Algorithmen für geographische Informationssysteme. 6. Vorlesung: 14. Mai 2014
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- Ulrike Becke
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1 Algorithmen für geographische Informationssysteme 6. Vorlesung: 14. Mai 2014
2 Ausgleichung bei linearem funktionalen Modell Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen P 2 Δh 2,3 = 7.0 m P 3 Δh 1,2 = 4.1 m Δh 4,2 = 5.4 m Δh 3,4 = 1.1 m P 1 h 1 = 0 m Δh 4,1 = 1.2 m P 4 Gesucht: h 2, h 3, h 4
3 Der Ausgleichungsalgorithmus 1. Welche Beobachtungen liegen vor? Vektor L, n Elemente
4 Der Ausgleichungsalgorithmus 1. Welche Beobachtungen liegen vor? Vektor L, n Elemente 2. Welche Unbekannte sind gesucht? Vektor X, u Elemente
5 Der Ausgleichungsalgorithmus 1. Welche Beobachtungen liegen vor? Vektor L, n Elemente 2. Welche Unbekannte sind gesucht? Vektor X, u Elemente 3. Wie ließen sich die wahren Beobachtungen L bei gegebenen wahren Unbekannten X berechnen? funktionales Modell Φ: X L bzw. L = Φ X = AX Designmatrix A, n Zeilen, u Spalten Zeile i, Spalte j:?
6 Der Ausgleichungsalgorithmus 1. Welche Beobachtungen liegen vor? Vektor L, n Elemente 2. Welche Unbekannte sind gesucht? Vektor X, u Elemente 3. Wie ließen sich die wahren Beobachtungen L bei gegebenen wahren Unbekannten X berechnen? funktionales Modell Φ: X L bzw. L = Φ X = AX Designmatrix A, n Zeilen, u Spalten Zeile i, Spalte j:? 4. Löse Normalgleichung A T AX = A T L. Liefert ausgeglichene Unbekannte X
7 Beispiel: Ausgleichung von Höhendifferenzen Ausgeglichene Beobachtungen: L = AX Ausgleichung bei linearem A funktionalen Modell X m m L Δh 1,2 = 4.1 m P m 4.2 m m Δh P 2,3 = 7.0 m 2 P 3 Δh 4,2 = 5.4 m Δh 4,1 = 1.2 m P m 1.3 Δh 3,4 = 1.1 m
8 Quelle: wikipedia
9 Jede Beobachtung ist die Realisierung einer Zufallsvariablen X. Gelegentlich ist eine a-priori- der Beobachtung bekannt, gegeben als Varianz σ 2 : = E X E X 2. Quelle: wikipedia Erwartungswert
10 Jede Beobachtung ist die Realisierung einer Zufallsvariablen X. Gelegentlich ist eine a-priori- der Beobachtung bekannt, gegeben als Varianz σ 2 : = E X E X 2. Quelle: wikipedia Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E(L) T.
11 Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2.
12 Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2. Varianzen
13 Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2. Kovarianzen
14 Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2. Korrelationskoeffizienten 1 ρ 12 1 Maß für stochastische Abhängigkeit
15 Bei mehreren Beobachtungen (Vektor L): Kovarianzmatrix Σ LL : = E L E L L E L T. Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ LL = σ 1 2 ρ 12 σ 1 σ 2 ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2. In der Regel: Σ LL = σ σ 2 2.
16 Σ LL oft schwer a priori abzuschätzen, aber srelationen bekannt: Σ LL = σ 0 2 Q LL Varianz der Gewichtseinheit (unbekannte Konstante) Kofaktormatrix (lässt sich gut abschätzen)
17 Ausgleichungsziel: v T v Min
18 Ausgleichungsziel: v T v Min v T Pv Min mit P = Q 1 Quelle: wikipedia Verbesserungen genauer Beobachtungen werden besonders bestraft.
19 Ausgleichungsziel: v T v Min v T Pv Min mit P = Q 1 Gauß-Normalgleichung: A T PAX = A T PL
20 Wie genau sind Größen, die aus Beobachtungen abgeleitet wurden? Kovarianzfortpflanzungsgesetz
21 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Gesucht: Kovarianzmatrix des Vektors f Σ LL f = FL Σ ff
22 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Gesucht: Kovarianzmatrix des Vektors f Σ LL f = FL Σ ff Beispiel: L 1 L 2 f = l 1 + l 2 = 1 1 L 1 L 2 Σ LL = [cm 2 ]
23 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL
24 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T
25 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T
26 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T = E FL FE L FL FE L T Linearität des Erwartungswerts!
27 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T = E FL FE L FL FE L T = E F L E L L E L T F T Linearität des Erwartungswerts!
28 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T = E FL FE L FL FE L T = E F L E L L E L T F T Linearität des Erwartungswerts! = F E L E L L E L T F T
29 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = E FL E FL FL E FL T = E FL FE L FL FE L T = E F L E L L E L T F T Linearität des Erwartungswerts! = F E L E L L E L T F T = FΣ LL F T
30 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = FΣ LL F T
31 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors L Vektor f als lin. Funktion von L Σ LL = E L E L L E L T f = FL Σ ff = FΣ LL F T Beispiel: f = L 1 + L 2 = 1 1 L 1 L 2 Σ LL = [cm 2 ] Σ ff = cm cm = 7 cm2
32 Kovarianzfortpflanzungsgesetz für X? Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min:
33 Kovarianzfortpflanzungsgesetz für X? Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL
34 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL
35 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T
36 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: mit Σ XX = FΣ LL F T F = A T PA 1 A T P
37 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
38 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
39 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
40 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
41 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: A T PAX = A T PL X = A T PA 1 A T PL Also: Σ XX = FΣ LL F T mit F = A T PA 1 A T P = σ 2 0 FQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PQ LL F T = σ 2 0 A T PA 1 A T F T = σ 2 0 A T PA 1 A T PA A T PA 1 = σ 2 0 A T PA 1
42 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: der ausgeglichenen Unbekannten: Σ XX = σ 0 2 A T PA 1
43 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: der ausgeglichenen Unbekannten: Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 der ausgeglichenen Beobachtungen: Σ LL = AΣ XX A T wegen L = AX
44 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: der ausgeglichenen Unbekannten: Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 der ausgeglichenen Beobachtungen: Σ LL = AΣ XX A T wegen L = AX
45 Problem: Berechnung von Σ XX = σ 2 0 A T PA 1 erfordert Kenntnis von σ 2 0. Lösung: Schätze σ 0 2 durch Ausgleichung (Kenntnis von srelationen Q LL vorausgesetzt)
46 σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis)
47 σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis) Beispiel 1: v = AX L = 1 1 X L 1 L n = X L 1 X L n
48 σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis) Beispiel 1: v = AX L = 1 1 X L 1 L n = X L 1 X L n σ 0 2 = vt Pv n u = vt v n 1 = n i=1 X L i n 1 2
49 σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis) Beispiel 1: v = AX L = 1 1 X L 1 L n = X L 1 X L n σ 0 2 = vt Pv n u = vt v n 1 = n i=1 X L i n 1 2
50 σ 0 2 lässt sich mittels v abschätzen. σ 0 2 = vt Pv n u ist ein erwartungstreuer Schätzer für σ 2 0. (ohne Beweis) Beispiel 1: v = AX L = 1 1 X L 1 L n = X L 1 X L n Stichprobenvarianz σ 0 2 = vt Pv n u = vt v n 1 = n i=1 X L i n 1 2
51 E σ 0 2 = E Beweis für Spezialfall Mittelwert n 2 i=1 X L i n 1
52 E σ 0 2 = E = 1 n i=1 n X L i 2 n 1 E X μ + μ L n 1 i=1 i = 1 E n X μ 2 2 X μ L n 1 i=1 i μ + L i μ 2 = 1 n 1 n 2 E X μ n 2 n i=1 i=1 2 i=1 X μ L i μ + L i μ 2 = 1 E n X μ 2 2n X μ X μ + n L n 1 i=1 i μ 2 = 1 E n L n 1 i=1 i μ 2 n X μ 2 = 1 n 1 n i=1 E L i μ 2 ne X μ 2 = 1 n 1 nσ 0 2 nσ X 2 = 1 2 nσ n n σ 0 n Beweis für Spezialfall Mittelwert = σ 0 2 μ = E X
53 Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen v = L L = m σ 0 2 = vt Pv n u m = 0.11 m2 5 3 σ 0 = 0.23 m = = m m Δh 1,2 = 4.1 m P Δh P 2,3 = 7.0 m 2 P 3 Δh 4,2 = 5.4 m 1.3 Δh 4,1 = 1.2 m P Δh 3,4 = 1.1 m
54 Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Σ XX = σ 0 2 A T PA = m = m 2
55 Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Σ XX = σ 0 2 A T PA = m = m 2
56 Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Σ XX = σ 0 2 A T PA = m = m 2
57 Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Σ XX = σ 0 2 A T PA = m = m 2 σ h2 = σ h4 = σ h3 = m 2 = m m 2 = m
58 Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen P Δh 1,2 = 4.1 m 0 m 4.2 m m Δh P 2,3 = 7.0 m 2 P 3 Δh 4,2 = 5.4 m Δh 4,1 = 1.2 m σ h2 = σ h4 = m 2 = m σ h3 = m 2 = m P m 1.3 Δh 3,4 = 1.1 m
59 Σ LL = AΣ XX A T = m 2
60 Σ LL = AΣ XX A T = m 2
61 Σ LL = AΣ XX A T = m 2
62 Σ LL = AΣ XX A T = m 2 σ Δh1,2 = σ Δh2,3 = σ Δh3,4 = σ Δh4,1 = m 2 = m σ Δh4,2 = m 2 = m Vergleich: σ 0 = 0.23 m sgewinn durch Ausgleichung
63 Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel v T Pv Min: der ausgeglichenen Unbekannten: Σ XX = σ 0 2 A T PA 1 der ausgeglichenen Beobachtungen: Σ LL = AΣ XX A T wegen L = AX
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