Zeitreihenanalyse. Zerlegung von Zeitreihen Saisonindex, saisonbereinigte Zeitreihe Trend und zyklische Komponente Prognose Autokorrelation

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1 Zeitreihenanalyse Zerlegung von Zeitreihen Saisonindex, saisonbereinigte Zeitreihe Trend und zyklische Komponente Prognose Autokorrelation

2 Beispiel für Zeitreihe

3 Andere Anwendungen Inventarmanagment Produktionsplanung Finanzierungspläne Beschäftigungsplanung Prozesskontrolle Etc.

4 Typische Zeitreihen Y(t) = b 0 + ε wobei ε ~ N(0,σ)

5 Typische Zeitreihen Y(t) = b 0 + b 1 t + ε, ε ~ N(0,σ)

6 Typische Zeitreihen 3 Y(t) = b 0 + b 1 sin(ω t) + ε, ε ~ N(0,σ)

7 Zerlegung der Zeitreihe F t Trendkomponente S t Saisonale komponente C t Zyklische Variation (längere Perioden als Saison, ev. Keine fixe Periodenlänge) E t Zufallsschwankungen Für die zuvor vorgestellten Beispiele könnte man einfache Regressionsmodelle verwenden (vgl. Kapitel 7 und 8)

8 Zwei Modelle Multiplikative Zeitreihenstruktur X t = F t C t S t E t Additive Struktur X t = F t +C t +S t +E t Exp und Log führen Modelle ineinander über. Zusätzlich zur Regression wird bei Zeitreihen häufig die Methode der gleitenden Mittel verwendet

9 Bsp. 10.1: Verkaufszahlen über 3 Wochen Woche Mo Di Mi Do Fr Frage ob der Wochentag einen Einfluss auf die Verkaufszahlen hat

10 Graphische Darstellung Verkauf Tag

11 Behandlung der saisonalen Komponente (hier: Wochentag) X t = F t C t S t E t Verwende zunächst gleitende Mittel um saisonalen Effekt zu eliminieren (d.h. ich schätze F t C t ) GM 3 = (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 )/5 GM 4 = (X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 )/5 GM 5 = (X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 )/5 etc. Beachte die ungerade Periodenlänge p=5 (Wochentage) GM 1 und GM 2 werden nicht berechnet (ebenso GM n-1 und GM n

12 Gleitendes Mittel in der Graphik Verkauf Gleitendes Mittel Tag

13 Bereinigte Zeitreihe und saisonaler Index Von Trend und Zyklus bereinigte Zeitreihe: X t (-TC) = S t E t = X t /(F t C t ) Berechnung des saisonalen Index: Ersetze F t C t durch GM t, mittle über alle so erhaltenen Werte des gleichen Wochentags und multipliziere mit 100 Bsp Mittwoch: SI 3 =100(49/ / /46) /3 = Normierter saisonaler Index: NSI j = 100 SI SI j

14 Saisonales Gewicht und saisonbereinigte Zeitreihe Saisonales Gewicht = Saisonindex / Periodenlänge = SI j / p Saisonbereinigte Zeitreihe: X t (-S) = X t 100/SI j wobei SI j der (normierte) Saisonindex des entsprechenden Tages ist! Bemerkung: Zur Berechnung von SI wird manchmal anstelle des Mittelwerts auch der Median verwendet

15 Gleitende Mittel bei gerader Periodenlänge (Bsp 10-2: p=4) Bilde zunächst die Mittel jeweils über die Periodenlänge HM 2,5 = (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 )/4 HM 3.5 = (X 2 + X 3 + X 4 + X 5 )/4 HM 4,5 = (X 3 + X 4 + X 5 + X 6 )/4 etc. Verwende diese Hilfsgrößen um die zentrierten gleitenden Mittel zu berechnen GM 2 = (HM 2,5 +HM 3,5 ) GM 3 = (HM 3,5 +HM 4,5 ) etc.

16 Schätzung von Trend und zyklischer Komponente Schätze den Trend F t als linearen Anteil der saisonbereinigten Zeitreihe X t (-S) mittels Regression 2 Möglichkeiten: 1) Regression für die logarithmierte Zeitreihe log X t (-S) lineares Fehlermodell: log X t (-S) ~b 0 + b 1 t = log F t oder: ˆ = b0 b1t Ft e e 2) Regression direkt für X t (-S) ~c 0 + c 1 t = F t Buch S. 271ff, Bsp. 10-4, alles durchgerechnet ^ ^

17 Zyklische Komponente C t Wir haben nun also F t C t mit gleitendem Mittel und F t selbst durch lineare Regression der saisonbereinigten Zeitreihe geschätzt. Zur Bestimmung von C t können wir nun einfach diese beiden Schätzer dividieren (C t = F t C t /F t ) Abgesehen von den zufälligen Schwankungen, die ja prinzipiell nicht berechenbar sind, haben wir die Zeitreihe somit vollständig nach unserem multiplikativen Modell X t = F t C t S t E t zerlegt! Beachte, dass C t schwieriger zu schätzen und auch schwieriger zu interpretieren ist als S t.

18 Prognose

19 Verbrauch von Brennstoffen Wie wird der Verbrauch im Jahr 2010 aussehen?

20 Deutscher Aktienkurs Wo befindet sich der DAX in 3 Monaten?

21 Konjunkturprognose

22 Erstellen von Prognosen Verwende Zerlegung der Zeitreihe! X t = F t C t S t E t Zur Bestimmung von X T verwende: F T c 0 exp (c 1 T) S T passenden saisonalen Index (Tag, Quartal,etc.) C T geeignete Wahl am schwierigsten, erfordert zumeist spezielle Überlegungen, z. Bsp. welcher Teil der Zi ih ihi d V hiählih

23 Bsp Q 2Q 3Q 4Q 1Q 2Q 3Q 4Q 1Q 2Q X t Berechnung der Gleitenden Mittel: Bsp. 3. Quartal 1997: HM 23 = ; HM 34 = GM 3 = 856.2

24 Bsp Saisonindizes 3Q 4Q 1Q 2Q 3Q 4Q 1Q 2Q 3Q X t GM Beispiel 3. Quartal: 1997: 868.5/856.2 = : /927.1 = : 976.8/986.2 = 0.99 SI = 100 ( )/3 = Berechne analog SI für die anderen 3 Quartale und dann NSI

25 Bsp.10-4: Saisonbereinigte Zeitreihe Normiere Saisonindizes 1Q 2Q 3Q 4Q (NSI): Saisonbereinigte Zeitreihe: X t (-S) =X t /NSI 1Q 2Q 3Q 4Q 1Q 2Q 3Q 4Q 1Q 2Q X t X t (-S)

26 Bsp.10-4: Trendschätzung 1) Regression für Y = log(x t (-S) ) liefert: Y ˆ ( t) = t F ˆ ( t) = exp( t) = 821e 0.016t 2) Regression für Y = X t (-S) liefert F ˆ2 ( t) = t Beachte: F ˆ ( t) t + 0.1t 2

27 Bsp.10-4: Zyklische Komponente Berechne C t = GM t F ˆ ( t ) Beispiel 3. Quartal 1998: entspricht t=7 ˆ F(7) = 821e = GM 7 = C7 = 927.1/ Somit Zeitreihe vollständig zerlegt und wir wollen Zerlegung nun zur Prognose verwenden!

28 Prognose für das erste Quartal 2001 Entspricht dem Zeitpunkt T = 17, Prognose verwendet Schätzer für F T,C T und S T ˆ F(17) = 821 e = 1078 S t wird mittels saisonalem Effekt geschätzt Sˆ 17 = NSI1 /100 = Bleibt zyklische Komponente: Mögliche Überlegung C 14 = 1 C 10 Schätze C 17 durch C 13 = Prognose: Fˆ ˆ ˆ 17 S17 C17 =

29 Natürlich gibt es viele weitere Verfahren zur Prognose, die hier nicht besprochen werden können. So wird häufig die Methode der exponentiellen Glättung bevorzugt. Weiterführende Literatur findest Du z.bsp hier: Beachte, dass wir hier nur Informationen aus der Zeitreihe selbst zur Prognose verwendet haben. In der Praxis wird man natürlich auch zusätzliche Informationen heranziehen (z.bsp. Diverse andere Wirtschaftsdaten zur Konjunkturprognose).

30 Autokorrelation Korrelation zwischen Fehlertermen eines Regressionsmodells Schätzung der Koeffizienten ineffizient Unterschätzung der Fehlervarianz s 2 e Auswirkungen auf Tests und Konfidenzintervalle (Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art steigt) Bei Zeitreihen ist Autokorrelation (AK) ein häufiges Phänomen, und zwar meist positive AK

31 Durbin-Watson Test H 0 : Zeitreihe weist keine Lag 1 Autokorrelation auf H 1 : Es liegt Autokorrelation auf Teststatistik bei T Beobachtungen: D Testentscheidung: T = = ( e t t e ) 2 2 t 1 T 2 e t= 1 t H 0 falls d U < D < 4-d U H 1 falls d L < D < 4-d L Ansonsten keine Entscheidung möglich!

32 Beispiel 10-7 T =n = 16 Residuen gegeben Durbin -Watson Statistik: D = Tabelle 6: d L = 0.98, d U = 1.24 Somit d U < D < 4-d U und wir können H 0 nich verwerfen!

33 Was tun bei Autokorrelation? 1) Hinzufügen weiterer unabhängiger Variablen 2) Transformieren von Variablen Typischerweise bildet man Differenzen oder Quotienten Siehe Bsp im Buch