2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung

Transkript

1 Baustatik WS 212/ Stabiitätsprobeme und Theorie II. Ordnung 2.6 Berücksichtigung der geometrischen Imperfektionen

2 Imperfektionen Bisher: Annahme der perfekten Tragwerke und des perfekten Bauprozesses! In der Praxis treten aber Abweichungen von den gepanten perfekten Tragwerken im Bauprozess auf. Diese Abweichungen werden häufig as Imperfektionen bezeichnet und sie müssen bei dem Entwurf und der Panung von Tragwerken berücksichtigt werden. Unter Imperfektioen versteht man ae negativen Einfüsse, die zur Vergrößerung der Beanspruchung von perfekten Tragwerken in ungünstiger Weise führen.

3 Aufteiung: Aufteiung der Imperfektionen Imperfektionen Geometrische Imperfektionen Materiee Imperfektionen Geometrische Imperfektionen werden auch as Vorverformungen bezeichnet. Sie steen die Abweichungen von der Sogeometrie des Tragwerks dar. Beispiee dazu sind: Ungewote Schiefsteungen. Lotabweichungen bei Stützen. Lastausmittigkeit. Vorverkrümmungen und Vorverdrehungen.

4 Aufteiung der Imperfektionen Materiee Imperfektionen sind die Abweichungen von den definierten Materiaeigenschaften. Beispie dazu sind: Streuungen der Materiaparameter. Eigenspannungen durch Bauprozess. Eine Berücksichtigung der beiden Arten von Imperfektionen ist sehr aufwendig. In den meisten Normen wird nur die Berücksichtigung von geometrischen Imperfektionen verangt. Geometrische Imperfektionen sind immer in ungünstigster Form zu berücksichtigen. Häufig werden sie affin zur Knickfigur angesetzt. Fas die Knickfigur unbekannt ist, soen mehrere Kombinationen mit den anderen Lastfäen untersucht werden, um die ungünstigste Wirkung der Imperfektionen heraus zu finden.

5 Vorverkrümmung und Vorverdrehung In dieser Voresung werden nur 2 Arten der geometrischen Imperfektionen betrachtet: Vorverkrümmung. Vorverdrehung. perfekt perfekt vorverformt (Vorverdrehung) verformt verformt vorverformt (Vorverkrümmung)

6 Baustatik WS 212/ Differentiageichung für vorverformte Stäbe

7 Berücksichtigung der Vorverformungen Vorverformter Baken: z,w x,u w tot w w Gesamte Durchbiegung: w w w tot

8 Geichgewicht am verformten System Geichgewicht: am verformten System x,u dx perfekt z,w w vorverformt w +dw w q x S M T dw+dw q z verformt T+dT w +dw M+dM S+dS

9 Geichgewicht am verformten System dt q ( x) dx z S( dwdw ) dm T dx 1 qz ( x) dx dx 2, da höherer Ordnung! 1 q ( x) dx ( dw dw ) 2 x, da höherer Ordnung! T q z M S( ww) T (1) (2)

10 Geichgewicht am verformten System Abeitung von (2) nach x und dann Einsetzen von (1): MS( ww ) q z (3) Werkstoffgesetz: Hookesches Gesetz M EI EI w ( EIw) S w qz S w Für EI = const. erhät man: IV EIw S w qz S w (4) (5) (6)

11 Differentiageichung inearisierter Th. II. Ordnung Mit der Stabkennzah erhät man aus (6) oder mit S EI 2 2 IV qz w w w / EI IV 2 z 2 w w w (7) q (8) EI

12 Lösung der Differentiageichung: mit wx w x w x w x Homogene Lösung: h w h q ( ) ( ) z w ( ) ( ) h p p ( x) : homogene Lösung qz w w ( x), w ( x) : partikuäre Lösungen p w ( x) C C ( x) C cos( x) C sin( x) C1, C2, C3, C4 : Lösung der DGL p Unbekannte Konstanten, aus Randbedingungen zu bestimmen!

13 Lösung der DGL Partikuäre Lösungen: Die partikuären Lösungen können mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite gewonnen werden. Beispie: Konstante Streckenast qz const. w q p z ( x) qz 1 EI 2 2 x 2

14 Beispiee Beispie: Vorverdrehung z,w w x w w ( x) x p w x Beispie: Vorverkrümmung x w 4w x1 x w z,w w w ( x) 4w p 2 x 2 x 2

15 Baustatik WS 212/ Ersatzast für die Vorverformungen

16 Da die Vorverformung auf der rechten Seite der DGL und somit in der partikuären Lösung der DGL vorkommt, kann ihren Einfuss auf die Gesamtösung durch eine Ersatzast p* berücksichtigt werden. Vorverdrehung: Ersatzast S perfekt S S S S Vorverdrehung S Vorverdrehung wird durch ein Kräftepaar (Ersatzast) ersetzt!

17 Ersatzast Vorverkrümmung: x S perfekt S p * 2 p * p * 2 Vorverkrümmung w 4w x w ( x) 1 x S p* 8w 2 S S Vorverkrümmung wird durch p* und 2 Einzekräfte p*/2 ersetzt!

18 Bemerkungen Eine Vorverformung entspricht einer zusätzichen Beastung. Dadurch werden die Schnittgrößen vergrößert. Die Vorverformung ist immer in ungünstigster Richtung anzusetzen, damit sie zu einer Vergrößerung der Schnittgrößen führt. Sonst führt sie zu einer Reduzierung der Schnittgrößen (unsicher!). Sowoh die Ampitude as auch die Form der Vorverformung sind daher wichtig. Fas man nicht weißt, in wecher Form die Vorverformung ungünstig wirkt, dann sind mehrere Kombinationen mit den anderen Lastfäen zu untersuchen, um die ungünstigste Wirkung der Vorverformung zu finden.