Appendix. Kapitel 2. Ökonometrie I Michael Hauser

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1 1 / 24 Appendix Kapitel 2 Ökonometrie I Michael Hauser

2 2 / 24 Inhalt Geometrie der Korrelation Freiheitsgrade Der OLS Schätzer: Details OLS Schätzer für Okuns s law nachgerechnet Anforderungen an Theorien und Modelle

3 Geometrie der Korrelation 3 / 24

4 4 / 24 Korrelation und Cosinus eines Winkels Der Korrelationskoeffizient zwischen x und y (x i, y i ), i = 1,..., n in einer Stichprobe ist (xi x)(y i y) r xy = (xi x) 2 (yi y) 2 Der Cosinus vom Winkel α zwischen zwei (Spalten-)Vektoren x und y, α(x, y), ist cos(α) = x y x y wobei x die Länge des Vektors bezeichnet, x = x 2 i (nach Pythagoras). Der Korrelationskoeffizient ist gleich dem Cosinus des Winkels für die mittelwertkorrigierten Datenvektoren. (Nach dem Verschiebungssatz genügt es, dass eines der Mittel null ist.)

5 5 / 24 Korrelation und Cosinus eines Winkels r xu, mit u Fehler der Regression, ist nach Anwendung des Verschiebungssatzes (xi x)(u i ) r xu = (xi x) 2 (ui ) = xi u i 2 (xi x) 2 (ui ) = 0 2 cos(90 0 ) = 0 Ein Winkel von 90 0 (die Vektoren stehen orthogonal zueinander) entspricht einer Korrelation von null.

6 Intuition zu Freiheitsgraden 6 / 24

7 7 / 24 Intuition zu Freiheitsgraden Freiheitsgrade (FGe) sind die Anzahl der Werte, die in einer Statistik frei variieren können. Ang es liegen n = 2 Beobachtungen vor, und wir nehmen n x = x i als bekannt an. Welche Werte können x 1, und x 2 annehmen, wenn x = 5 ist? Da nx = x i = 10 ist, ist die Summe der Beobachtungen fixiert. Wählen wir einen beliebigen Wert für x 1, zb x 1 = 1, so haben wir keine Freiheit für die Wahl von x 2. x 2 = 11, ist fixiert.

8 8 / 24 Intuition zu Freiheitsgraden Ang es liegen n = 3 Beobachtungen vor, und wir nehmen n x = x i als bekannt an. Welche Werte können x 1, x 2 und x 3 annehmen, wenn x = 5 ist? Da nx = x i = 15 ist, ist die Summe der Beobachtungen fixiert. Wählen wir einen beliebigen Wert für x 1, zb x 1 = 1. So können wir noch x 2 oder x 3 wählen, so dass ihre Summe 16 ergibt. Wir haben also 2 FGe. Alternativ ist x eine Statistik, die die Qualität eines einzelnen Datenpunkts hat. Damit stehen für die Abweichungen (x i x) nur (n 1) Werte zur Berechnung der Varianz zur Verfügung.

9 Herleitung des OLS Schätzers: Details 9 / 24

10 10 / 24 Minimierung der Fehlerquadratsumme, OLS Wir minimieren die Summe der quadrierten Residuen. min b 0,b 1 n t=1 û 2 t = min b 0,b 1 S(b 0, b 1 ) Mathematisch handelt es sich um die Minimierung einer quadratischen Funktion in 2 Variablen (b 0, b 1 ). Wir berechnen die beiden partiellen Ableitungen 1.Ordnung und setzen sie null (Bedingung 1.Ordnung). n n S(b 0, b 1 ) = ût 2 = [y t b 0 b 1 x t ] 2 t=1 t=1 Die partiellen Ableitungen sind (mit Hilfe der Kettenregel) S/ b 0 = 2 (y t b 0 b 1 x t ) = 2 û t = 0 S/ b 1 = 2 x t (y t b 0 b 1 x t ) = 2 x t û t = 0

11 11 / 24 Herleitung des OLS Schätzers Vereinfachen ergibt die Normalgleichungen yt = n b 0 + b 1 xt xt y t = b 0 xt + b 1 x 2 t Dividieren der ersten Gleichung durch n ergibt b 0 = y b 1 x Einsetzen in die zweite und Erweitern mit (1/n) b 1 = (xt x)(y t y) (xt x) 2 = r xy s y s x

12 12 / 24 Zwischenrechnungen 1 n x = x x y = (y b1 x) x + b 1 x 2 = y x b 1 x x + b 1 x 2 : n 1 n x y x y = b1 [ 1 n x 2 x 2 ] Verschiebungssatz: cov(x, y) = 1 n (x x)(y y) = 1 n x y x y sx 2 = 1 n (x x) 2 = 1 n x 2 x 2 r xy = cov(x, y)/ sx 2 sy 2 oder cov(x, y) = r xy s x s y

13 13 / 24 OLS im bivariaten Regressionsmodell: R 2 = r 2 xy Es gilt: R 2 = ESS TSS = S ŷŷ S yy Wir verwenden b 0 = y b 1 x und b 1 = r xy s y /s x in ŷ = b 0 + b 1 x ŷ = (y b 1 x) + b 1 x (ŷ y) = b 1 (x x) Sŷŷ = b 2 1 S xx und b 2 1 = r 2 xys yy /S xx R 2 = S ŷŷ = b 2 S xx 1 = r 2 S yy S xx xy = rxy 2 S yy S yy S xx S yy

14 OLS Schätzer für Okuns s law nachgerechnet 14 / 24

15 15 / 24 Okun s law: b 0, b 1 Wir rechnen die OLS Schätzung nach in dem wir in die Formeln b 0 = y b 1 x und b 1 = S xy /S xx einsetzen. b 1 = (x t x)(y t y) / (x t x) 2 In EViews: DUR View Descriptive... Histogram... y = DUR = und x = rho = S xx = (x t x) 2 = (n 1)sx 2 = (n 1)srho 2 = (34 1) = Group aus DUR und ρ erstellen Open as Group Descriptive... Common Sample, bzw Covariance Analysis

16 16 / 24 Okun s law: b 0, b 1 S xy = (x t x)(y t y) = n cov(x, y) = n cov(dur, ρ) = (34)( 0.471) = b 1 = S xy /S xx = / = b 0 = y b 1 x = ( 0.165)2.158 = 0.500

17 Okun s law: TSS, ESS, RSS, R 2 RSS, sum of squared residuals, ablesen: RSS = TSS, ist aus der Standardabweichung der abhängigen Variablen zu berechnen: sy 2 = 1 (yt y) 2 = 1 TSS = n 1 n 1 Mit n = 34 ist TSS = und ESS = TSS RSS = Also TSS = ESS + RSS = R 2 = = / 24

18 18 / 24 Okun s law: R 2 und corr(dur,rho) Der Zusammenhang zwischen R 2 und corr(x, y) ist R 2 = corr(x, y) 2 Im Covariance Menü von oben Correlation wählen: = R 2 = corr(dur, ρ) 2 = ( ) 2 = Der Zusammenhang zwischen Korrelation von DUR und ρ, und b 1 ist: b 1 = corr(x, y) s y s x = ( 0.567) = 0.165

19 Anforderungen Theorie und Modelle 19 / 24

20 20 / 24 Anforderungen an eine Theorie Eine Theorie hat 2 Kriterien zu genügen: intrinsic closure: Die inneren Beziehungen der Variablen müssen stabil sein. extrinsic closure: Dritte Variable haben keinen (relevanten) Einfluss, oder können durch ceteris paribus Überlegungen integriert werden.

21 21 / 24 Anforderungen an eine Theorie Eine Theorie kann aus 2 Gründen von Interesse sein: Realism: Kausale Zusammenhänge zwischen den Variablen stehen im Vordergrund. Instrumentalism: Die Theorie soll ein Verhalten/einen Verlauf prognostizieren können. Dabei wird kein Allein erklärung sanspruch erhoben. Es sind mehrere verschiedene Theorien für dasselbe Phänomen möglich. Es wird auch kein Anspruch auf Realitätsnähe erhoben. Beobachtete Daten werden angesehen, als ob ( as if) sie aus dieser Theorie stammen. Ref: Lawson(1989) Oxford Economic Papers

22 22 / 24 Anforderungen an ein stochastisches Modell Ein stochastisches Modell ist ein Daten-generierender Prozess. Dh die Grundgesamtheit kann durch eine n-dimensionale Zufallsvariable mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben werden. Die Daten sind Ziehungen daraus. ZB {y, x} mit der Beziehung: y = β 0 + β 1 x + u, u N(0, σ 2 ) Jedes Modell ist eine Vereinfachung, und wird nur sehr selten alle kausal relevanten Faktoren enthalten. Die vereinfachten Zusammenhänge im Modell basieren auf Konventionen, Plausibilität. Das Kriterium, das wir an ein Modell stellen, ist Nützlichkeit.

23 23 / 24 Anforderungen an ein stochastisches Modell Analog zur Theorie (intrinsic und extrinsic closure) verlangen wir, dass die Modellstruktur konstant ist. Dh β 0, β 1,..., σu 2 sind konstant und die funktionale Form korrekt gewählt. alle relevanten dritte Variable enthalten sind. Dh, dass das Modell korrekt spezifiziert ist.

24 24 / 24 Solow: Loose fitting positivism Die überwiegende Mehrheit der empirischen Ökonomie stellt schwächere Anforderungen an ihre Aussagen: The study of economy and economic policy through empirically testable models. Es tritt die Anforderung der Prognosefähigkeit/-qualität in den Hintergrund. Theorien müssen nicht notwendigerweise nach der Prognosegüte gewählt werden. Sie sollen bestimmte Phänomene reproduzieren können. Ref: Solow, Robert(1997) How Did Economics Get that Way and What Way Did it Get?, Daedalus, Winter.