Pearson- Korrelationskoeffizienten höherer Grade

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1 Pearson- Korrelationskoeffizienten höherer Grade Dipl.- Ing. Björnstjerne Zindler, M.Sc. Erstellt: 13. März 2014 Letzte Revision: 16. März 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Der Lineare Korrelationskoeffizient ρ (1) 3 3 Der Quadratische Korrelationskoeffizient ρ (2) 4 4 Der Kubische Korrelationskoeffizient ρ (3) 5 5 Der Biquadratische Korrelationskoeffizient ρ (4) 6 6 Zusammenfassung und Erwartungen 7 Literatur [001] Keine für vorliegenden Text. 1

2 1 Einleitung [001]ff. Einleitung 1 Einleitung Im Rahmen des Projektes SAW mussten Datenpaare ausgewertet werden. Während dieses Prozesses wurden ebenfalls Regressionen durchgeführt von linear über quadratisch, kubisch bis zu biquadratisch. Gleichfalls wurde eine Elliptische Regression entwickelt. Ein sichtbares Ergebnis dieser Regression ist der Lineare Korrelationskoeffizient ρ (1) unter der Berechnungsgrundlage: ρ (1) a σx σ y Wobei a den Anstieg der Hauptachse der regressierten Ellipse darstellt und σ x bzw. σ y die Standardabweichungen der Datenwerte X und Y. Nutzt man die Grundlage nach Pearson zur Ermittlung des Linearen Korrelationskoeffizienten, dann lässt sich ρ (1) berechnen über: ρ (1) Cov (X; Y ) σ x σ y Der Wert Cov ist hier die Kovarianz zwischen X und Y. Beide Gleichungen für ρ (1) zusammen gefasst, zeigen folgenden Zusammenhang: V ar (X) ist die Varianz von X. a Wobei E ( ) der Erwartungswert ist. a σ 2 x Cov (X; Y ) a V ar (X) Cov (X; Y ) a Cov (X; Y ) V ar (X) E [(X E (X)) (Y E (Y ))] E (X 2 ) E 2 (X) Der Lineare Korrelationskoeffizient ρ (1) ist ein Repräsentant für den Grad des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen. Er nimmt Werte zwischen -1 und +1 an. Bei ±1 besteht ein vollständiger linearer Zusammenhang. Gilt ρ (1) 0 liegt keine Abhängigkeit voneinander vor. Dies gilt jedoch nur für lineare Abhängigkeiten, so kann Merkmal 1 und Merkmal 2 durchaus nichtlinear zusammen hängen, obwohl ρ (1) 0. Daher ist der Lineare Korrelationskoeffizient nicht geeignet zur Untersuchung für vollständig stochastische Abhängigkeiten. Die Nutzung von ρ (1) verlangt einige Voraussetzungen, welche hier als erfüllt gelten. Der Anstieg a liegt linear vor. Im weiteren Verlauf dieses Arbeitsblattes wird eine Möglichkeit beschrieben um polynomiale Funktionen für die Hauptachse der Elliptischen Regression nutzen zu können und somit auch Korrelationskoeffizienten höherer Grade zu berechnen. 2

3 2 Der Lineare Korrelationskoeffizient ρ (1) 2 Der Lineare Korrelationskoeffizient ρ (1) Lineare Mit den Datenpaaren X und Y ist eine Lineare Regression durchgeführt worden. Damit liegt eine Berechnungsgrundlage folgender Form vor. Korrelation y B x + A Y i y i X i x i Ebenso wurde ein Linearer Korrelationskoeffizient berechnet. Die Voraussetzungen für diese Berechnung sind gegeben. Aus der Elliptischen Regression ist der Lineare Korrelationskoeffizient vorab schon bekannt. ρ (1) 0, 66 Die Berechnung von ρ (1) ist einfach durchführbar mit den bekannten elementaren Mitteln n x i y i X i Y i X i - X M Y i - Y M , , , , , , , , 25 Mittelwerte: (X i - X M ) 2 (Y i - Y M ) 2 (X i - X M ) (Y i - Y M ) Standardabweichungen: σ X X M Y M , , 905 σ Y 262, 224 Kovarianz: Cov(X, Y ) , 5 Linearer Korrelationskoeffizient: ρ (1) Cov (X, Y ) 720, 5 0, 66 σ X σ Y 33, , 224 3

4 3 Der Quadratische Korrelationskoeffizient ρ (2) Quadratische Korrelation 3 Der Quadratische Korrelationskoeffizient ρ (2) Mit den Datenpaaren X und Y ist eine Quadratische Regression durchgeführt worden. Damit liegt eine Berechnungsgrundlage folgender Form vor. y C x 2 + B x + A y C x 2 B x + A Y i y i C x i X i B x i + A Die Voraussetzungen für die Berechnung des Korrelationskoeffizienten sind gegeben. Das Ergebnis der Quadratischen Regression: y 454, x 2 0, 046 x + 195, 71 C +454, B 0, 046 A +195, 71 n x i y i X i Y i X i - X M Y i - Y M , , , , , , , , , , , , , , , 673-1, , , 653-3, 54-30, , , 751-9, 769-7, , , , , , , 594-2, 431-7, , , (X i - X M ) 2 (Y i - Y M ) 2 (X i - X M ) (Y i - Y M ) +759, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 703 Mittelwerte: X M 1295, , 933 Y M 1295, , 940 Standardabweichungen: 274, ,303 σ X 1, 65 σ Y 11, 597 Kovarianz: Cov(X, Y ) Quadratischer Korrelationskoeffizient: ρ (2) 274, , 0 Cov (X, Y ) 34, 0 0, 157 σ X σ Y 1, 65 11, 597 4

5 4 Der Kubische Korrelationskoeffizient ρ (3) 4 Der Kubische Korrelationskoeffizient ρ (3) Kubische Mit den Datenpaaren X und Y ist eine Kubische Regression durchgeführt worden. Damit liegt eine Berechnungsgrundlage folgender Form vor. Korrelation y D x 3 + C x 2 + B x + A y D x 3 C x 2 B x + A Y i y i D x 3 i C x2 i X i B x i + A Die Voraussetzungen für die Berechnung des Korrelationskoeffizienten sind gegeben. Das Ergebnis der Kubischen Regression: y 1, x 3 0, 029 x 2 + 1, 901 x 70, 611 D 1, C 0, 029 B 1, 901 A 70, 611 n x i y i X i Y i X i - X M Y i - Y M , , , , , , , , (X i - X M ) 2 (Y i - Y M ) 2 (X i - X M ) (Y i - Y M ) +1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Mittelwerte: Standardabweichungen: Kovarianz: σ X X M , 5 Y M , 375 4, , 726 σ Y Cov(X, Y ) Kubischer Korrelationskoeffizient: ρ (3) 4, , , 01 0, Cov (X, Y ) 0, , 990 σ X σ Y 729, , 01 5

6 5 Der Biquadratische Korrelationskoeffizient ρ (4) Biquadratische Korrelation 5 Der Biquadratische Korrelationskoeffizient ρ (4) Mit den Datenpaaren X und Y ist eine Biquadratische Regression durchgeführt worden. Damit liegt eine Berechnungsgrundlage folgender Form vor. y E x 4 + D x 3 + C x 2 + B x + A y E x 4 D x 3 C x 2 B x + A Y i y i E x 4 i D x3 i C x2 i X i B x i + A Die Voraussetzungen für die Berechnung des Korrelationskoeffizienten sind gegeben. Das Ergebnis der Biquadratischen Regression: y 5, x , x 3 0, 0161 x 2 + 6, 450 x 514, 21 E 5, D +15, C 0, 0161 B +6, 450 A 514, 21 n x i y i X i Y i X i - X M Y i - Y M (X i - X M ) 2 (Y i - Y M ) 2 (X i - X M ) (Y i - Y M ) +13, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Mittelwerte: Standardabweichungen: σ X X M , 25 Y M , , , 103 σ Y 4, , 229 Kovarianz: 49, Cov(X, Y ) 6, Biquadratischer Korrelationskoeffizient: ρ (4) Cov (X, Y ) 6, , 999 σ X σ Y 2476, , 229 6

7 6 Zusammenfassung und Erwartungen 6 Zusammenfassung und Erwartungen Da eine Polynomregression höherer Grade die vorhandenen Daten x i und y i immer besser widerspiegeln kann, ist zu erwarten das gilt: Zusammenfassung lim n + p(n) 1 Es sei denn, dass die vorhandenen Daten schon beim Linearen Korrelationskoeffizenten eine völlige Unabhängigkeit voneinander anzeigen. ρ (1) 0 Als Kontrolle der Richtigkeit der einzelnen Werte ρ (1), σ X und σ Y kann die Berechnungsgrundlage von ρ (1) aus der Elliptischen Regression heran gezogen werden. So gilt dort: Damit für den Anstieg a der Hauptachse: ρ (1) a σx σ Y a ρ (1) σy σ X Zu erwarten ist ein Übereinstimmen von a und a (1) beim Linearen Korrelationskoeffizienten mit dem Anstieg aus der Elliptischen Regression und durch die Transformation der Datenwerte x i und y i zu X i ; Y i bei den Korrelationskoeffizienten höherer Grade in den linearen Raum ein a (n>1) 1. Die einzelnen Werte: Lineare Regression: Quadratische Regression: Kubische Regression: Biquadratische Regression: a (1) 0, 66 a (2) 0, 157 a (3) 0, 990 a (4) 0, , 224 0, , , 597 1, 65 0, , 01 1, , , 229 1, , 103 7

8 6 Zusammenfassung und Erwartungen Für die Lineare Exzentrizität ε L einer Ellipse ist bekannt: Weiterhin ist gegeben: Für vorhandene Werte gilt: ε 2 L e 2 f 2 f 2 σx 2 {f 2 } n e 2 σy 2 {e2 } n f 2 n σ 2 X n { f 2} e 2 n σ 2 Y n { e 2} f 2 σ 2 X e 2 σ 2 Y ε 2 L σ 2 Y σx 2 Grad ε L σx 2 σy 2 Linear 20, , , 375 Quadratisch 117,120 34, , 163 Kubisch 101, Biquadratisch 316, Für die numerische Exzentrizität ε N gilt analog: ε 2 N ε 2 L MAX (σ 2 X ; σ2 Y ) Grad ε N σx 2 σy 2 Linear 0, , , 375 Quadratisch 0,9 34, , 163 Kubisch 0, Biquadratisch 0, L A TEX