Grundlagen der Numerischen Thermouiddynamik CFD 1
|
|
- Heini Bösch
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Grundlagen der Numerischen Thermouiddynamik CFD 1 Skriptum zur Vorlesung Dr. J. Sesterhenn Fachgebiet Numerische Fluiddynamik Technische Universität Berlin Wintersemester 2009/2010
2 ii
3 Inhaltsverzeichnis 1 Grundgleichungen Transporttheorem Erhaltung von Masse, Impuls und Energie Satz von Gauÿ Massenerhalt Impulserhalt Energieerhalt Stogesetze Grundgleichungen zur Anwendung in der Aeroakustik 9
4 iv INHALTSVERZEICHNIS
5 Kapitel 1 Grundgleichungen 1.1 Transporttheorem Strömungsfeld u i n i ds u i n i (t+ t) ds u i n i. t u i(x i,t) (t) mitbewegtes Volumen, Masseninhalt konstant d (t+ t) Abbildung 1.1: Mitbewegtes Fluidvolumen mit konstanter Masse (Fluidteilchen) Betrachtet wird das Integral I = ϕd einer beliebigen Gröÿe ϕ, welches gebildet wird über das in Abb. 1.1 gezeigte Fluidvolumen. Dieses Volumen werde mit der Strömung fortbewegt, so, daÿ keine Masse durch die Ränder tritt. Nun interessiert man sich für die Ableitung dieses Integrals
6 2 Grundgleichungen I nach der Zeit, di dt = d dt Die Ableitung entspricht dem Grenzwert = lim = lim t 0 t 0 ϕd. di dt = lim 1 (I(t + t) I(t)) = t 0 t (t+ t) ϕ(t + t, x i )d ϕ(t + t, x i ) ϕ(t, x i ) d + lim t t 0 ϕ(t, x i )d 1 t = (t+ t)\ Die Teilausdrücke werden dann zu: ϕ(t + t, x i ) ϕ(t, x i ) lim d = t 0 t und lim t 0 (t+ t)\ ϕ(t + t, x i ) d = t ϕ(t + t, x i ) d. t ϕ t d ϕ(t, x i )u i n i tds. t Dabei wurde der zweite Term (das Integral über die Dierenz zwischen den beiden Volumina (t + t) und ) in ein Oberächenintegral über die gesamte Berandung des Volumens umgewandelt. Abb. 1.1 zeigt, wie das Produkt von Normalenvektor n i und Geschwindigkeitsvektor u i sowie der Zeit t den Abstand zwischen den beiden Oberächen ergibt. Das Transporttheorem lautet dann: di dt = ϕ t d + ϕ u i n i ds (1.1) Zu dieser Gleichung 1.1 sind wir gelangt, ohne vorauszusetzen, daÿ die betrachtete Gröÿe ϕ im Raum stetig sei (in der Zeit aber schon; ϕ soll sich zeitlich kontinuierlich ändern können). Dies bedeutet, daÿ die Dierenzierbarkeit von ϕ bzgl. x i hier noch nicht vorausgesetzt wurde. Damit ist diese (integrale) Form der Erhaltungssätze (für geeignete ϕ die Erhaltungssätze für Masse, Impuls, Energie) allgemeiner als die dierentielle Form (siehe weiter unten) und läÿt auch Unstetigkeiten wie Verdichtungsstöÿe zu. Die Finite-Volumen-Diskretisierung (siehe Abb. 1.2) besitzt als Ausgangspunkt diese integralen Erhaltungssätze. Das Fluidvolumen wird durch ein Gitter in kleine Volumina ω unterteilt, über die bei den Finite-Volumen-Verfahren die
7 1 Grundgleichungen 3 FV FD ω Abbildung 1.2: Finite-Volumen-Diskretisierung (links), Finite-Dierenzen- Diskretisierung (rechts) Integrale aus 1.1 gebildet werden. Hierbei tritt in der Aeroakustik wegen der dort sehr kleinen Störungen (z.b. im Druck p, siehe weiter unten) ein Problem beim Auswerten dieser in den integralen Erhaltungssätzen enthaltenen Bilanzen auf. Dagegen ist das Vorgehen bei der Finite-Dierenzen-Methode anders: Die dierentiellen Gleichungen werden benutzt (siehe unten), und die auftretenden partiellen Ableitungen durch Dierenzen der Werte an den Gitterpunkten dargestellt. 1.2 Erhaltung von Masse, Impuls und Energie Die Erhaltung von Impuls und Energie wird hier ohne Berücksichtigung äuÿerer auf das Volumen bzw. die Masse wirkender Kräfte (z.b. Gravitation) betrachtet Satz von Gauÿ u i n i ds = u i d heiÿt der Satz von Gauÿ mit dem nach auÿen gerichteten Normalenvektor n i der Oberäche, und dem Oberächenelement ds. Das Transporttheorem schreibt sich dann ( di ϕ dt = t + (ϕu ) i) d. (1.2) x i
8 4 Grundgleichungen Gradiententheorem z.b. für den Druck p, siehe auch unten: pn i ds = pδ ij n j ds Massenerhalt Es wird ϕ = ρ gesetzt. Der Erhaltungssatz für die Masse lautet ρ t d + ρu i n i ds = 0. Die rechte Seite dieser Gleichung ist Null, wenn keine Massenquellen vorhanden sind (Bei Strömungen mit chemischer Reaktion, z.b. Verbrennung, sind z.b. in der Massenbilanz einer Spezies Quellterme vorhanden). Man hat dann unter Benutzung des Satzes von Gauÿ: ( ρ t + (ρu i) x i ) d = 0, und nachdem diese Gleichung für alle Fluidvolumina gelten muÿ, muÿ der Ausdruck unter dem Integral Null werden, und man erhält die partielle Dierentialgleichung ρ t + (ρu i) = 0. (1.3) (Hierfür wird aber die Dierenzierbarkeit von ϕ bzw ρ gebraucht.) Diese Gleichung ist der Ausgangspunkt für die Finite-Dierenzen-Verfahren. Der zweite Term in Gleichung 1.3 ist ein Divergenzterm, der Ein- und Ausuÿ über die Grenze des (Kontroll-)Volumens beschreibt Impulserhalt Ableitung der Dierentialgleichungen Nun nimmt man ϕ = ρ u j. Sodann: (ρu j ) d + ρu j u i n i ds = F j, t wobei die rechte Seite die Summe der angreifenden Kräfte darstellt. Für die Euler-Gleichungen (reibungs- und wärmeleitungsfrei): Fj = pn j ds, d.h. nur Druckkräfte sind hier vorhanden (und wirken entlang der negativen Richtung der Oberächennormalen).
9 1 Grundgleichungen 5 Für die Navier-Stokes-Gleichungen (mit Reibung und Wärmeleitung): Fj = ( pn j + n i τ ij )ds Dabei ist τ ij deniert zu τ ij = 2µS ij + (µ d 2 3 µ)s kkδ ij, wobei S ij den Deformationstensor bezeichnet (siehe nächster Abschnitt). Das Gradiententheorem liefert (pδ ij ) p pδ ij n j ds = d = d. Somit erhält man für den Euler -Fall die folgende partielle Dierentialgleichung (DGL in konservativer Form) : (ρu j ) t + (ρu iu j ) = p, (1.4) und für den Fall der Navier-Stokes-Gleichungen (DGL in konservativer Form): (ρu j ) t + (ρu iu j ) = p + τ ij, (1.5) Entstehung von Oberächenkräften durch Reibung Die Annahme eines reibungsfreien Fluides ist oft nicht realistisch. Ein einfacher Schleppversuch zweier ebener Platten, wie in Abb. 1.3 dargestellt, zeigt, daÿ mit guter Näherung die innere Reibung eines Fluids proportional zum Geschwindigkeitsgradienten angenommen werden kann: τ u y. Im folgenden soll dieser Ansatz für einen allgemeinen Strömungszustand hergeleitet werden: An zwei benachbarten Punkten unterscheiden sich die Geschwindigkeiten u i um ũ i u i = u i dx j, (1.6) dies bedeutet z.b. du = u u u xdx + y dy + z dz. Dabei bezeichnet man u i als den Geschwindigkeitsgradiententensor. Wie jeder Tensor zweiter Stufe kann er in einen symmetrischen und einen schiefsymmetrischen Teil aufgespalten werden. u i = 1 2 ( ui + u j ) + 1 ( ui u ) j = S ij + r ij (1.7) 2
10 6 Grundgleichungen y u u(y) u = 0 x Abbildung 1.3: Fluid zwischen zwei relativ zueinander in Längsbewegung bendlichen ebenen Wänden q Wärmestrom pn Oberflächen kräfte Volumen / Massenkräfte dv f n u σ σ= τ. n Abbildung 1.4: Schematische Skizze eines Fluidteilchens und die angreifenden Oberächen- und Volumenkräfte sowie der übergehende Wärmestrom
11 1 Grundgleichungen 7 Es gilt S ij = S ji (1.8) r ij = r ji. (1.9) Für den Abstandsvektor dr (nach der Zeit dt : dr ) zweier mit dem Fluid mitbewegter Punkte P 1 und P 2 gilt ( dr i = dr i + (ũ i u i ) dt = dr i + dr j u ) i dt. (1.10) Die Änderung des Abstandsquadrates beträgt ( = (dr ) 2 (dr) 2 = dr i + dr j u ) 2 i dt (dr i ) 2 = (1.11) = 2 dr i dr j u ( i dt + dr j u ) 2 i dt, (1.12) wobei ( dr j u ) 2 i dt 0. Damit gilt = 2 dr j dr i (S ij + r ij )dt. (1.13) Es ist aber und damit erhalten wir dr j dr i r ij = 1 2 [dr jdr i r ij + dr j dr i r ij ] = (1.14) = 1 2 [dr jdr i r ij dr j dr i r ji ] = 0, (1.15) = 2 dr j dr i S ij. (1.16) Wenn S ij verschwindet, so ändert sich der Abstand zweier im Fluid mitbewegter Punkte nicht! S ij bezeichnet man deshalb als Deformationstensor. Für dr gilt in diesem Spezialfall Mit der Denition des Wirbelvektors, dr i = dr i + dr j r ij dt. (1.17) ω i = ε ijk u k (1.18) - was sich symbolisch in der Form ω = rot u schreibt - und mit dem Einheitstensor dritter Stufe ε ijk, für den gilt 1 wenn ijk eine zyklische Permutation von 123 ist ε ijk = 0 für mindestens zwei gleiche Indizes, 1 wenn ijk eine zyklische Permutation von 321 ist
12 8 Grundgleichungen läÿt sich r ij als r ij = 1 2 ε jikω k (1.19) darstellen. Für S ij = 0 ist die Bewegung der Punkte P 1 und P 2 also als reine Translation und Rotation darstellbar. r ij bezeichnet man daher als Rotationstensor. Nun wird ein allgemeiner Ausdruck für den Tensor τ ij gesucht. Für reine Translationen und Rotationen soll keine äuÿere Kraft auf das Fluidelement wirken, d.h., τ ij hängt nur von S ij ab. τ ij 0 für S ij 0. Das Medium ist isotrop. Aufgrund der ersten Aussage ist τ ij homogen. Der allgemeinste lineare homogene Ansatz lautet τ ij = 2µS ij + (µ d 2 3 µ)s kkδ ij (1.20) Energieerhalt Sei nun ϕ = ρ e, wobei e die totale spezische Energie sein soll: e = ε+ 1 2 u iu i mit der spezischen inneren Energie ε. Die Erhaltungsgleichung (Erhaltungsform) lautet: (ρe) t + ρe u i n i ds = ( pu i n i + τ ij u i n j q i n i )ds, wobei die Wärmeleitung beschrieben werden kann durch das Fouriersche Gesetz q i = λ T. (Meist wird bei der Modellierung des Wärmestroms nur die Wärmeleitung berücksichtigt, bei Stogemischen kommt noch ein Wärmetransport durch unterschiedliche Diusionskonstanten hinzu.) Diese Gleichung besagt: Die Energie eines Fluidteilchens ändert sich durch Wärmeleitung und durch die Arbeit der angreifenden Kräfte. In dierentieller Form (konservativ) kommt nach Umformung mit dem Gauÿschen Satz: (ρe) t + (ρeu i) = (pu i) + (u iτ ij ) (λ T ). (1.21)
13 1 Grundgleichungen Stogesetze Viskose Reibung Die dynamische Viskosität (Scherzähigkeit) wird relativ gut durch das Sutherland-Gesetz µ = T ( ) ref + S T 3/2 µ ref T + S (1.22) T ref beschrieben. Für Luft bei T ref = 273 K ist µ ref = 1, N ms und S = 122 K. Bei moderaten Temperaturänderungen wird auch ( ) µ T 0,7 = (1.23) µ ref T ref gebraucht. Für die Druckzähigkeit µ d verwendet man häug die sog. Stokessche Hypothese µ d = 0. (1.24) Bei mehratomigen Gasen und bei hohen Frequenzen ist dies im allgemeinen nicht gültig und µ d ist dann zu berücksichtigen. Wärmeleitung Die Wärmeleitfähigkeit λ verhält sich ähnlich wie die Scherzähigkeit, und die dimensionslose Prandtl-Zahl P r = µ c p λ (1.25) ist über weite Temperaturbereiche nahezu konstant. Recht gute Resultate liefert die Formel von Eucken: Für Luft ist P r 0, 7. P r = 4γ 9γ 5. (1.26) Grundgleichungen zur Anwendung in der Aeroakustik Die o.g. Impuls- und Energiegleichungen in integraler Form sind nicht so günstig für die Anwendung in der Aeroakustik: Dort wird mit kleinen Störungen des Druckes (durch den Schall) gerechnet, die hier betrachteten Gleichungen sind aber Bilanzen von Gröÿen etwa gleicher Gröÿenordnung. Beispiel: Sei eine rechteckige Zelle gegeben (z.b. Zelle einer Finite-Volumen- Diskretisierung), an deren einer Seite der Druck p, an der gegenüberliegenden der Druck p + δp herrscht. Die Summe der Druckkräfte ist dann (p + δp) p.
14 10 Grundgleichungen Der Rechner kenne nun nur z.b. 5 Nachkommastellen, den Rest einer Zahl schneidet er ab. Wenn nun beispielweise der Fall einer sehr kleinen Störung des Druckes eintritt, z.b. p = 1, δp = , dann p + δp. = 1, wenn. = ein numerisches erhaltenes Ergebnis bezeichnet. Dann wird auch (p+δp) p. = 0, und die Störung ist im Ergebnis verschwunden. Daher verwendet man in der Aeroakustik die Dierentialgleichungen und diskretisiert mit einem Finite-Dierenzen-Verfahren. Die integralen Bilanzgleichungen werden allerdings benötigt, wenn Verdichtungsstöÿe auftreten (die als Unstetigkeit aufgefaÿt werden). Beispiel: Man betrachte einen Düsenjet: Die kinetische Energie der aus seinen Triebwerken austretenden Luft ist um viele Gröÿenordnungen gröÿer als der Energieanteil, der sich im Schall, der von diesen Triebwerken ausgeht, bendet; die Leistung des Lärms eines startenden Düsenugzeugs wird einige wenige Watt betragen. Massengleichung Die Massengleichung war (Divergenz hier in zwei Terme aufgespalten) ρ t + u ρ i + ρ u i = 0; Dabei ist der dritte Term auf der linken Seite, ρ u i, ein Korrekturterm für die Kompressibilität des Fluids; mit der substantiellen Ableitung Dρ Dt = ρ t + ρ u i, die die Änderung beschreibt, die das mitbewegte Fluidteilchen auf seinem Weg erfährt, kommt in nichtkonservativer Form 1 ρ Dρ Dt = u i. (1.27) Dabei ist die Divergenz (rechte Seite) Null, wenn der inkompressible Fall behandelt wird. Diese Gleichung sagt aus: Die (negative) Divergenz der Geschwindigkeit entspricht der relativen Volumenänderung entlang des Weges des Fluidteilchens (linke Seite). In der Aeroakustik wird somit der Unterschied des Dilatationsterms von Null betrachtet. Beispielsweise kann die Luft im Hörsaal als inkompressibel angesehen werden, die Strömungsgeschwindigkeiten sind niedrig; die Schallwellen führen allerdings zu u i 0. Impulsgleichung Man zieht aus der linken Seite der Impulsgleichung (1.5) die Kontinuitätsgleichung heraus, indem man die Ableitungen in je zwei Terme aufspaltet (und Dρ Dt + ρ u i = 0 berücksichtigt, Massenerhalt, s.o.). Dann erhält man aus ρ u i t + ρu u i j = p + τ ij
15 1 Grundgleichungen 11 die nichtkonservative Form der Dierentialgleichung, Energiegleichung ρ Du i Dt = p + τ ij. (1.28) Zur Beschreibung kompressibler Strömungen ist neben Kontinuitäts- und Impulsgleichung eine Energiegleichung notwendig. Es existieren u.a. die bereits vorgestellte Gleichung der Gesamtenergie, die Bilanzen der inneren und der kinetischen Energie, sowie die Entropiegleichung. Die Bilanz der kinetischen Energie folgt aus der Impulsgleichung durch skalare Multiplikation mit der Geschwindigkeit: ρ D Dt u i ρ Du i Dt = u p τ ij i + u i (1.29) ( 1 2 u ) iu i = ( u i p + u i τ ij ) x } i {{ } + p u i x } {{ } i τ ij u i } {{ } Verschiebungs- Kompressions- Dissipationsarbeit arbeit funktionφ (1.30) Dabei wird die Dissipationsfunktion mit Φ bezeichnet: Φ = τ ij u i = τ ij (S ij + r ij ) = (1.31) = τ ij S ij = 2µS ij S ij + (µ d 2 3 µ)s kks mm. (1.32) Es gilt Φ 0. Subtrahiert man die Bilanz der kinetischen Energie von der Bilanz der Totalenergie, so erhält man die Bilanz der inneren Energie: ρ Dε Dt = ( λ T ) p u j + Φ. (1.33) In der Luft ist bei Zimmertemperatur die Enthalpie (bzw. die innere Energie ε) relativ groÿ, hingegen ist im Fall der Aeroakustik die kinetische Energie relativ klein. Die totale (spezische) Energie ist e = ε + u 2 /2, wobei u 2 /2 für Schallwellen sehr klein ist. (e dimensionslos: 1 + γm 2, und die Machzahlen sind in der Akustik sehr klein). Dies bedeutet: Eine Gleichung für die innere Energie ist in der Aeroakustik nicht praktisch, da sich die Gröÿenordnungen von innerer und kinetischer Energie so sehr unterscheiden. Weiterhin würde uns eine Bilanz der kinetischen Energie gegenüber der Impulsgleichung keine neuen Informationen liefern. Deswegen wird die im folgenden Abschnitt besprochene Entropiegleichung verwendet.
16 12 Grundgleichungen Entropiegleichung Durch die bei einer Temperatur T zugeführte Wärmemenge dq ist die Entropie ds gegeben zu ds = dq T. (1.34) Weiterhin gilt T ds = dε + p d( 1 ρ ) = dε p dρ (1.35) ρ2 mit der Änderung der inneren Energie dε und der Kompressionsarbeit p d( 1 ρ ). Adiabate Kompression erhöht dε, der nicht-adiabate Teil eines Kompressionsvorgangs erhöht ds. Mit den substantiellen Ableitungen schreibt sich, wie gesehen, die Kontinuitätsgleichung: p ρ (1 ρ Dρ Dt ) = p u i ρ und dann lautet die obige Beziehung für ein strömendes Medium: T Ds Dt = Dε Dt + p ρ u i, und die Entropiegleichung wird unter Hinzunahme einer Bilanz der inneren Energie zu: ρt Ds Dt = Φ + ( λ T ), (1.36) mit der Dissipationsfunktion Φ, wobei die rechte Seite in der Aeroakustik gleich Null ist, d.h. in der Aeroakustik ist Isentropie gegeben: Ds Dt = 0. Die bereits gezeigte Gleichung für die Gesamtenergie ist sehr redundant, sie enthält die Kontinuitätsgleichung, und die Gleichung für die kinetische Energie, welche sich aus der Impulsgleichung ableiten läÿt und ihr gegenüber keine neue Information liefert. Die hier verwendete Entropiegleichung vermeidet diese Redundanzen. In Form einer wirklichen Bilanz schreibt sich die Entropiegleichung: ( ) ρ Ds Dt = λ T + 1 ( Φ + λ ) T T T T T } {{ } Entropiestrom } {{ } Entropieerzeugung 0 (1.37)
Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung
Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die
Mehr8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht
8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrPhysikalisches Praktikum
Inhaltsverzeichnis Physikalisches Praktikum Versuchsbericht M4 Stoßgesetze in einer Dimension Dozent: Prof. Dr. Hans-Ilja Rückmann email: irueckm@uni-bremen.de http: // www. praktikum. physik. uni-bremen.
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrGasdynamik Die Gasdynamik beschreibt kompressible Strömungen, d.h. Strömungen mit Dichteänderungen:
Gasdynamik Die Gasdynamik beschreibt kompressible Strömungen, d.h. Strömungen mit Dichteänderungen: ρ ρ 0; t x 0;etc. Als Unterscheidungskriterium zwischen inkompressibel und kompressibel wird die Machzahl
Mehr5. Arbeit und Energie
Inhalt 5.1 Arbeit 5.2 Konservative Kräfte 5.3 Potentielle Energie 5.4 Kinetische Energie 5.1 Arbeit 5.1 Arbeit Konzept der Arbeit führt zur Energieerhaltung. 5.1 Arbeit Wird Masse m mit einer Kraft F von
Mehr7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik
262 7. Differenzialrechnung 7.3 7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 7.3.1 Kinematik Bewegungsabläufe lassen sich durch das Weg-Zeit-Gesetz s = s (t) beschreiben. Die Momentangeschwindigkeit
Mehr8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht
8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren
MehrRepetitionsaufgaben Wurzelgleichungen
Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen
MehrLösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)
Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen
Mehr1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals:
1 Arbeit und Energie Von Arbeit sprechen wir, wenn eine Kraft ~ F auf einen Körper entlang eines Weges ~s einwirkt und dadurch der "Energieinhalt" des Körpers verändert wird. Die Arbeit ist de niert als
MehrThermodynamik I. Sommersemester 2012 Kapitel 4, Teil 2. Prof. Dr.-Ing. Heinz Pitsch
Thermodynamik I Sommersemester 2012 Kapitel 4, Teil 2 Prof. Dr.-Ing. Heinz Pitsch Kapitel 4, Teil 2: Übersicht 4 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 4.5 Entropiebilanz 4.5.1 Allgemeine Entropiebilanz 4.5.2
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrEntladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand
Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrLineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die
MehrDruckgleichung nach Daniel Bernoulli (Bernoulligleichung)
HTW Dresden V-SL1 Lehrgebiet Strömungslehre 1. Vorbetrachtung Druckgleichung nach Daniel Bernoulli (Bernoulligleichung) In ruhenden und bewegten Flüssigkeiten gilt, wie in der Physik allgemein, das Gesetz
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
Mehrerster Hauptsatz der Thermodynamik,
1.2 Erster Hautsatz der hermodynamik Wir betrachten ein thermodynamisches System, dem wir eine beliebige Wärmemenge δq zuführen, und an dem wir eine Arbeit da leisten wollen. Werden umgekehrt dem System
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen
Mehr11.1 Kinetische Energie
75 Energiemethoden Energiemethoden beinhalten keine neuen Prinzipe, sondern sind ereinfachende Gesamtbetrachtungen an abgeschlossenen Systemen, die aus den bereits bekannten Axiomen folgen. Durch Projektion
Mehr1 Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.
MehrAnhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel
Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung
MehrProjekt 2HEA 2005/06 Formelzettel Elektrotechnik
Projekt 2HEA 2005/06 Formelzettel Elektrotechnik Teilübung: Kondensator im Wechselspannunskreis Gruppenteilnehmer: Jakic, Topka Abgabedatum: 24.02.2006 Jakic, Topka Inhaltsverzeichnis 2HEA INHALTSVERZEICHNIS
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
MehrDie innere Energie eines geschlossenen Systems ist konstant
Rückblick auf vorherige Vorlesung Grundsätzlich sind alle möglichen Formen von Arbeit denkbar hier diskutiert: Mechanische Arbeit: Arbeit, die nötig ist um einen Massepunkt von A nach B zu bewegen Konservative
MehrArbeitsblatt Arbeit und Energie
Arbeitsblatt Arbeit und Energie Arbeit: Wird unter der Wirkung einer Kraft ein Körper verschoben, so leistet die Kraft die Arbeit verrichtete Arbeit Kraft Komponente der Kraft in Wegrichtung; tangentiale
Mehr5.1. Kinetische Gastheorie. Ziel: Der Gasdruck: Kolben ohne Reibung, Gasatome im Volumen V Wie groß ist F auf den Kolben?
5.1. Kinetische Gastheorie z.b: He-Gas : 3 10 Atome/cm diese wechselwirken über die elektrische Kraft: Materie besteht aus sehr vielen Atomen: gehorchen den Gesetzen der Mechanik Ziel: Verständnis der
MehrTangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
Mehr1. Bernoulli - Gleichung für ideale Flüssigkeiten (reibungsfrei) und ohne Energiezu- und -abfuhr
Bernoulli - Gleichung. Bernoulli - Gleichung für ideale Flüssigkeiten (reibungsfrei) und ohne Energiezu- und -abfuhr Sie sagt aus, dass jedes Teilchen in einer Stromröhre denselben Wert der spezifischen
MehrAbituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
MehrGuide DynDNS und Portforwarding
Guide DynDNS und Portforwarding Allgemein Um Geräte im lokalen Netzwerk von überall aus über das Internet erreichen zu können, kommt man um die Themen Dynamik DNS (kurz DynDNS) und Portweiterleitung(auch
MehrInfo zum Zusammenhang von Auflösung und Genauigkeit
Da es oft Nachfragen und Verständnisprobleme mit den oben genannten Begriffen gibt, möchten wir hier versuchen etwas Licht ins Dunkel zu bringen. Nehmen wir mal an, Sie haben ein Stück Wasserrohr mit der
MehrArbeit Leistung Energie
Arbeit Leistung Energie manuell geistig Was ist Arbeit Wie misst man Arbeit? Ist geistige Arbeit messbar? Wann wird physikalische Arbeit verrichtet? Es wird physikalische Arbeit verrichtet, wenn eine Kraft
MehrÜbungen zur Experimentalphysik 3
Übungen zur Experimentalphysik 3 Prof. Dr. L. Oberauer Wintersemester 2010/2011 7. Übungsblatt - 6.Dezember 2010 Musterlösung Franziska Konitzer (franziska.konitzer@tum.de) Aufgabe 1 ( ) (8 Punkte) Optische
MehrOECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland
OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben
MehrFB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker
FB IV Mathematik Universität Trier Präsentation von Nadja Wecker 1) Einführung Beispiele 2) Mathematische Darstellung 3) Numerischer Fluss für Diffusionsgleichung 4) Konvergenz 5) CFL-Bedingung 6) Zusammenfassung
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrThermodynamik. Basics. Dietmar Pflumm: KSR/MSE. April 2008
Thermodynamik Basics Dietmar Pflumm: KSR/MSE Thermodynamik Definition Die Thermodynamik... ist eine allgemeine Energielehre als Teilgebiet der Chemie befasst sie sich mit den Gesetzmässigkeiten der Umwandlungsvorgänge
MehrInstitut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe. Übungen Regelungstechnik 2
Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielow Übungen Regelungstechnik 2 Inhalt der Übungen: 1. Grundlagen (Wiederholung RT1) 2. Störgrößenaufschaltung 3. Störgrößennachbildung
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrAlso kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.
Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf
MehrChemie Zusammenfassung KA 2
Chemie Zusammenfassung KA 2 Wärmemenge Q bei einer Reaktion Chemische Reaktionen haben eine Gemeinsamkeit: Bei der Reaktion wird entweder Energie/Wärme frei (exotherm). Oder es wird Wärme/Energie aufgenommen
MehrDer Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl
Mehr5.12. Variable Temperaturgradienten über dem Scheibenzwischenraum
5. Numerische Ergebnisse 92 5.12. Variable Temperaturgradienten über dem Scheibenzwischenraum Strukturbildungsprozesse spielen in der Natur eine außergewöhnliche Rolle. Man denke nur an meteorologische
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008
1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrBasis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.
Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren
MehrModellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele
Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
MehrPhysik. Grundlagen der Mechanik. Physik. Graz, 2012. Sonja Draxler
Mechanik: befasst sich mit der Bewegung von Körpern und der Einwirkung von Kräften. Wir unterscheiden: Kinematik: beschreibt die Bewegung von Körpern, Dynamik: befasst sich mit Kräften und deren Wirkung
MehrDefinition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.
Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften
MehrÜbungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen 1. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a)
Übungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a) b) c) 2x5y=23 2x 3y= 6x0y=64 6x 2y=6 2x3y=20 5x y=33 2x5y=23 2x 3y= 2x5y=23 2x3y= 8y=24 : 8 y=3 6x0y=64
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Hauptprüfung Abiturprüfung 205 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 205 Aufgabe A
Mehr1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
MehrDas RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer
Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Allgemein: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren ist ein häufig benutztes Verschlüsselungsverfahren, weil es sehr sicher ist. Es gehört zu der Klasse der
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrSkript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!
Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrProbeklausur zur Vorlesung Physik I für Chemiker, Pharmazeuten, Geoökologen, Lebensmittelchemiker
Technische Universität Braunschweig Institut für Geophysik und extraterrestrische Physik Prof. A. Hördt Probeklausur zur Vorlesung Physik I für Chemiker, Pharmazeuten, Geoökologen, Lebensmittelchemiker
MehrAnleitung über den Umgang mit Schildern
Anleitung über den Umgang mit Schildern -Vorwort -Wo bekommt man Schilder? -Wo und wie speichert man die Schilder? -Wie füge ich die Schilder in meinen Track ein? -Welche Bauteile kann man noch für Schilder
MehrGüte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
Mehr6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
MehrKonzepte der Informatik
Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens
MehrUmgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
MehrAbituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y
MehrPhysik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW)
Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) 5. Übung (5. KW) Aufgabe 1 (Achterbahn) Start v h 1 25 m h 2 2 m Ziel v 2? v 1 Welche Geschwindigkeit erreicht die Achterbahn in der Abbildung, wenn deren
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrPhysik 4, Übung 8, Prof. Förster
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls
MehrStellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster
Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.
MehrProzentrechnung. Wir können nun eine Formel für die Berechnung des Prozentwertes aufstellen:
Prozentrechnung Wir beginnen mit einem Beisiel: Nehmen wir mal an, ein Handy kostet 200 und es gibt 5% Rabatt (Preisnachlass), wie groß ist dann der Rabatt in Euro und wie viel kostet dann das Handy? Wenn
Mehrq = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678
Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [
MehrÜbung 5 : G = Wärmeflussdichte [Watt/m 2 ] c = spezifische Wärmekapazität k = Wärmeleitfähigkeit = *p*c = Wärmediffusität
Übung 5 : Theorie : In einem Boden finden immer Temperaturausgleichsprozesse statt. Der Wärmestrom läßt sich in eine vertikale und horizontale Komponente einteilen. Wir betrachten hier den Wärmestrom in
MehrStatistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
MehrDie Größe von Flächen vergleichen
Vertiefen 1 Die Größe von Flächen vergleichen zu Aufgabe 1 Schulbuch, Seite 182 1 Wer hat am meisten Platz? Ordne die Figuren nach ihrem Flächeninhalt. Begründe deine Reihenfolge. 1 2 3 4 zu Aufgabe 2
MehrSimplex-Umformung für Dummies
Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit
MehrDefinition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt
MehrDie Klein-Gordon Gleichung
Kapitel 5 Die Klein-Gordon Gleichung 5.1 Einleitung Die Gleichung für die Rutherford-Streuung ist ein sehr nützlicher Ansatz, um die Streuung von geladenen Teilchen zu studieren. Viele Aspekte sind aber
MehrHydrodynamik Kontinuitätsgleichung. Massenerhaltung: ρ. Massenfluss. inkompressibles Fluid: (ρ 1 = ρ 2 = konst) Erhaltung des Volumenstroms : v
Hydrodynamik Kontinuitätsgleichung A2, rho2, v2 A1, rho1, v1 Stromröhre Massenerhaltung: ρ } 1 v {{ 1 A } 1 = ρ } 2 v {{ 2 A } 2 m 1 inkompressibles Fluid: (ρ 1 = ρ 2 = konst) Erhaltung des Volumenstroms
MehrComputerarithmetik ( )
Anhang A Computerarithmetik ( ) A.1 Zahlendarstellung im Rechner und Computerarithmetik Prinzipiell ist die Menge der im Computer darstellbaren Zahlen endlich. Wie groß diese Menge ist, hängt von der Rechnerarchitektur
MehrDivergenz 1-E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Divergenz 1-E1 1-E2 Vektorfeld: Aufgabe 1 Stellen Sie graphisch folgende Vektorfelder dar x, y = x i y j a) F x, y = x i y j b) F Welcher Unterschied besteht zwischen den beiden Vektorfeldern? 1-A Vektorfeld:
Mehr