Gütebewertung und Performanceanalyse von Prognosealgorithmen bei unterschiedlichen Signalklassen

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1 Gütebewertung und Performanceanalyse von Prognosealgorithmen bei unterschiedlichen Signallassen Diplomverteidigung Yongrui Qiao /33

2 Gliederung Motivation und Problemstellung Testverfahren zur Eigenschaftserennung Prognoseverfahren Prognosevefahren für Zeitreihen auf onstantem Niveau, trendbehaftete Zeitreihen und saisonale Zeitreihen Prognose bei Zeitreihen mit Struturbrüchen Zusammenfassung und Ausblic 2/33

3 Motivation und Problemstellung Unsere Gesellschaft interessiert sich heutzutage oft an folgenden Fragestellungen wie: zuünftige Verläufen von Atienursen und Zinsentwiclungen, Bevölerungs-, Alterungs- bzw. Populationsentwiclung Verlaufsdauer und -artvorhersage einer Kranheit in der Medizin, usw.. Zielsetzung: Ein geeignetes Modell zu finden, das die vorliegende Zeitreihe (unterschiedlicher Signallassen) am besten beschreiben und prognostizieren ann. 3/33

4 Motivation und Problemstellung x Testverfahren Modellentwiclung xˆ Prognose ˆ x h Anwendung der Prognose Probleme: Zu welcher Signallasse gehört diese Zeitreihe? Probleme: Was für ein Modell wird gebraucht? Probleme: Gütebewertung der Prognoseergebnisse Fehlermaße Strategie gegenüber der Zuunft entwiceln Aufgabenstellung: - Prognoseverfahren für unterschiedliche Signallassen - Gütebewertung und Performanceanalyse von Prognosealgorithmen 4/33

5 Motivation und Problemstellung Testverfahren zur Eigenschaftserennung Prognoseverfahren Zusammenfassung und Ausblic 5/33

6 Signallassevorstellung Ausgangspunt: lassisches Komponentenmodell Grundsätzlich unterscheidet man folgende Arten von zeitabhängigen Verläufen: Zeitreihen auf onstantem Niveau trendbehaftete Zeitreihen saisonale Zeitreihen (bzw. trendbehaftete und saisonale Zeitreihen) Zeitreihen mit Struturbruch Zeitreihen mit Ausreißer Zeitreihen, die die Eigenschaften von einigen oder allen obengenannten Zeitreihen enthalten 6/33

7 Erennung der Eigenschaften von Zeitreihen Methoden und Verfahren: Graphische Darstellung Autoorrelationsfuntion und die partielle Autoorrelationsfuntion in dieser Arbeit verwendete Testverfahren Von Neumannscher Differenzentest, Trendtest von Cox und Stuart zum Nachweis eines monotonen Trends Phasenverteilungstest von Wallis und Moore, Phasenhäufigeitstest von Wallis und Moore zum Nachweis von Periodizitäten(Saison) Ausreißertest nach Dixon Tests auf Struturbrüche: Chow Breapoint Test, Quandt-Andrews Test usw. 7/33

8 Autoorrelationsfuntion und die partielle Autoorrelationsfuntion Autoorrelogramme für die trendbehaftete Zeitreihe Autoorrelogramme für die saisonale Zeitreihe 8/33

9 Tests auf Struturbrüche 70 x 45 x μ x a b μ 1 μ Ein Struturbruch bedeutet, dass sich die Strutur des Modells über die Zeit ändert. Chow Breapoint Test: ist ein beannter Test auf Struturbrüche. Dieser Test wird häufig angewandt um zu testen, ob zu einem Zeitpunt eine Änderung des Zeitreihenverlaufs eingetreten ist. 9/33

10 H 0 : ein Struturbruch um Testzeitpunt t Bruch Zerlegung der Zeitreihe in zwei Teile: N 1 + N 2 = N Bestimmung der Quadratsumme SSR r : SSR r N 1 ( x xˆ ) 2 Bestimmung der Quadratsumme SSR u = SSR 1 +SSR 2 (getrennte Schätzungen über beide Teil-Zeitreihen) Berechnung des F-Statistiwertes: F F K, N2K ( SSR SSR r u SSRu ) K ( N 2K) Prüfung der Hypothese H 0 : { F > F ritisch (K, N-2K; 1-α)} Ja H 0 wird mit α abgelehnt: Ein Struturbruch existiert Nein H 0 ann nicht mit α abgelehnt werden: Kein Struturbruch 10/33

11 Motivation und Problemstellung Testverfahren zur Eigenschaftserennung Prognoseverfahren Zusammenfassung und Ausblic 11/33

12 Prognoseverfahren Prognose bei Zeitreihen auf onstantem Niveau Gleitender Durchschnitt, Exponentielles Glätten erster Ordnung Prognose bei trendbehafteten Zeitreihen Lineare Regressionsanalyse, Exponentielles Glätten zweiter Ordnung, Exponentielles Glätten nach Holt Prognose bei saisonalen Zeitreihen Saisonverfahren nach Winters (Exponentielles Glätten dritter Ordnung) Prognose mit ARIMA-Modellen Prognose bei Zeitreihen mit Struturbrüchen 12/33

13 Vorgehensweise der Prognose Auswahl eines geeigneten Modells (bzw. Auswahl eines geeigneten Prognoseverfahrens) {im Fall der Ablehnung des Modells} Schätzung des gewählten Modells (bzw. Strutur- und Parameterschätzung) xˆ Methode der Kleinsten Quadrate Maximum-Lielihood-Schätzmethode Yule-Waler Schätzung Prüfung des gewählten Modells Fehleranalyse: Residualreihe Prognose: ˆ {im Fall der Annahme des Modells} x h entspricht dem White-Noise-Prozess (Portmanteau-Test von Box/Pierce) Fehlermaße: MSE, MAD, ua. Gütebewertung der Prognose MSE: Mittlere quadratische Fehler Die Prognose wird nach der Erennung der Zeitreihe-Eigenschaften (Trend, Saison, Struturbruch, usw.) in fünf Schritte unterteilt. 13/33

14 Vorgehensweise der Prognose 200 x K x xˆ e ZR x ZR Prognosewerte Prognosefehler /33

15 Prognose bei Zeitreihen auf onstantem Niveau 200 x Zeitreihe auf onstantem Niveau Zeitreihe auf onstantem Niveau: die Zeitreihe schwant um einen bestimmten Wert Prognoseverfahren: Gleitender Durchschnitt, Exponentielles Glätten erster Ordnung 15/33

16 Prognose bei onstanten Zeitreihenmodellen 200 X (Tonnen) Nachfrage Prognose mit Exponentielles Glättung erster Ordnung 0 Prognose mit Gleitendem Durchschnitt (Monat) Anwendungsbeispiel: Nachfrage: die originale Zeitreihe x Prognose mit gleitendem Durchschnitt: Gleitfensterlänge M = 2: MSE = Prognose mit dem Verfahren des einfachen Exponentiellen Glättens mit α = 0.2: MSE = /33

17 Prognose bei onstanten Zeitreihenmodellen Gleitender Durchschnitt Exponentielles Glätten erster Ordnung Grundformel: 1-Schritt-Prognose ~ x xˆ x i i M M ~ 1 x M x i im 1 S xˆ x 1 S ( 1) S 1 zu lösende Probleme Festlegung der Länge des Gleitfensters: M Bestimmung des Reationsparameters α Initialisieren der Startwerte S 0 Vergleich Ergebnisse: MSE = gute Vorhersage Nachteil: gleich gewichteter Durchschnitt von Beobachtungswerten Ergebnisse: MSE = gute Vorhersage Vorteile: Exponentieller gewichteter Durchschnitt von vorhergehenden Beobachtungswerten, einfach und wenig rechenintensiv 17/33

18 Prognose bei trendbehafteten Zeitreihen 250 x Zeitreihe mit Trend trendbehaftete Zeitreihe: Der Mittelwert der Zeitreihe bleibt nicht onstant. Die Zeitreihe steigt bzw. fällt im betrachteten Intervall. 18/33

19 19/33 Drei Prognoseverfahren bei trendbehafteten Zeitreihen Lineare Regressionsanalyse Exponentielles Glätten zweiter Ordnung Exponentielles Glätten nach Holt Grundformel Prognose Vorteile ein einfaches Verfahren schnelle Erennung der Trendänderungen höhere Flexibilität Nachteile mehr Rechenaufwand mangelnde Flexibilität, weil nur ein Glättungsparameter Besitmmung zweier Glättungsparameter α, β x x b ) (6 12 ˆ 1) ( ˆ 1 b x a ) ( ˆ ˆ ˆ, b a x (1) 1 (1) ) 1 ( S x S (2) 1 (1) (2) ) 1 ( S S S (2) (1) 2 S S a ) ( 1 (2) (1) S S b b a x 1, ˆ ) ( ) 1 ( 1 1 b a x a 1 1 ) (1 ) ( b a a b b a xˆ

20 Prognose bei saisonalen Zeitreihen x (Tausend ) Beispielzeitreihe mit Saison (Quartal) Prognoseverfahren: Saisonverfahren nach Winters: xˆ, ( a b ) c p Update-Formeln: a x ( 1) ( a1 b 1) b ( a a 1 ) (1 ) b 1 c p c x a ( 1 ) c p wichtige Probleme: Initialisierung der Parameter a, b, c Besitmmung der Glättungsparameter α, β, γ 20/33

21 Prognose bei saisonalen Zeitreihen x (Tausend ) Vergleich verschiedener Prognoseverfahren (Quartal) Nachfrage Lineare R. E.G.2.Ordnung Saisonverfahren nach Winters Prognoseverfahren MSE Lineare Regression Exponentielles Glätten 2. Ordnung Saisonverfahren nach Winters Ergebnisse: Durch die Anwendung der saisonalen Fatoren wird die Prognosequalität wesentlich gesteigert. 21/33

22 Prognose mit ARIMA-Modellen Gleitender Durchschnitt Exponentielles Glätten 1. Ordnung Zeitreihe auf onstantem Niveau ARIMA [p, 0, q] Lineare Regressionsanalyse Exponentielles Glätten 2. Ordnung Exponentielles Glätten nach Holt trendbehaftete Zeitreihe ARIMA [p, d, q] Saisonverfahren nach Winters saisonale Zeitreihe Saisonale ARIMA ARIMA-Modelle: stochastische Autoregressive-Integrierende-Moving-Average-Modelle sind allgemeine und önnen auf jede Verlaufsform angewandt werden Hauptritipunt: Es ist mathematisch sehr anspruchsvoll und im Vergleich zu anderen beschriebenen Verfahren äußerst ompliziert. 22/33

23 Prognose bei Zeitreihen mit Struturbrüchen Ursache oder Problem bei der Prognose Wirung neue Prognosestrategie Auftretten von Struturbrüchen in der Zeitreihe bei der Modellanpassung und anschließender Prognose mittels Regressionsmodellen Verletzung der Stationarität Schlechte Modellanpassung und Prognose-Ergebnissen eine effiziente Lösung Die neue Prognosestrategie wird auf Basis der allgemeinen Prognosestrategie erstellt, geht vom allgemeinen Prognoseprozess aus /33

24 Prognose bei Zeitreihen mit Struturbrüchen ZR1 x Struturbruchtest Ja Nein Zeitreihenzerlegung in Zwei Teil-Zeitreihen Andere Testverfahren (z.b. Trend-, Saison-Test usw.) ZR2 Erennung der Eigenschaften (Trend, Saison, usw.) Modellanpassung Prognose Gütebewertung der Prognose /33

25 Anwendungsbeispiel für Zeitreihe mit einem Struturbruch x Zeitreihe mit Struturbruch t Bruch = Beispiel-Zeitreihe mit einem möchlihen Struturbruch Bei unbeannten Bruchzeitpunten wird der Quandt-Andrews Test im Tool Eviews 6 durchgeführt Testergebnisse: es gibt einen Struturbruch um = 10 25/33

26 Prognose ohne Berücsichtigung des Struturbruchs 120 x Beobachtungswerte Prognosewerte geschätztes Modell: Prognosefehler ˆ x -80 Die Prognosewerte für = 16, 17, 18, 19: xˆ15 h 2.8*( h) Die entsprechenden Fehlermaße: MSE ( x ˆ ) 2 x MAD x xˆ MAPE x xˆ x /33

27 Prognose mit Berücsichtigung des Struturbruchs x Beobachtungswerte ˆ x geschätztes Modell: 6.03* Prognosewerte t Bruch = 10 Prognosefehler Prognosewerte für = 16, 17, 18, 19: xˆ15 h 6.03*( h) Entsprechende Fehlermaße: MSE ( x ˆ ) 2 x 9.89 MAD x xˆ MAPE x ˆ x x /33

28 Bewertung der Ergebnisse Prognose ohne Berücsichtigung des Struturbruchs Prognose mit Berücsichtigung des Struturbruchs MSE MAD MAPE [%] Bewertung schlechte Prognose-Ergebnisse gute Prognose-Ergebnisse Die neue Prognosestrategie für Zeitreihen mit einem Struturbruch eine durchführbare und geeignete Methode erweiterte eigenschaftenorientierte, effiziente Prognosestrategie 28/33

29 Motivation und Problemstellung Testverfahren zur Eigenschaftserennung Prognoseverfahren Zusammenfassung und Ausblic 29/33

30 Zusammenfassung Untersuchung und Illustrieren der Testverfahren zur Erennung der Zeitreiheneigenschaften Untersuchung und Bewertung wichtiger geeigneter Prognoseverfahren für unterschiedliche Signallassen Erennung der Probleme, Schwachpunte, sowie der Vorteile Bestätigung der pratischen Anwendbareit und der Anpassung zu bestimmten Signallassen Entwiclung einer neuen Prognosestrategie für Zeitreihen mit Struturbruch Erstellen einer neuen prototypischen Lösung Bestätigung der pratischen Anwendbareit mit onreten Beispielen 30/33

31 Ausblic weitere Prognoseverfahren hinsichtlich ihrer Güte zu untersuchen Exponentielles Glätten N-ter Ordnung (N > 3) weitere regressionsanalytische Verfahren (z.b. Kalman-Filter), und Prognoseverfahren (z.b. ARCH-, GARCH-Modelle) für nichtlineare Zeitreihen Prognosestrategie für Zeitreihen mit Struturbrüchen ihre Anwendungsmöglicheiten für Zeitreihen mit mehreren Struturbrüchen und für andere Zeitreihenlassen (z.b. saisonale Zeitreihe) müssen weiter untersucht und überprüft werden. 31/33

32 Dansagung Prof. Dr. K. Kabitzsch Dr. H.-D. Ribbece /33

33 Vielen Dan für die Aufmersameit... 33/33

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