit Puls ist Überlagerung mehrerer Frequenzen Gruppe breitet sich aus wie ein einzelner Sinusbuckel Phase wandert im Puls nach vorne 8
9 Moden kein Mode möglich ein Mode möglich zwei Moden möglich Frequenz nimmt zu Allg. Bemerkungen zu Moden Moden nur ab minimaler Frequenz möglich Grenzfrequenz für einen Mode heisst Cutoff-Frequenz Verschiedene Moden haben unterschiedliches Feldbild im Querschnitt (z.b. mehr Nullstellen) Verschiedene Moden haben unterschiedliche Ausbreitungskonstanten Signale haben immer mehrere Frequenzen Dispersion unvermeidbar 9
10 Mathematische Herleitung der Moden Vektorielle Wellengleichung plus 5 formal identische Gleichungen Skalare Wellengleichung Entkopplung? Gleichungen für Funktionen mit nur einer Variable Partielle Differential- Gleichung Gewöhnliche Differential- Gleichung 10
11 Mathematische Herleitung der Moden Maxwell-Gleichungen Längs-Ausbreitung 3D-Ansatz: 2D-Helmholtz-Gleichung in der Querschnittsebene Mathematische Herleitung der Moden (2) Schwingungsgleichung (Analogie: eingespannte Membran) Hohlleiter hier senkrecht! oder 11
12 Mathematische Herleitung der Moden (3) Schwingungsgleichung liefert nur z-komponente! Einsetzen in Maxwell-Gleichungen alle Komp. Hohlleiterwelle relativ kompliziert, wenn alle Komponenten betrachtet werden. Hohlleiter hier senkrecht! Zur Charakterisierung nur einzelne Komponenten. Nur bei Ebener Welle! Hier: Nur 2 Typen von Randbedingungen H-Wellen (TE) E-Wellen (TM) 12
13 TE 10 TE 11 13
14 TM 21 Aufteilung der Wellenzahl auflösen nach 14
15 Cutoff Bedingung: TE: oder möglich TM: und kleinste Cutoff-Frequenz: nächste Cutoff-Frequenz abhängig von Subcutoff: imaginär Wegen Randbedingungen: Dämpfung!! 15
16 Rechteckige Hohlleiter Monomode-Bandbreite ist höchstens 2 : 1 = 2 Verluste nahe bei Cutoff gross: Praktische Monomode-Bandbreite ca. 2 : 1.2 = 1.67 Praktische Hohlleiter sind normiert und haben a : b = 2 Anregung der Moden mit speziellen Übergangsgliedern beliebiges Feld Maxwell - Mathematik - Moden transversaler Ortsvektor TM-Moden TE-Moden oder Skalare 2D-Helmholtz-Gleichung mit Eigenwerten Rechteck: 16
17 Mode Chart (Bild 4.9, S. 140) ba / 1 cutoff TE 11/TM 11 cutoff TE cutoff TE cutoff TE30 2/3 cutoff TE20 1 Monomodebereich cutoff TE /a niedrige Frequenzen Mathematische Herleitung der Moden: Rundhohlleiter Maxwell-Gleichungen Längs-Ausbreitung 3D-Ansatz: 2D-Helmholtz-Gleichung in der Querschnittsebene 17
18 Mathematische Herleitung der Moden: Rundhohlleiter (2) Schwingungsgleichung (Analogie: eingespannte Membran) Rundhohlleiter Radius 2R hier senkrecht! Darstellung der z-komponente! 2 Typen von Randbedingungen H-Wellen (TE) E-Wellen (TM) 18
19 Bestimmen von mit Randbedingung TM: Hohlleiterradius ist -te Nullstelle von Bestimmen von mit Randbedingung TE: ist -te Nullstelle von 19
20 Aufteilung der Wellenzahl in Quer- und Längsanteil nur im radialen Teil Erste Nullstellen der Besselfunktionen TE TM TE TM,TE TE TM TE TE TM Monomode-Bandbreite Achtung: Moden-Nummerierung grundsätzlich anders als beim Rechteck. sehr unregelmässige Verteilung der Moden! 20
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Prof.Dr. R. Kessler, C:\ro\Si05\Andy\tephys\Bahm2\PWM-Modul_Demodul2.doc, S. 1/7 Homepage: http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/ Pulsweiten- Modulation am Beispiel Handy Demodulation mittiefpass und