Baustatik II (SS 2011) 8. Flächentragwerke. 8.1 Einführung UNIVERSITÄT SIEGEN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
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- Julia Böhme
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1 Baustatik II (SS 011) 8. Flächentragwerke 8.1 Einführung
2 8.1 Einführung
3 8.1 Einführung
4 8.1 Einführung
5 8.1 Einführung
6 8.1 Einführung
7 8.1 Einführung
8 8.1 Einführung
9 Baustatik II (SS 011) 8. Scheiben
10 8..1 Schnittgrößen Annahme: h z z = =0 z,, 0 Ebener Spannungszustand (ESZ) z
11 8..1 Schnittgrößen Annahme: Alle Spannungskomponenten sind konstant über h=t, da h sehr klein ist! h Spannungen z
12 8..1 Schnittgrößen Scheibenkräfte Normalkräfte in -Richtung: Normalkräfte in -Richtung: Schubkräfte: n n wobei h h n h h n n, da h n n n n z
13 8.. Grundgleichungen 1.) Gleichgewichtsgleichungen f 0 f 0.) Kinematik u v u v 3.) Verträglichkeitsbedingung (Kompatibilitätsbedingung)
14 8.. Grundgleichungen 4.) Hookesches Gesetz 1 E 1/ E / E 0 1 / E 1/ E 0 E 0 0 1/ G 1 G mit: Querkontraktionszahl E Schubmodul G (1 )
15 8.. Grundgleichungen Darstellung für die Spannungen E 1 E 1 G E/(1 ) E /(1 ) 0 E /(1 ) E/(1 ) G
16 8.. Grundgleichungen 8 Gleichungen für 8 Unbekannten: Verschiebungsgrößen 3 Verzerrungen ( Dehnungen + 1 Gleitung) 3 Spannungskomponenten
17 8..3 Verschiebungsdifferentialgleichungen Eliminiert man die Verzerrungen und die Spannungen, dann erhält man die Verschiebungsdifferenzialgleichungen. E u v 1 E v u 1 u G v E u v 1 E v u 1 G G u v u v
18 8..3 Verschiebungsdifferentialgleichungen Einsetzen in die Gleichgewichtsgleichungen liefert: G u G v u G 1 G f G v G u v G 1 G f gekoppelte Dgl. Für Unbekannten u und v! Analtische Lösungen nur für spezielle Fälle möglich. Im Allgemeinen müssen numerische Methoden verwendet werden (Finite-Element-Methode=FEM, Randelementmethode=BEM, usw.).
19 8..4 Spannungsdifferentialgleichungen und Spannungsfunktion Löst man die Grundgleichungen nach den Spannungen auf, dann erhält man die Spannungsdifferentialgleichungen. Diese Formulierung ist sinnvoll, wenn man nur an den Spannungen interessiert ist und wenn ausschließlich Spannungsrandbedingungen vorgegeben sind. Einsetzen des Hookeschen Gesetzes in die Kompatibilitätsbedingung liefert: (1 ) Differentiation der ersten Gleichgewichtsgleichung nach : f 0
20 8..4 Spannungsdifferentialgleichungen und Spannungsfunktion Differentiation der zweiten Gleichgewichtsgleichung nach : f 0 Addition beider Gleichungen: f f In die Kompatibilitätsgleichung eingesetzt: f f 1
21 8..4 Spannungsdifferentialgleichungen und Spannungsfunktion Oder: Mit: 1 f Laplace-Operator Sonderfall: Keine Volumenkräfte f f 0 0 Potentialgleichung f
22 8..4 Spannungsdifferentialgleichungen und Spannungsfunktion 0 0 Gleichgewichtsgleichungen Man hat also 3 Gleichungen für 3 Unbekannten:,, Das obige Gleichungssstem kann auf eine Dgl. reduziert werden, indem man die Airsche Spannungsfunktion F(,) wie folgt einführt (G. B. Air, ):
23 8..4 Spannungsdifferentialgleichungen und Spannungsfunktion F F F Damit sind die Gleichgewichtsgleichungen automatisch erfüllt. Die Kompatibilitätsgleichung lautet nun: F F F F 0 0 Bipotentialgleichung, Biharmonische Dgl., Scheibengleichung!
24 8..4 Spannungsdifferentialgleichungen und Spannungsfunktion Ausführlich geschrieben: F F F Damit ist das Scheibenproblem auf eine einzige Dgl. 4-ter Ordnung zurückgeführt!
25 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten Koordinatentransformation: r r cos rsin Ableitungsregeln: cos sin r 1 sin cos r
26 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten 1 1 r r r r r r r r r r r r r r Scheibengleichung: F F F 1 F F 1 F F 1 F F r r r r r r r r r r
27 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten Spannungskomponenten: r 1 F 1 r r r F r F r 1 r r F
28 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten r r d r r dr h
29 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten Scheibenkräfte: n r d n r nr n r dr h
30 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten Hookesches Gesetz: r r 1 r E 1 E 1 G r r
31 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten Kinematik: 1 1 r r r r r u r u u r r u u u r r r
32 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten Scheibengleichung: F F F 1 F F 1 F F 1 F F r r r r r r r r r r
33 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten Sonderfälle: 1.) Rotationssmmetrische bzw. aialsmmetrische Probleme F d 1 d dr r dr F ist unabhängig vom Winkel : Scheibengleichung: F r 4 d F 3 d F 1 d F 1 df 4 dr r 3 dr r dr 3 r dr F Euler sche Differentialgleichung 0
34 8..5 Scheibengleichung in Polarkoordinaten.) F ist unabhängig von r: F F 1 d r d Scheibengleichung: 4 d F d F F d d
35 8..6 Lösungen der Scheibengleichung Eine allgemeine Lösung der Scheibengleichung kann man nicht angeben. Es ist aber möglich, spezielle Lösungen herzuleiten. Im Folgenden sind einige spezielle Lösungen zusammengestellt. Werden die Randbedingungen durch eine passende Spannungsfunktion erfüllt, dann ist das Randwertproblem bezüglich der Spannungen gelöst. Die Verschiebungen lassen sich dann unter Verwendung des Hookeschen Gesetzes durch die Integration der Verzerrungen bestimmen.
36 8..6 Lösungen der Scheibengleichung Allgemeine Vorgehensweise: Scheibengleichung Spannungsfunktion Spannungen Verzerrungen Verschiebungen F F 0,,,, uv, Lösung der Dgl. Definition von F Hookesches Gesetz Kinematik + Integration
37 8..6 Lösungen der Scheibengleichung Lösungen der Scheibengleichung F 0
38 8..6 Lösungen der Scheibengleichung Lösungen der Scheibengleichung F 0
39 8..7 Ebener Verzerrungszustand Bei Damm und dickwandigem Rohr unter Innendruck gilt: w 0, u(, ), v(, ) 0 z z = =0 z,, 0 Ebener Verzerrungszustand (EVZ) bzw. Ebener Dehnungszustand (EDZ)
40 8..7 Ebener Verzerrungszustand Hookesches Gesetz im drei-dimensionalen (3D) Fall: 1 1 z,, E G 1 1 z, z z, E G 1 1 z z, z z. E G
41 8..7 Ebener Verzerrungszustand = 0 = 0 z z 0 z Einsetzen von z in und liefert: 1 ' E ' 1 ' E ' 1 G ' z z z
42 8..7 Ebener Verzerrungszustand Mit: E E', ', G' G 1 1 Ein Vergleich mit dem Hookeschen Gesetz im ESZ zeigt, dass das Hookesche Gesetz im EVZ gleich dem im ESZ ist, wenn E durch E ' und durch ' ersetzt sind! Alle anderen Grundgleichungen im EVZ sind gleich denen im ESZ.
43 8..7 Ebener Verzerrungszustand Falls man die Lösungen für ESZ kennt, dann kann man die entsprechenden Lösungen für EVZ direkt erhalten, indem man in den Lösungen für ESZ E durch E' und durch ' ersetzt.
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