6.4 Kointegration Definition

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Manfred Berger
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1 6.4 Kointegration Definition Nach Engle und Granger (1987): Wenn zwei oder mehrere Variablen I(1) sind, eine Linearkombination davon jedoch I() ist, dann sind die Variablen kointegriert. Allgemein: Gegeben seien N Variablen, integriert der Ordnung d, I(d). Wenn r < N Linearkombinationen zwischen den Variablen integriert der Ordnung d, wobei d < d ist, dann sind die in die Linearkombinationen eingehenden Variablen kointegriert. r wird als Kointegrationsrang bezeichnet. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS Beispiel Wir generieren drei I(1) Variablen: y 1t =.4 + y 1,t 1 + ε 1t, ε 1t N (,1) y 2t = y 1t + ε 2t, ε 2t N (,1) y 3t =.45 + y 3,t 1 + ε 3t, ε 3t N (,1) Aus den Zeitreihen geht hervor: y 1t y 2t =.4 (y 1t y 1,t 1 ) +ε 1t ε 2t }{{} y 1t = ε 2t I() y 1t y 3t }{{} ỹ 3t = y 1,t 1 y 3,t 1 + ε 1t ε 3t ỹ 3t =.5 + ỹ 3,t 1 + ε 3t I(1) Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 125

2 y 1t und y 2t sind kointegriert, da sie den gleichen stochastischen Trend haben. y 3t ist integriert, ist mit keiner der anderen variablen kointegriert. Abbildung 28: Generierte I(1)-Zeitreihen Y1 Y2 Y3 y1-y2 y1-y3 Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS Engle-Granger Kointegrations-Test Das Testverfahren untersucht, ob die Residuen e t aus einer Kointegrationsregression stationär sind oder nicht. Kointegrationsregression (r = 1): y 1t = α + β 2 y 2t + + β N y Nt + γt + ε t Mit den Residuen der Schätzung führen wir einen ADF-Test durch: e t = δ + ρe t 1 + ϑ j e t j + ν t wobei die H (nicht-stationäre Residuen, keine Kointegration) gegenüber der Alternativen (stationäre Residuen, Kointegration) überprüft wird. H : ρ = H 1 : ρ < Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 127

3 Der kritische Wert K dieses ADF-Tests hängt einerseits von der Spezifikation der OLS-Kointegrationsgleichung ab (nur mit Konstante, mit Konstante und Trend) und von der Anzahl Variablen und der Anzahl der Beobachtungen ab. McKinnon (1991) hat die Berechnung der kritischen Werte tabelliert. Die Berechnung ergibt sich aus (siehe Tabelle für die Werte β, β 1 und β 2 ): K = β + β 1 T 1 + β 2 T 2 Beispiel Zinsstruktur: Bei stabilen Wechselkursverhältnissen muss die Zinsstruktur zwischen Ländern stabil sein. Falls Zinssätze I(1) sind, sollten also jeweils die Differenz zwischen zweien stationär, I(), sein. Wir untersuchen die Zinsdifferenz zwischen Schweizer Franken und Euro-Dreimonatszins. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 128 Abbildung 29: Zinsdifferenzen CH_IR3M EU_IR3M US_IR3M Zeitreihen Dependent Variable: CH_IR3M Method: Least Squares Date: 4/3/9 Time: 13:51 Sample (adjusted): 1989Q1 28Q4 Included observations: 8 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. EU_IR3M C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic). Regression Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 129

4 Abbildung 3: ADF-Test für Residuen 1 8 Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_CHEU) Method: Least Squares Date: 4/3/9 Time: 13:53 Sample (adjusted): 1989Q2 28Q4 Included observations: 79 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. RESID_CHEU(-1) C R-squared Mean dependent var.2136 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Residual Actual Fitted t -Statistik Residuen K.5 (N = 2) = / /79 2 = Da < wird die H abgelehnt. Die Residuen sind stationär und die Zeitreihen kointegriert. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS Zwei-Schritt-Schätzung: Fehlerkorrekturmodell Die Kointegrationsbeziehung wird als langfristige Gleichgewichtsbeziehung interpretiert. Variablen, die kointegriert sind, folgen zwar einem stochastischen Trend, werden aber nie zu stark auseinanderdriften. Die Abweichung in der Langfristbeziehung wird über die Zeit korrigiert. Beispiele: BIP und seine Komponenten. Folgt das (logarithmierte) BIP, y 1t, einem stochastischen Trend, so müssen per Definition der Konsum, y 2t, und die Investitionen, y 3t, (beide auch logarithmiert) ebenfalls diesem Trend folgen, sie sind also mit dem BIP kointegriert. Daraus folgt, dass die Konsum- und die Investitionsquote einem stationären Prozess folgen. Zinsstruktur zwischen mehreren Ländern. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 131

5 y 1t, y 2t, y 3t I(1) y 2t y 1t I(), y 3t y 1t I() r = 2 Um die Dynamik zwischen den Variablen unter Berücksichtigung der Langfristbeziehung zu schätzen, wird ein Fehlerkorrekturmodell verwendet, ein VAR in Differenzen ergänzt um die verzögerten (geschätzten) Fehlerterme: y 1t = δ 1 + γ 11 (y 2,t 1 y 1,t 1 ) + γ 12 (y 3,t 1 y 1,t 1 ) + ϑ 1j y 1,t j + ϑ 2j y 2,t j + ϑ 3j y 3,t j + ε 1t Wenn es mean-reversion gibt, erwarten wir, dass die Anpassungskoeffizienten γ 11 und γ 12, hier für y 1t, positiv sind. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 132 Wenn wir analoge Gleichungen für y 2t und y 3t aufstellen, können wir das System in Matrixform darstellen: Y t = δ 1 γ 11 γ 12 δ 2 + γ 21 γ 22 Y t δ 3 γ 31 γ 32 }{{} Z t 1, e t 1 + Θ j Y t j + ε t Y t = δ + γz t 1 + Θ j Y t j + ε t wobei die Matrix der Anpassungskoeffizienten γ die Dimension N r hat und der Vektor der Fehlerterme Z t 1 die Länge r hat. Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 133

6 Abbildung 31: Zinsstruktur: Fehlerkorrekturmodell Vector Autoregression Estimates Date: 4/3/9 Time: 15:1 Sample (adjusted): 1989Q3 28Q4 Included observations: 78 after adjustments Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ] DCH_IR3M DEU_IR3M DCH_IR3M(-1) (.14159) (.11681) [ ] [ ] DEU_IR3M(-1) (.1231) (.9925) [.63844] [ ] C (.557) (.4172) [ ] [ ] ZT(-1) (.9557) (.7884) [.446] [ ] R-squared Adj. R-squared Sum sq. resids S.E. equation F-statistic Log likelihood Akaike AIC Schwarz SC Mean dependent S.D. dependent Determinant resid covariance (dof adj.).2219 Determinant resid covariance Log likelihood Akaike information criterion Schwarz criterion Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS9 134

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