Zeitreihenanalyse Das Holt-Winters-Verfahren

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1 Zeitreihenanalyse Das Holt-Winters-Verfahren Worum geht es in diesem Lernmodul? Einleitung Modellannahmen Die Prognoseformel des Holt-Winters-Verfahren Die Glättungskoeffizienten Die Startwerte Weiterführende Links Worum geht es in diesem Lernmodul? In diesem Lernmodul werden Sie das Holt-Winters-Verfahren kennen lernen. Dieses Verfahren ermöglicht es uns, Prognosen für Zeitreihen Trend- und Saisonkomponente zu machen. Die Prognoseformel wird Schritt für Schritt entwickelt und die Bestimmung der Startwerte anhand eines Beispiels demonstriert. Im Rahmen zweier Übungen haben Sie die Möglichkeit, das Holt-Winters-Verfahren selbst anzuwenden und so Ihre Kenntnisse zu festigen. Einleitung Bei der im vorherigen Kapitel beschriebenen Methode des einfachen exponentiellen Glättens müssen wir uns auf Zeitreihen ohne Trend und Saisoneinflüsse beschränken. Das Holt-Winters-Verfahren ist eine Erweiterung des einfachen exponentiellen Glättens, das es uns erlaubt, Prognosen auch für Reihen Trend und Saisonfigur zu berechnen. Die Idee ist, unter Berücksichtigung der Saison nicht nur das Niveau, sondern auch die Steigung der Reihe einer, dem einfachen exponentiellen Glätten entsprechenden, Rekursion fortzuschreiben. Beispiel: Die australische Bierproduktion Abb. BIER: Bierproduktion in Australien (quartalsweise) Quelle: Hyndman Die Grafik zeigt die Zeitreihe der australischen Bierproduktion in Megalitern. Die Reihe weist einen linearen Trend und eine deutliche Saisonfigur auf. Mit dem Verfahren des Page 1

2 einfachen exponentiellen Glättens ist es nicht möglich eine sinnvolle Prognose zu machen. Sie werden daher Schritt für Schritt das Verfahren von Holt-Winters kennen lernen um schließlich im Rahmen einer Übung die Produktion für das 1.Quartal 1971 zu prognostizieren. Modellannahmen Wir werden uns in diesem Kapitel auf die additive Variante des Holt-Winters-Verfahrens beschränken. Das zugrundeliegende Modell ist daher. Im Modell wird ausschließlich von Zeitreihen einem einfachen linearen Trend und starrer Saisonfigur ausgegangen. Eine sich langsam verändernde Saisonfigur wird jedoch durch die Berechnungsgrundlage des Verfahren aufgefangen. Daher können wir das Verfahren von Holt-Winters auch auf Zeitreihen sich langsam verändernder Saisonfigur anwenden. Die Prognoseformel des Holt-Winters-Verfahren Anders als beim einfachen exponentiellen Glätten müssen nun insgesamt drei Parameter geschätzt werden: das Niveau, die Steigung und die Saison. Dies geschieht Hilfe dreier Rekursionsgleichungen, denen jeweils ein Glättungsparameter oder zugeordnet wird. Das Niveau Das aktuelle Niveau schätzen wir aus der gewichteten Summe von Niveau und Steigung des vorherigen Zeitpunktes. Dann addieren wie den aktuellen, saisonbereinigten Wert der Ausgangsreihe dazu. Die Steigung Die aktuelle Steigung ergibt sich aus der gewichteten Differenz des vorangegangen und des aktuellen Niveaus. Dazu addieren wir, die gewichtete, um einen Zeitpunkt zurückliegende, Steigung. Page 2

3 Die Saison Zur Schätzung der Saisonkomponente wird vom aktuellen Beobachtungswert das Niveau abgezogen und die Differenz gewichtet. Wir gewichten die entsprechende Saisonkomponente des Vorjahres und addieren sie hinzu. Die Prognose Die drei Rekursionsgleichungen ergeben nun zusammen das Holt-Winters-Verfahren der Prognoseformel. h ist der Prognosehorizont, der angibt, wie viel Schritte in die Zukunft prognostiziert wird. Die Glättungskoeffizienten Für die Glättungskoeffizienten werden wir, wie beim einfachen exponentiellen Glätten, in der Regel einen Wert zwischen 0 und 1 wählen. Wie beim einfachen exponentiellen Glätten, minimieren wir, zur Bestimmung der Koeffizienten, die Summe der Abstandsquadrate: Die Startwerte Für das Holt-Winters-Verfahren ist die Festlegung von Startwerten sowohl für den Trend, das Niveau als auch für die Saisonkomponenten einer kompletten Periodendauer p erforderlich. D.h. bei monatlichen Beobachtungen müssen zwölf Startwerte für alle drei Parameter festgelegt werden, bei Quartalsdaten vier. Als Startwerte für das Niveau wählen wir das arithmetische Mittel der ersten p Werte der Ausgangszeitreihe. Zur Erinnerung: p ist die Periodendauer. Für die Startwerte der Saison wird vom jeweiligen Wert der Ausgangszeitreihe das arithmetische Mittel der ersten p Werte abgezogen. Bedingt durch die Annahme, dass anfänglich noch kein Trend vorliegt, wählen wir für die Startwerte der Steigung den Wert Null. Beispiel: Bestimmung der Startwerte In diesem Beispiel wollen wir die Startwerte für die Zeitreihe BIER aus der Einleitung bestimmen: Abb. BIER: Bierproduktion in Australien (quartalsweise) Quelle: Hyndman Die Grafik zeigt die Zeitreihe der australischen Bierproduktion in Megalitern. Da es Page 3

4 sich um Quartalsdaten handelt, ist die Periodendauer p gleich vier, und wir müssen demzufolge jeweils vier Startwerte für das Niveau, den Trend und die Saison vorgeben. Die folgende Tabelle enthält die auf der Grundlage der oben erklärten Formeln berechneten Startwerte: Zeitpunkt t Quartal Beobachtung y(t) 1 1/ / / / Prognostizieren Sie für die im Beispiel gegebene Zeitreihe BIER die Höhe der Produktion für das 1.Quartal des Jahres 1971! Labordatei öffnen ( b8a.spf ) Im Labor wird Ihnen die Zeitreihe des monatlichen australischen Verkaufs von Schaumwein ( in Tsd. Litern) von Januar 1989 bis einschließlich Juli 1995 zur Verfügung gestellt. Prognostizieren Sie die Verkaufsmenge für August 1995! Labordatei öffnen ( b92.spf ) Weiterführende Links Zeitreihen zum Üben und Ausprobieren: Vergleiche: Chatfield, Christopher (1982). Analyse von Zeitreihen. München, Hanser. Janacek, Gareth (2001). Practical Time Series. London, Arnold. Schlittgen, Rainer (2001). Angewandte Zeitreihenanalyse. München; Wien, Oldenbourg. Schlittgen, R.; Streitberg, B.H.J. (2001).Zeitreihenanalyse. München; Wien, Page 4

5 Oldenbourg. Maser, Torsten M. (2002): Exponentielles Glätten saisonaler Zeitreihen. Internet: (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 5