Schnittpunkt zweier Einzelfunktionen einer zerlegten speziellen bilogarithmischen Funktion

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1 chnittpunkt zweier Einzelfunktionen einer zerlegten speziellen bilogarithmischen Funktion Dipl.- Ing. Björnstjerne Zindler, M.c. Erstellt: 28. Januar 205 Letzte Revision: 5. Februar 205 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2. Der onderfall p = q = Der allgemeine Fall p oder q Koordinatentransformation und chnittpunkt 3 3 Ermittlung des chnittpunktes 5 3. Für den onderfall q = die Ω- Konstante Für den allgemeinen Fall p und q Für den onderfall p = die Ω- Konstante Umschreibung der LambertW- Funktion in einer linearen Interpolation Vorbetrachtungen Modell I Modell II Zusammenführung der Modelle Darstellung als handhabbare Berechnungsgrundlage 0 6 Ein kleines Beispiel 2 7 Zusammenfassung und Vergleich der gezeigten Methoden 4 7. Zusammenfassung Vergleich Literatur [00] Keine für vorliegenden Text.

2 Einleitung Einleitung [00] Gegeben ist eine spezielle, bilogarithmische Funktion y = h (x), welche die Koeffizienten bzw. Freiheitsgrade p > 0 und q > 0 besitzt. Vorliegend, die parametrische Beschreibung der interessierenden Funktion.. Der onderfall p = q = x = e t y = ln t Wobei durch Koordinatentransformation t y, x t bzw. t x, y t beide Darstellungen in einander überführt werden können. t = e y t = ln x ln t = y e t = x Die Parameterdarstellung insgesamt kann in das kartesische Koordinatensystem transformiert werden. t = ln x y = ln t y = ln ( ln x).2 Der allgemeine Fall p oder q Gegeben ist die parametrische Beschreibung einer speziellen Funktion. x = p e q t y = q ln t p Wobei durch Koordinatentransformation t y, x t bzw. t x, y t beide Darstellungen in einander überführt werden können. t = p e q y t = q ln x p q ln t p = y p e q t = x Die Parameterdarstellung insgesamt kann in das kartesische Koordinatensystem transformiert werden. t = q ln x p y = q ln t p y = ( q ln p q ln x ) p Letzterer Ausdruck ist die vorliegende Arbeitsgleichung. Die parametrische Beschreibung ist von Interesse. x = p e q t y = q ln t p 2

3 2 Koordinatentransformation und chnittpunkt 2 Koordinatentransformation und chnittpunkt Im letzten Abschnitt ist die parametrische Darstellung der bilogarithmischen Funktion gezeigt worden. x = p e q t y = q ln t p Es wird eine Koordinatentransformation durchgeführt. x y t x y = p e q x f (x) = p e q x y = q ln x p g (x) = q ln x p Gesucht ist der chnittpunkt f (x) = g (x) zwischen beiden Funktionen. Die Lösung ist nicht mit algebraischen Mitteln darstellbar, da die Exponentialfunktion sowie die Logarithmusfunktion transzendent sind. Jedoch ist über die Arbeitsgleichung zu zeigen, dass es eine Lösung geben muss. In die Arbeitsgleichung wird g (x) eingesetzt. y = ( q ln p q ln x ) p y = ( ) q ln p g (x) Umstellen und f (x) einsetzten. e q y = p g (x) f (x) = g (x) Gleichzeitig ist damit gezeigt, dass für einen chnittpunkt P (x ; y ) gelten muss. x = y Nicht gezeigt ist, ob es mehrere chnittpunkte geben kann mit anderen Eigenschaften. Wenn für den chnittpunkt x = y gilt, so kann die Forderung f (x) = g (x) umschrieben werden in: f (x) = x g (x) = x Der dort zu findende chnittpunkt ist identisch mit P. Vorteil ist, dass nur noch eine Transzendente auftritt. p e q x = x q ln x p = x p e q x x = 0 q ln x p + x = 0 Die Lösung beider Ausdrücke ist identisch. Beide Ausdrücke sind weiterhin ineinander überführbar. q ln x p x = 0 ln x p q x = 0 e ln x p q x = e ln x p e q x = p x e q x = 3

4 2 Koordinatentransformation und chnittpunkt Daher: f (x) g (x) g (x) = x g (x) f (x) 4

5 3 Ermittlung des chnittpunktes 3 Ermittlung des chnittpunktes 3. Für den onderfall q = die Ω- Konstante Aus der letzten Umstellung ist eine Lösung für q = abzulesen. Die Lösung dieses Ausdrucks ist: x (q=) p x e x = x e x = p = y (q=) = W (p) Wobei W ( ) die Lambertsche W- Funktion darstellt. Diese kann taylorisiert werden durch: W ( ) = Damit ist die Lösung für diesen onderfall darstellbar. x (q=) = y (q=) Für ein p = ergibt sich die Omega- Konstante: = i i! i i i! pi x = y = W () = i i! = Ω Ω = 0, Für den allgemeinen Fall p und q Die Ermittlung des chnittpunktes für den allgemeinen Fall erfolgt über die originäre Berechnungsgrundlage der LambertW- Funktion. Ist eine Funktion gegeben der Form: e c x = a (x b) Mit a, b, c R, dann ist die Lösung dieser Funktion gegeben mit: x = b + ( ) c e c r c W Im vorliegenden Fall: c q b 0 a p a x (q>0;p>0) = y (q>0;p>0) = W (q p) q Wobei W ( ) die Lambertsche W- Funktion darstellt. Diese kann taylorisiert werden durch: W ( ) = q W (q p) = q i i! i (q p)i i i! 5

6 3 Ermittlung des chnittpunktes 3.3 Für den onderfall p = die Ω- Konstante Der onderfall p = ist einfach aus dem allgemeinen Fall ableitbar. x (q>0;p>0) x (q=) x (p=) = y (q>0;p>0) = W (q p) q = y (p=) = y (q=) = q Für ein q = ergibt sich wieder die Omega- Konstante. = q W (q) i i! qi 6

7 4 Umschreibung der LambertW- Funktion in einer linearen Interpolation. 4 Umschreibung der LambertW- Funktion in einer linearen Interpolation. 4. Vorbetrachtungen Die Darstellung der LambertW- Funktion ist gegeben mit: W ( ) = i i! i Nachteil dieser ummendarstellung ist deren Konvergenzverhalten. o reichen keine wenige erste Glieder aus, um W ( ) für kleine ( ) berechnen zu können. Betrachtet man die Differenz zwischen zwei ummendarstellungen mit dem Abstand n =, dann folgt: W ( ) = n i i! i ( n i i! i ) W ( ) = = n nn n n! n i i! i n i i! i = n i=n i i! i Im vorliegenden Fall ist ( ) begrenzt auf ( ) R + und es wird ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit geschrieben: ( ) = p = q = W () = nn n! Der Grenzwert für diesen Ausdruck ist definiert durch lim W () = n was ungünstig für die Berechnung ist. Andere, ebenfalls im Nenner fakultätsnutzende Funktionen wie die Exponential-, inus- und Cosinusfunktion besitzen einen Grenzwert gegen Null. Dadurch können schon wenige erste Glieder der umme den Funktionswert genau darstellen. 4.2 Modell I P 0 (x 0 ; y 0 ) P (x ; y ) P 2 (x 2 ; y 2 ) P 3 (x 3 ; y 3 ) P 4 (x 4 ; y 4 ) P 5 (x 5 ; y 5 ) P 6 (x 6 ; y 6 ) P 7 (x 7 ; y 7 ) Mit: x 0 = 0 y 0 = 0 x = x 0 y = f (x ) x 2 = L (y 2 ) y 2 = y 7

8 4 Umschreibung der LambertW- Funktion in einer linearen Interpolation. x 3 = x 2 y 3 = f (x 3 ) x 4 = L (y 4 ) y 4 = y 3 x 5 = x 4 y 5 = f (x 5 ) x 6 = L (y 6 ) y 6 = y 5 x 7 = x 6 y 7 = f (x 7 ) Die Berechnungsgrundlage für P 7 wäre dann: x 7 = L ( f ( L ( f ( L (f (0)) )))) y 7 = f ( L ( f ( L ( f ( L (f (0)) ))))) Damit ist der chnittpunkt ermittelbar: P (x ; y ) Mit: x = L ( f ( L ( f ( L (... f (0)...) )))) y = f ( L ( f ( L ( f ( L (... f (0)...) ))))) 4.3 Modell II P 0 (x 0 ; y 0 ) P (x ; y ) P 2 (x 2 ; y 2 ) P 3 (x 3 ; y 3 ) P 4 (x 4 ; y 4 ) P 5 (x 5 ; y 5 ) P 6 (x 6 ; y 6 ) P 7 (x 7 ; y 7 ) Mit: x 0 = 0 y 0 = 0 x = g (y ) y = y 0 x 2 = x y 2 = L (x 2 ) x 3 = g (y 3 ) y 3 = y 2 x 4 = x 3 y 4 = L (x 4 ) x 5 = g (y 5 ) y 5 = y 4 x 6 = x 5 y 6 = L (x 6 ) x 7 = g (y 7 ) y 7 = y 6 8

9 4 Umschreibung der LambertW- Funktion in einer linearen Interpolation. Die Berechnungsgrundlage für P 7 wäre dann: x 7 = g ( L ( g ( L ( g ( L ( g (0) )))))) y 7 = L ( g ( L ( g ( L ( g (0) ))))) Damit ist der chnittpunkt ermittelbar: Mit: P (x ; y ) x = g ( L ( g ( L ( g ( L (... g (0)... )))))) y = L ( g ( L ( g ( L (... g (0)... ))))) 4.4 Zusammenführung der Modelle Für den chnittpunkt existieren zwei identische Berechnungsgrundlagen. x = L ( f ( L ( f ( L (... f (0)...) )))) y = f ( L ( f ( L ( f ( L (... f (0)...) ))))) owie: x = g ( L ( g ( L ( g ( L (... g (0)... )))))) y = L ( g ( L ( g ( L (... g (0)... ))))) Da in den vorangegangenen Absätzen gezeigt wurde, dass f (x) und g (x) ineinander überführbar sind der Form f (x) g (x) g (x) f (x) kann eine Darstellungsform für P gezeigt werden. x = L (f (L (f (L (... f (0)...))))) y = f (L (f (L (f (L (... f (0)...)))))) Wobei der tartwert, hier P 0 (0; 0) in weiten Bereichen, im Rahmen der Randbedingungen gewählt werden kann, zum Beispiel ist P auch ein geeigneter Kandidat. 9

10 5 Darstellung als handhabbare Berechnungsgrundlage 5 Darstellung als handhabbare Berechnungsgrundlage Nun ist gezeigte Möglichkeit der Berechnung des chnittpunktes sehr unhandlich. Nächster chritt ist die Überführung in eine Grundlage, mit der man ein spezielles Beispiel berechnen kann. Außerdem schauen die gewonnenen Gleichungen für x und y mehr nach einer Iteration aus, statt nach einer Interpolation. Daher soll weiter im eigentlichen Thema fortgeführt werden. Als erstes wird die ganze ache verkürzt. Das Um- und Einkreisen des chnittpunktes erfolgt vorerst mittels rechtwinkligen Richtungsänderungen. Lässt man jedoch zwei (Zwischen)Punkte jeweils aus, ändert sich nichts am Modell, außer dass man sich dem chnittpunkt jetzt spiralförmig annähert. Folgendes Bild zeigt eine Möglichkeiten blau eingezeichnet mit tartpunkt P. Betrachtet man auf dem Pfad blau die y- Werte der angelaufenen Punkte P, P 4, P 7, P 0, P 3,, dann muss die umme aller y der chnittpunktswert x sein, wenn man die y- Werte der absoluten Länge nach aufsteigend halbiert. x = 32 y + 6 y y y y x = i+ y 3 i 2 x = 2 y 3 n+ + n=4 n n+ 2 n i+2 y 3 i 2 2 n i+2 y 3 i 2 Ein weiteres Bild zeigt eine andere Möglichkeiten gelb eingezeichnet mit tartpunkt P 2. Betrachtet man auf dem Pfad gelb die x- Werte der angelaufenen Punkte P 2, P 5, P 8, P, P 4,, dann muss die umme aller x der chnittpunktswert y sein, wenn man die x- Werte der absoluten Länge nach aufsteigend halbiert. y = 32 x x x x + 2 x n Ergibt sich aus lim 2 i = 2 i = und y = x und f (x) = g (x) n 0

11 5 Darstellung als handhabbare Berechnungsgrundlage y = i+ x 3 i y = 2 x 3 n+2 + n=4 n n+ 2 n i+2 x 3 i 2 n i+2 x 3 i Zu beachten ist, dass beide farbigen Pfade in keinem Fall den Pfad schwarz kreuzen. Außer natürlich in den angelaufenen Punkten. Benötigt wird nun nur noch eine Möglichkeit, die restlichen x i und y i zu berechnen. Zuerst die tartwerte. Die Restwerte: und x 3 (n j)+2 = q ln y 3 (n j)+ = p e x 2 = p ( n j p n j q y = p ) 2 x (n j) i+ 3 i j=0 n 2 (n j) i+ y3 i 2 j=0 n Für den bequemen Mathematiker folgend die ersten Glieder. Zuerst für x x 5 = ( ( )) q ln p 2 x 2 x 8 = ( ( q ln p 4 x 2 + )) 2 x 5 x = ( ( q ln p 8 x x 5 + )) 2 x 8 x 4 = ( ( q ln p 6 x x x 8 + )) 2 x Zum chluss für y. Damit steht der Berechnung des chnittpunktes zwischen f (x) und g (x) nichts mehr im Wege. y 4 = p e q ( 2 y) y 7 = p e q ( 4 y+ 2 y4) y 0 = p e q ( 8 y+ 4 y4+ 2 y7) y 3 = p e q ( 6 y+ 8 y4+ 4 y7+ 2 y0)

12 6 Ein kleines Beispiel 6 Ein kleines Beispiel Zur Erinnerung, der chnittpunkt P folgender Funktionen ist gesucht. f (x) = p e q x g (x) = q ln x p Gewählt für die Koeffizienten: p = q = 2 Der chnittpunkt ist definiert als P (x ; y ) mit: x = 32 y + 6 y y y y 3 Die Anzahl 5 an Gliedern soll hier genügen. tart- und Restwerte: y = p = y 4 = e 2 ( ) 2 = 0, y 7 = e 2 ( 4 + 0,367879) 2 = 0, y 0 = e 2 ( , ,4984) 2 = 0, y 3 = e 2 ( , , ,425802) 2 = 0, Für x lässt sich dann errechnen: x = , , , , x = 0, chnell sieht man, wie sich tützstellenwerte und Gesamtergebnis annähern. Bei einer Zweistellengenauigkeit würden zwei Interpolationsdurchläufe schon hinreichend sein. Benutzt man statt f (x) die Funktion g (x), dann sieht das Gesamtbild so aus: y = 32 x x x x + 2 x 4 Weiterhin: x 2 = p = x 5 = ( ( )) 2 ln 2 = 0, x 8 = ( ( 2 ln 4 + )) 0, = 0, x = ( ( 2 ln , )) 0, = 0, x 4 = 2 ln ( Für y lässt sich dann errechnen: ( , , )) 0, = 0, y = , , , ,

13 6 Ein kleines Beispiel y = 0, Der berechnete chnittpunkt P liegt demnach in der Nähe von: P (0, ; 0, ) Für eine globale Probe das x = 0, und y = 0, die Funktionen f (x) und g (x) erfüllen, soll hier genügen: 2 ln x? = e 2 x ln 0, 426? = 2 e 2 0,426 0, 853! = 0, 853 3

14 7 Zusammenfassung und Vergleich der gezeigten Methoden 7 Zusammenfassung und Vergleich der gezeigten Methoden 7. Zusammenfassung Auf den letzten eiten sind drei Möglichkeiten aufgezeigt worden, vorliegende Problemstellung der chnittpunktermittlung erfolgreich durchzuführen. Ermittlung über die Iterationsvorschrift Iter x = L (f (L (f (L (... f (0)...))))) y = f (L (f (L (f (L (... f (0)...)))))) Ermittlung über die Nullstelle Null p e q x x = 0 q ln x p + x = 0 Ermittlung über eine lineare Interpolation InterX/InterY Mit der Voraussetzung x = y ergeben sich zwei Untermethoden zur chnittpunktermittlung. Ermittlung über die Exponentialfunktion InterpX: Mit: owie: x = 2 y 3 n+ + y 3 (n j)+ = p e n j q n y = p 2 n i+2 y 3 i 2 2 (n j) i+ y3 i 2 j=0 n Der Wert y wird dann ermittelt über f (x) oder g (x) und dient somit gleich einer Probe, da gelten muss x = y. Ermittlung über die Logarithmusfunktion InterpY: Mit: owie: y = 2 x 3 n+2 + x 3 (n j)+2 = q ln n x 2 = p ( n j p 2 n i+2 x 3 i ) 2 x (n j) i+ 3 i j=0 n Der Wert x wird dann ermittelt über f (x) oder g (x) und dient somit gleich einer Probe, da gelten muss x = y. 4

15 7 Zusammenfassung und Vergleich der gezeigten Methoden 7.2 Vergleich Es sollen zwei Probedurchläufe gestartet werden. Dazu wird über ein geeignetes grafisches Verfahren der chnittpunkt P( (x ; y ) ermittelt) und danach numerisch gegengerechnet. Die Ergebnisse werden mit P p=;q= x p=;q= ; y p=;q= = (0, 567; 0, 567) normiert. q = p = 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Iter 0,6 0,298 0,48 0,524 0,620 0,708 0,789 0,864 0,934,000 Null NaN NaN NaN NaN 0,620 0,708 0,789 0,864 0,934,000 InterpX 0,6 0,298 0,47 0,524 0,620 0,708 0,789 0,864 0,934,000 InterpY NaN NaN Nan 0,079 0,584 0,707 0,789 0,864 0,934,000 Grafisch 0,68 0,300 0,46 0,522 0,628 0,709 0,79 0,867 0,938,000 p =,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 Iter,000,504 3,520 6,306 8,460 0,4 2,26 4,06 5,85 7,62 Null,000 NaN,85 NaN 2,340 2,525 2,687 2,83 2,960 NaN InterpX,000,504,85 2,20 2,340 2,525 2,688 2,830 2,960 3,080 InterpY,000,504,85 2,20 2,340 2,525 2,688 2,830 2,960 3,080 Grafisch,000,504,858 2,23 2,345 2,59 2,699 2,840 2,973 3,090 NaN = Not a number, Kursiv eingezeichnet sind numerisch ermittelte Werte, welche mit der grafischen Methode übereinstimmen. Rot eingezeichnet sind Werte, welchen einen weiteren, jedoch nicht betrachteten chnittpunkt der Grafen f (x) und g (x) folgen. p = q = 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Iter,609,489,39,30,240,80,27,080,038,000 Null,609,489,39,30,240,80,27,080,038,000 InterpX,609,489,39,30,240,80,27,080,038,000 InterpY NaN NaN NaN 0,96,67,79,27,080,038,000 Grafisch,66,500,398,39,248,84,33,088,044,000 q =,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 Iter,000 0,752,73,576,692,734,75,758,76,762 Null,000 0,752,72,576,692,734,75,758,76,762 InterpX,000 0,752 0,67 0,530 0,468 0,42 0,384 0,354 0,329 0,308 InterpY,000 0,752 0,67 0,530 0,468 0,42 0,384 0,354 0,329 0,308 Grafisch,000 0,752 0,6 0,530 0,469 0,423 0,386 0,354 0,327 0,30 NaN = Not a number, Kursiv eingezeichnet sind numerisch ermittelte Werte, welche mit der grafischen Methode übereinstimmen. Rot eingezeichnet sind Werte, welchen einen weiteren, jedoch nicht betrachteten chnittpunkt der Grafen f (x) und g (x) folgen. Folgende Randbedingungen sind genutzt worden zur Berechnung der Tabellenwerte. Iter: Null: InterpX: InterpY: n Iter = 200 = 0 20 n InterpX = 20 n InterpY = 20 5

16 7 Zusammenfassung und Vergleich der gezeigten Methoden Zum chluss zwei Grafiken über die erwarteten Werte für x und y. Bei Bedarf ist auf der Website ein Classic- Maple- Worksheet zu finden, mit den hier benutzten Berechnungsroutinen. Letztendlich zeigt InterpX eine ausreichende tabilität über weite Bereiche der numerischen Berechnung. InterpY ist ebenfalls geeignet zur Berechnung des chnittpunktes unter Beachtung der Randzonen von p und q. L A TEX 6