Die Verformungstheorie I., II. und III. Ordnung.

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1 Die Verformungstheorie I., II. und III. Ordnung. Dipl.- Ing. Björnstjerne Zindler, M.Sc. Erstellt: 25. November 2012 Letzte Revision: 15. Juni 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Schnittgrößenermittlung durch Stabwerkstheorien verschiedener Ordnungen 3 3 Theorie I. Ordnung Das Biegemoment Die Biegelinie und dessen Ableitungen Die maximale Auslenkung am Knotenpunkt Die Krümmung κ Proportionalisierung von M und f MAX Theorie II. Ordnung Das Biegemoment - Vorbetrachtung Die Biegelinie und dessen Ableitungen Die maximale Auslenkung am Knotenpunkt Das Biegemoment Die Krümmung κ Proportionalisierung von M und f MAX Theorie III. Ordnung Die Biegelinie und dessen Ableitungen Die maximale Auslenkung am Knotenpunkt Das Biegemoment Der Verdrehwinkel ϕ Die Krümmung κ Proportionalisierung von M und f MAX Vergleich der Ordnungen Numerisch Grafisch Literatur [001] Keine für vorliegenden Text. [Pör87] Hans Pörschmann. Bautechnische Berechnungstafeln für Ingenieure, Seite 4-12 bis

2 1 Einleitung 1 Einleitung [001] Einleitung Die Berechnung, die Dimensionierung und der Nachweis von Stabwerken ist in ihrer Vorgehensweise geregelt. Schaut man jedoch in betreffende Regelwerke, dann trifft man auf Termini, welche im ersten Augenblick eine wilde Mischung von Berechnungsalgorithmen, Randbedingungen und Theorien vorgibt. Eine solche Gruppe von Theorien zwischen denen gern innerhalb eines Absatzes hin und hergesprungen wird, sind die Verformungstheorien zwecks Schnittgrößenermittlung. Im folgenden Verlauf werden diese Theorien an einem einfachen Modell hergeleitet. Zum Zweck, dass man das Wachsen der Berechnungsgrundlagen von Ordnung zu Ordnung gut nachvollziehen kann. So wurde stellenweise (unkommentiert) stark vereinfacht. Manchmal mit Absicht zu stark, so dass wenn man mit anderen Werken vergleicht, dort oberflächlich betrachtet, andere Gleichungen angegeben sind. Im olgenden werden am gewählten all hergeleitet, ein Knotenmoment und dessen Wirkung als Verformung. Auf andere Schnittgrößen wird nicht eingegangen. 2

3 2 Schnittgrößenermittlung durch Stabwerkstheorien verschiedener Ordnungen 2 Schnittgrößenermittlung durch Stabwerkstheorien verschiedener Ordnungen Entscheidungskriterium ist die Verformung (wie es der Name schon andeutet). So wird unterschieden zwischen drei Stufen der Verformung und damit drei Berechnungsmodellen. Schnittgrößen Theorie I. Ordnung: Gleichgewichtsbedingungen am unverformten System. Verformungen werden als nicht vorhanden vorausgesetzt. Es wird näherungsweise am unverformten Balken ein Balkenelement betrachtet und die Kräfte und Momente bilanziert. Sie genügt fast immer den allgemeinen Anforderungen der Statik. Theorie II. Ordnung: Gleichgewichtsbedingungen am verformten System. Verformungen werden als klein vorausgesetzt. Es wird am verformten Balken ein Balkenelement betrachtet, anschließend wird jedoch das mathematische Modell linearisiert. Diese Ordnung wird für Stabilitätsprobleme benötigt, sowie für große Durchbiegungen bei Neigungswinkeln bis etwa 20. Theorie III. Ordnung: Gleichgewichtsbedingungen am stark verformten System. Verformungen werden als signifikant groß vorausgesetzt. Es wird am verformten Balken ein Balkenelement betrachtet. Eine Linearisierung des mathematischen Modells erfolgt nicht. Sie wird in Sonderfällen benötigt, wie bei sehr großen Durchbiegungen und Neigungswinkeln über 20. 3

4 3 Theorie I. Ordnung 3 Theorie I. Ordnung Abbildung 1: Das Modell eines außermittig gedrückten Stabes. I. Ordnung Das Modell des außermittig gedrückten Stabes stellt einen fest eingespannten Stab dar mit einem freien Ende an dessen ein unendlich steifer Kragarm ebenfalls unendlich steif angeeckt eine Last im Abstand e aufnimmt. 3.1 Das Biegemoment In der Theorie I. Ordnung wird jetzt nur das durch hervorgerufene Biegemoment I M = e an der biegesteifen Ecke eine Auslenkung aus der Vertikalen hervorrufen. Imperfektionen im Vornherein nach DIN EN (Stahlbau) oder DIN EN (Betonbau) werden Null gesetzt. 3.2 Die Biegelinie und dessen Ableitungen Dadurch kann die Biegelinie w (x) durch folgende Berechnungsgrundlage angegeben werden mit E dem Elastizitätsmodul des verwendeten Werkstoffes und I dem lächenträgheitsmoment um die Biegeachse des verwendeten Profils (Die bei der Integration zu beachtende Konstante C sind mögliche Imperfektionen, diese werden Null gesetzt durch die Randbedingung w (L) = 0 bei = 0). Iw (x) = e I w (x) = e Iw (x) = x e + C 0 I w (x) = x e Iw (x) = x2 2 e + x C 0 + C 1 I w (x) = x2 2 e 3.3 Die maximale Auslenkung am Knotenpunkt Die Biegelinie ist für jedes Tragwerk individuell zu berechnen. Die maximale Auslenkung f MAX am Punkt des Momentenangriffs in der biegesteifen Ecke ist somit gegeben: If MAX = I w (L) = L2 2 e 4

5 3 Theorie I. Ordnung 3.4 Die Krümmung κ Eine wichtige Kenngröße innerhalb der Theorien ist die Krümmung κ definiert mit: Iκ = w (x) Iκ = e 3.5 Proportionalisierung von M und f MAX Zusammenfassend sei das Moment und die maximale Auslenkung nochmals als Proportionen genannt, um später alle drei Theorien vergleichen zu können: IM + If MAX + 5

6 4 Theorie II. Ordnung 4 Theorie II. Ordnung Abbildung 2: Das Modell eines außermittig gedrückten Stabes mit Imperfektion w. II. Ordnung In der Theorie II. Ordnung werden Imperfektionen nicht mehr im Vornherein Null gesetzt und somit vernachlässigt. Auch die Auslenkung durch die Biegelinie wird berücksichtigt. 4.1 Das Biegemoment - Vorbetrachtung So ergibt sich für die Berechnung des Momentes II. Ordnung aus der Angriffskraft: IIM (x) = (e + w 0 w (x)) IIM (x) = (e + w 0 x2 2 e ) x C ) IIM (x) = e (1 x2 2 (w 0 x C) IIM (x) = I M α β Wobei I M das Biegemoment aus der Theorie I. Ordnung darstellt, der Koeffizient α den Einfluss aus der Biegelinie berücksichtigt und β der Koeffizient, welcher Imperfektionen betrachtet. 4.2 Die Biegelinie und dessen Ableitungen Zur Biegelinie, um letztendlich auch C in II M (x) herzuleiten. Allgemeine Berechnungsgrundlage nun: w (x) = (e + w 0 w (x)) w (x) = w (x) + (e + w 0) Dies stellt eine lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung dar. Der gesamte Lösungsweg dieser DGL wird hier im Text nicht aufgezeigt. Jedes System, jede Stabkonfiguration, jedes Tragwerk mit seinen Besonderheiten besitzt charakteristische Differentialgleichungen die individuell gelöst werden müssen. Hier nur eine grobe Schrittweise. Die DGL in die günstigste orm umgestellt. w (x) + w (x) = (e + w 0) λ 2 + p = S (x) 6

7 4 Theorie II. Ordnung Wenn S (x) = 0: Da immer p > 0: Homogene Lösung: w (x) H = e 0 x λ = ± p = 0 ± i p = a ± i b [ a = 0 b = p = C 1 sin Inhomogener Anteil aus S (x) = const. Allgemeine Lösung der DGL: ( x E I ) ( )] + C 2 cos x w (x) P = C 3 w (x) = C 1 sin ( w (x) = w (x) H + w (x) P x ) ( ) + C 2 cos x + C 3 Eine Randbedingung ist klar definiert mit w (0) = 0 bei x = 0. w (x) = C 1 sin 0 = C 1 sin (0) + C 2 cos (0) + C 3 ( x C 2 = C 3 ) [ ( ) ] + C 2 cos x 1 Die Konstanten C 1 und C 2 sind nicht durch einfach zu setzende Randbedingungen ersichtlich. Weitergehende Bedingungen, wie Verdrehungen, zusätzliche Zwangskräfte usw. usf. sind nötig, um die Konstanten zu bestimmen. Es ist entsprechende Literatur zu konsultieren. ür C 1 ist ermittelbar: C 1 = χ ε Mit: χ = e E I e+w 0 ε = ( x ) [ ( x ) ] w (x) = χ ε sin + C 2 cos 1 ε ε Die Konstante C 2 ist komplexer im Aufbau. C 2 = C 1 C 2 = χ ε [ x χ ε cos ( x ε ) 1 + tan ( e ) ] χ ε ( ( x ) IIw (x) = χ ε sin x ( ) e ( ( x ) ) ) ε χ ε tan cos 1 χ ε ε Diese allgemeingültige, wenn auch recht unhandliche Berechnungsgrundlage kann vereinfacht werden, indem sie um die oben beschriebene Randbedingung taylorisiert wird. Unter der Annahme, dass 3 oder 2 Glieder genügend sind, ergibt sich dann für II w (x): IIw (x) = x3 6 χ ε 2 + x2 2 χ ε tan e + x (χ 1) χ ε Eine weitere Vereinfachung ist möglich, wenn angenommen wird, dass der Tangens- Wert klein bleibt, dann gilt: tan x x 7

8 4 Theorie II. Ordnung IIw (x) = x3 6 χ ε 2 + x2 2 e ε 2 + x (χ 1) IIw (x) x2 2 e + x (χ 1) ε2 IIw (x) = x2 2 χ ε 2 + x e ε 2 + (χ 1) IIw e (x) x + (χ 1) ε2 IIw (x) = x χ ε 2 + e ε 2 II w (x) e ε 2 Die Biegelinie ist für jedes Tragwerk individuell zu berechnen. 4.3 Die maximale Auslenkung am Knotenpunkt Die maximale Auslenkung f MAX am Punkt des Momentenangriffs in der biegesteifen Ecke ist somit gegeben: IIf MAX = II w (L) = L2 2 e ( ) e + L 1 e + w 0 IIf MAX = I f MAX + L (χ 1) 4.4 Das Biegemoment Das dazugehörige Moment ist jetzt endgültig berechenbar, da die Konstante C nun bekannt ist. e C = χ 1 = 1 e + w 0 ) ( ( )) IIM (x) = I M (1 x2 2 e w 0 + x 1 e + w Die Krümmung κ Eine wichtige Kenngröße innerhalb der Theorien ist die Krümmung κ definiert mit: IIκ = w (x) IIκ = e IIκ = I κ 4.6 Proportionalisierung von M und f MAX Zusammenfassend sei das Moment und die Krümmung nochmals als Proportionen genannt, um später alle drei Theorien vergleichen zu können: IIM + + γ 2 IIf MAX δ + Wobei δ < 1 ein Absolutglied darstellt (Imperfektionseinfluss) und γ >> 1. 8

9 5 Theorie III. Ordnung 5 Theorie III. Ordnung Abbildung 3: Das Modell eines außermittig gedrückten Stabes mit Imperfektion w und der Verdrehung ϕ. In der Theorie III. Ordnung werden Verdrehungen mit betrachtet. Als im vorliegenden Beispiel einzige relevante Verdrehung ist die von ϕ um die biegesteife Ecke herum. Diese Verdrehung ist im vorliegendem all momentenabschwächend und die einzige somit voneinander unabhängige. In komplexen Stabwerken mit vielen Verdrehwinkeln die untereinander abhängig sind, ist eine analytische Methode oft nicht mehr zeitabschätzbar möglich. Hier beginnt dann die Anwendung von EM. Der Übergang von II. zu III. Ordnung ist ein Substitut von e: III. Ordnung IIIe = e cos ϕ 5.1 Die Biegelinie und dessen Ableitungen Die Biegelinie w (x) ergibt sich dann mit: Mit: IIIw (x) x2 2 e cos ϕ ε 2 + x ( III χ 1) IIIw (x) x e cos ϕ ε 2 + ( III χ 1) IIIw (x) = e cos ϕ ε 2 IIIχ = e cos ϕ e cos ϕ+w 0 ε = = II w (x) cos ϕ Die Biegelinie ist für jedes Tragwerk individuell zu berechnen. 5.2 Die maximale Auslenkung am Knotenpunkt E I Die maximale Auslenkung f MAX am Punkt des Momentenangriffs in der biegesteifen Ecke ist somit gegeben: IIIf MAX = III w (x) = L2 2 e cos ϕ ε 2 + x ( III χ 1) 5.3 Das Biegemoment Das Moment M in Abhängigkeit von x: ) ( ( )) IIIM (x) = e cos ϕ (1 x2 2 e cos ϕ w 0 + x 1 e cos ϕ + w 0 9

10 5 Theorie III. Ordnung IIIM (x) = I M α β Innerhalb der Theorie III. Ordnung wird niemals linearisiert. Dazu sind die betrachteten Verformungen und Verdrehungen zu groß um fehlerfreie Ergebnisse zu liefern. [Pör87] 5.4 Der Verdrehwinkel ϕ Wie in der Einleitung schon genannt, geht es aber hier in dieser Abhandlung darum, den Sinn der Theoriengruppe zu erläutern. Deshalb wird die Cosinus- unktion wenigstens mit 2 Gliedern taylorisiert. cos ϕ 1 ϕ2 2 IIIχ χ [1 + ϕ2 4 (χ 2 1 ) ] Bleibt die rage, welche Werte ϕ annehmen kann. Die Berechnung der Verdrehung ist möglich durch das Integral M Mds. Unter der Prämisse, dass E I = const. über den gesamten Stabwerksverlauf ergibt sich für die Verdrehung: ϕ = e 2 L + e 2 ϕ = I M 2 2 L + e 5.5 Die Krümmung κ Eine wichtige Kenngröße innerhalb der Theorien ist die Krümmung κ definiert mit: IIIw (x) IIIκ = ( 1 + IIIw (x) 2) Proportionalisierung von M und f MAX Zusammenfassend sei das Moment und die maximale Auslenkung nochmals als Proportionen genannt, um später alle drei Theorien vergleichen zu können ( III f MAX und III M taylorisiert um = 0 mit x = L): IIIM + + γ 2 γ 2 3 IIIf MAX δ δ 2 γ 3 Wobei δ < 1 und γ >> 1 Absolutglied bzw. Linear- bzw. Korrekturfaktoren sind. 10

11 6 Vergleich der Ordnungen 6 Vergleich der Ordnungen Ein visueller Vergleich der Theorien I. bis III. Ordnung in Bezug Moment M und maximaler Auslenkung f MAX soll diese Darstellung beenden. So ergab sich im Laufe der Abhandlung für die Proportionen: Vergleich 6.1 Numerisch Theorie I. Ordnung: IM + If MAX + Theorie II. Ordnung: IIM + + γ 2 IIf MAX δ + Mit δ < 1 γ >> 1 Theorie III. Ordnung: IIIM + + γ 2 γ 2 3 IIIf MAX δ δ 2 γ 3 Mit δ < 1 γ >> 1 11

12 6 Vergleich der Ordnungen 6.2 Grafisch Grafische Darstellung der maximalen Auslenkung f MAX für alle drei Ordnungen. Abbildung 4: Darstellung von f MAX mit γ = 2 Grafische Darstellung des Momentes M für alle drei Ordnungen in der biegesteifen Ecke. Abbildung 5: Darstellung von M mit γ = 2 und δ = 0.5 Die Auswirkungen durch Taylorisierung und Proportionalisierung sind für große deutlich zu sehen. Eine genauere Betrachtung in einer separaten Abhandlung. L A TEX 12