Differentialgleichungen der Strömungsmechanik

Transkript

1 Differentialgleichungen der Strömungsmechanik Teil 2 Seminarvortrag: Regulär oder Singulär? Mathematische und numerische Rätsel in der Strömungsmechanik Referentin: Irena Vogel

2 Inhalt Grundgleichungen der Strömungsmechanik Erhaltungssätze Regulär oder singulär? Rolle der Computersimulationen Numerik zum Verständnis des Singularitätsproblems Ausblick 2

3 Die Grundgleichungen der Strömungsmechanik Euler Gleichung für ein homogenes inkompressibles ideales Fluid ohne Reibung! u u u t div( u) 0 p 0 Navier-Stokes-Gleichung für ein homogenes inkompressibles Fluid mit Reibung! u u u p t div( u) 0 u 3

4 Könnten Lösungen dieser Gleichungen plötzlich Unstetigkeitsstellen oder Singularitäten entwickeln? 4

5 Erhaltungssätze Grundlegende Erhaltungsgrößen in der klassischen Mechanik: Impuls Energie Drehimpuls Jede dieser Größen hat fundamentale Entsprechungen in der Strömungsmechanik 5

6 Kinetische Energiedichte E 1 2 u 2 dx 6

7 Gaußscher Divergenzsatz u da div( u) dx 7

8 Produktregel für die Divergenz Sei f eine skalarwertige Funktion und v ein Vektorfeld, dann gilt: div( f v) f div( v) v f Gaußscher Divergenzsatz angewendet auf f*v ergibt: 8

9 f vda div( f v) dx f div( v) dx v fdx 9

10 Formel zur partiellen Integration im Mehrdimensionalen v fdx f div( v) dx 10

11 Kinetische Energiedichte E 1 2 u 2 dx 11

12 Erhaltungssätze Grundlegende Erhaltungsgrößen in der klassischen Mechanik: Impuls Energie Drehimpuls Jede dieser Größen hat fundamentale Entsprechungen in der Strömungsmechanik 12

13 Drehimpuls in der Strömungsmechanik t S t da 13

14 Wohlgestelltheit Elementares Kriterium, das eine partielle Differentialgleichung erfüllen sollte: 1)Existenz einer Lösung 2)Eindeutigkeit der Lösung 3) Stabilität der Lösung (die Zukunft hängt stetig von der Gegenwart ab) 14

15 Teilresultate Lokal wohlgestellt In 2 Raumdimensionen: keine Singularitäten in endlicher Zeit 15

16 Formel zur partiellen Integration im Mehrdimensionalen v fdx f div( v) dx 16

17 Young sche Ungleichung Sind p, q > 1 mit 1 p 1 1 q und a, b >= 0, so gilt: ab 1 p a p 1 q b q 17

18 Gleichung ist überkritisch Aber: keine weiteren bekannten Erhaltungsgrößen, die als Abschätzung dienen könnten 18

19 Teilresultate In 3 Raumdimensionen: schwache Lösungen Es gibt kleine Lösungen der Navier-Stokes- Gleichung 19

20 Regulär oder singulär? Oft zitiert: Burgers-Gleichung mit und ohne Viskosität 20

21 Regulär oder singulär? Oft zitiert: Burgers-Gleichung mit und ohne Viskosität Übertragung auf echte Strömungsmechanik nicht richtig möglich 21

22 Regulär oder singulär? Zurückgreifen auf andere Strukturinformationen: In 2 Raumdimensionen: Wirbelstärkenerhaltung In 3 Raumdimensionen: offen! 22

23 Werden Singularitäten ausgebildet? In Fachwelt weit verbreitet Annahme Grund dafür: kumulative Energiedissipation t 0 u 2 dxdt 23

24 Oder Globale Regularität? Erwartung von globaler Regularität für beide Gleichungen Aus zwei Gründen: 1. bisherige Computerberechnungen lassen keine eindeutigen Schlüsse zu 2. welche Physik könnte der Gleichung fehlen? 24

25 Rolle von Computersimulationen Um Singularitäten zu finden, benötigt man Anfangskonfigurationen, aus denen sich lokal ein extrem schneller Fluss entwickelt 25

26 Rolle von Computersimulationen Um Singularitäten zu finden, benötigt man Anfangskonfigurationen, aus denen sich lokal ein extrem schneller Fluss entwickelt Höchstgeschwindigkeiten entwickelten sich innerhalb von Wirbelschläuchen 26

27 Rolle von Computersimulationen Wirbel in turbulenten Strömungen verstärken sich durch Streckung in Richtung Rotationsachse Heftigsten Reaktionen: beim Zerfall von zwei parallelen, sich entgegengesetzt drehenden Wirbelschläuchen 27

28 Zwei antiparallele Wirbelschläuche Bild 1 28

29 Bild 3 Bild 2 29

30 Bild 4 30

31 Setzt sich der Prozess selbstverstärkend fort? Gibt es Sättingungseffekte, die mögliche Singularitäten verhindern? 31

32 Numerik zum Verständnis des Singularitätsproblems 32

33 Numerik zum Verständnis des Singularitätsproblems Prinzipiell unmöglich, mithilfe des Computers die Wohlgestelltheit der Euler- oder Navier- Stokes-Gleichung zu beweisen aber: Simulationen können neue Vermutungen inspirieren Erwartungen bestätigen 33

34 Numerik zum Verständnis des Singularitätsproblems Spektralmethoden: Schnell und genau Mathematisch einfach zu verstehen 34

35 Numerik zum Verständnis des Singularitätsproblems Spektralmethoden: Linearen Terme: Fourierreihe besteht aus n^d Summanden Für den nichtlinearen Term: Fourierreihe besteht aus n^2*d Summanden 35

36 Numerik zum Verständnis des Singularitätsproblems Spektralmethoden: Die Fouriertransfomation als eine Bijektion zwischen den n^d Fourierkoeffizienten und n^d Funktionswerten an gleich weit entfernten Gitterpunkten 36

37 Numerik zum Verständnis des Singularitätsproblems Unabhängig von der Wahl des Verfahrens wird die Strömung in der Nähe einer Singularität immer kleinskalige Strukturen ausbilden 37

38 Numerik zum Verständnis des Singularitätsproblems Unabhängig von der Wahl des Verfahrens wird die Strömung in der Nähe einer Singularität immer kleinskalige Strukturen ausbilden Gute Qualitätsabschätzung der Simulationen durch überprüfen von Erhaltungsgrößen und wenigen Rechnungen auf verfeinerten Gittern 38

39 Beale-Kato-Majda-Schranke Wichtigstes Kriterium für potentiell singuläres Verhalten T* 0 max ( x, t) x dt 39

40 T* 0 max ( x, t) x dt Maximale Wirbelstärke muss mindestens wie (T* - t) ^-1 divergieren 40

41 T* 0 max ( x, t) x dt Maximale Wirbelstärke muss mindestens wie (T* - t) ^-1 divergieren Höhere Ableitungen der Geschwindigkeiten können nur singulär werden, wenn Wirbelstärke selber divergiert 41

42 Beale-Kato-Majda-Kriterium reicht für eindeutige Interpretationen der Simulationsdaten nicht aus 42

43 Eine Einladung zur Forschung Neue Singularitätskriterien Z.B.: Enstrophie, das Integral über das Quadrat der Wirbelstärke 43

44 Eine Einladung zur Forschung Beziehung zwischen Euler- und Navier-Stokes- Gleichung nicht vollständig klar Impliziert ein Beweis globaler Regularität für die Euler-Gleichung auch Regularität für die Navier- Stokes-Gleichung? Simulationen an kleine Beispielprobleme hilfreich 44

45 Eine Einladung zur Forschung Millenium-Problem: Man beweise, dass anfänglich glatte Lösungen mit periodischen Randbedingungen beliebig lange glatt bleiben oder Man findet eine Lösung, die in endlicher Zeit singulär wird 45

46 Quellen Eine Einladung in die Mathematik, Schleicher, Dierk; Lackmann, Malte (Hrsg.) Internet: Bild 1 : Eine Einladung in die Mathematik, Abb. 6, S. 155 Bild 2: Eine Einladung in die Mathematik, Abb, 4, S. 154 Bild 3 : EkzfKcWG12Y/UquHnt2E4bI/AAAAAAAAAbo/io8L_9g8XRw/s16 00/Contrail%2BInsability%2B2.JPG Bild 4: Eine Einladung in die Mathematik, Abb. 7, S

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