9.1. Lineare und nichtlineare Trends. 9. Zeitreihen mit Trend Lineare und nichtlineare Trends Transformation der Daten

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1 9. Zeitreihen mit Trend 9.1. Lineare und nichtlineare Trends In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit ZR, die einen langfristigen linearen Trend, aber keine saisonalen Schwankungen, enthalten. Das zugrunde liegende Modell ist daher ein Modell das die ZR in eine Niveau-, eine lineare Trendkomponente und eine zufällige Restkomponente zerlegt. hotann 1.0 e e Abbildung 17: Zeitreihenplot Hotel-Daten. Department für Statistik & Mathematik 9-79 Department für Statistik & Mathematik Lineare und nichtlineare Trends Die Hotel-Daten in Abb. 17 zeigen einen deutlichen linearen Trend. Man kann gut eine Gerade als Näherung an die Daten legen. In diesem Abschnitt wird das Holt Verfahren hergeleitet. Es ist ein Verfahren, das Prognosen unter der Annahme eines linearen Trends trifft. Bei Daten, die einen Trend aufweisen, der aber nicht linear ist, kann eine Transformation dieser Daten sinnvoll sein. Wir geben 2 Beispiele: Die Daten in Abb. 18 zeigen einen nahezu quadratischen Trend. In Abb. 19 sehen wir die ZR, die sich als Wurzel aus den ursprünglichen Daten ergibt. Die Daten in Abb. 20 zeigen einen nahezu exponentiellen Trend. In Abb. 21 wurden die Daten logarithmiert. Department für Statistik & Mathematik 9-81 Department für Statistik & Mathematik 9-82

2 population sqrt(population) Abbildung 18: US population. Abbildung 19: Transformation der US population. Department für Statistik & Mathematik 9-83 Department für Statistik & Mathematik 9-83 sales log(sales) Abbildung 20: Verkaufszahlen einer Firma. Abbildung 21: Transformation der Verkaufszahlen. Department für Statistik & Mathematik 9-84 Department für Statistik & Mathematik 9-84

3 Das Verfahren des exponentiellen Glättens wird nun so erweitert, dass auch ZR, die einen langfristigen, linearen Trend enthalten, prognostiziert werden könnnen. ˆx T (h) = â T +1 + ˆb T +1 h, h = 1, 2,... Die Daten setzten sich hier aus einer Niveaukomponente â T +1 und einer linearen Trendkomponente ˆb T +1 h zusammen. Rekursion für t = 3,..., T : â t = αx t 1 + (1 α)(â t 1 + ˆb t 1 ) ˆbt = β(â t â t 1 ) + (1 β)ˆb t 1 Die Einschritt-Vorhersagen zum Zeitpunkt t 1 ergeben sich daher als Summe der Schätzwerte von Trend und Niveau: ˆx t 1 (1) = â t + ˆb t. Department für Statistik & Mathematik 9-85 Department für Statistik & Mathematik 9-86 Startwerte: â 2 = x 1, ˆb 2 = x 2 x 1 Rekursion: â 3 = αx 2 + (1 α)(â 2 + ˆb 2 ) = x 2 ˆb3 = β(â 3 â 2 ) + (1 β)ˆb 2 = x 2 x 1. â T = αx T 1 + (1 α)(â T 1 + ˆb T 1 ) ˆbT = β(â T â T 1 ) + (1 β)ˆb T 1 Holt Verfahren für die Hotel-Daten: Die Hotel-Daten weisen einen Trend auf, der gut durch eine lineare Trendfunktion modelliert werden kann. In Abb. 22 werden die Jahre füer die Prognose von verwendet. Wir sehen, dass die lineare Trendprognose die wahren Daten der Jahre gut approximiert. Prognose f. T+1: â T +1 = αx T + (1 α)(â T + ˆb T ) ˆbT +1 = β(â T +1 â T ) + (1 β)ˆb T Prognose f. T+h: â T +h = â T +1, ˆb T +h = ˆb T +1 h Department für Statistik & Mathematik 9-87 Department für Statistik & Mathematik 9-88

4 Holt Winters filtering Zur Anwendung des Holt Verfahrens: Observed / Fitted 1.0 e e Approximiert eine ZR durch eine Niveau- und eine lineare Trendkomponente. Da die Prognosefunktion eine lineare Funktion in der Zeit ist, können nur ZR, die einen linearen Trend aufweisen, prognostiziert werden. Weder nichtlineare Trends noch saisonale Schwankungen können vorhergesagt werden. Abbildung 22: Holt-Verf. auf Hotel-Daten und Prognose für Die Glättungsparameter α und β liegen zwischen 0 und 1. Department für Statistik & Mathematik 9-89 Department für Statistik & Mathematik 9-90 Für α nahe bei 0 gehen auch länger zurückliegende Beobachtungen noch stärker in die Niveauschätzung ein. Die letzte Beobachtung erhält ein umso größeres Gewicht bei der Niveauschätzung, je näher der Glättungsparameter α an 1 liegt. Die Glättungsparameter können auch wieder durch Minimierung der Fehlerquadratsumme zwischen Einschritt-Vorhersage und wahrem Wert der ZR geschätzt werden. Für β nahe bei 0 geht die länger zurückliegende Trendentwicklung stärker in die aktuelle Trendschätzung ein. Die letzte Trendentwicklung erhält ein umso größeres Gewicht bei der Trendschätzung, je näher der Glättungsparameter β an 1 liegt. Department für Statistik & Mathematik 9-91 Department für Statistik & Mathematik 9-92

5 10. Holt Verfahren in R Um in R das Holt-Verfahren durchzuführen, wird die Funktion HoltWinters verwendet. Die Erklärung zur Anwendung stehen in HoltinR.pdf und können von der LV-Seite heruntergeladen werden. Übungen 3 Lösen Sie die folgenden Beispiele mit Hilfe von R: 1. Folgen Sie der Anleitung in HoltinR.pdf und rechnen Sie das dortige Beispiel nach. 2. Laden Sie die Daten austres in das Arbeitsverzeichnis. (Befehl: data( austres ), ist ein Datensatz, der im Package stats in R enthalten ist. Nähere Informationen können über help( austres ) abgefragt werden.) Gehen Sie wie in Bsp. 1. vor. Die Daten der Jahre sollen verwendet werden um Werte fuer vorherzusagen. Department für Statistik & Mathematik Department für Statistik & Mathematik 0-94 Übungen 3 (Hinweis: past <- window(austres, start=c(1985,1), end = c(1989,4)), future <- window(austres, start = c(1990,1)) ) Wählen Sie die Glättungsparameter α = 0.4 und β = 0.2. Wie lautet Ihre Prognose für das 2. Quartal 1993? 3. Lassen Sie für die Daten aus Bsp. 3. die Glättungsparameter von R optimieren. Welchen Wert bekommen α und β? Wie lautet die Prognose für das 2. Quartal 1993 jetzt? Wie hat sich die Fehlerquadratsumme für verändert? Wie hat sich die mittlere Fehlerquadratsumme für Quartal 1993 verändert? Department für Statistik & Mathematik 0-95