2.3 Nichtlineare Regressionsfunktion

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1 Nichtlineare Regressionsfunktion Bisher: lineares Regressionsmodell o Steigung d. Regressionsgerade ist konstant o Effekt einer Änderung von X auf Y hängt nicht vom Niveau von X oder von anderen Regressoren ab o Für viele Anwendungen nicht plausibel o Effekt d. Veränderung d. KG auf TE könnte für kleine KG größer sein als für große KG Nichtlineare Regressionsfunktionen kann variierenden Einfluss von Regressoren auf abhängige Variablen beschreiben o Illustrationen 1

2 Plan Einführung: quadratische Regressionsmodell o Nichtlinearität bzgl. Regressoren vs. bzgl. Parameter o Messung des Effektes einer Änderung von X auf Y Nichtlineare Funktion von einem einzelnen Regressor o Effekt von Änderung von X 1 auf Y hängt vom Niveau von X ab o Polynomial-Regressionsmodell o Logarithmische Spezifikationen 2

3 Plan Interaktion zwischen Regressoren o Effekt von Änderung von X 1 auf Y hängt von anderen Regressoren ab o Interaktion zw. binären Variablen o Interaktion zw. binären Variablen u. stetigen Variablen o Interaktion zw. stetigen Variablen 3

4 Einführung: quadratische Regression Beispiel: Zshg. TE und Einkommen in Schulbezirk vermutlich nichtlinear mögliche Beziehung könnte quadratische Form haben TE i = β 0 + β 1 Eink i + β 2 Eink 2 i + u i Funktion ist nichtlinear bzgl. Eink, aber linear bzgl. Parameter β 0, β 1, β 2 Schätze Parameter mit KQ-Methode X 1i = Eink i und X 2i = Eink 2 i 4

5 Einführung: quadratische Regression Bsp. für nichtlineare Fkt. bzgl. Parameter Y i = β 0 + X β 1 1i + u i o betrachten wir hier nicht, nichtlineare KQ-Schätzung nötig TE i = (2.9) (0.27) Eink i (0.0048) Eink2 i, R2 =

6 Test auf Nichtlinearität quadratische Regression ist linear, falls β 2 = 0 t-test: H 0 : β 2 = 0 vs. H 1 : β 2 0 o t = ˆβ 2 0 ˆσ ˆβ2 t act = = 8.81 o p-wert = bzw > 5% kritischer Wert = 1.96 Lehne H 0 ab, d. h. Evidenz für nichtlineares Modell Bei Nichtlinearitäten bzgl. Regressoren: Test auf Nichtlinearität mit Hilfe von t- bzw. F -Test auf Signifikanz von Modellparametern 6

7 Bestimmung d. Effektes einer Änderung von X auf Y Allgemeine Formel für nichtlineare Regressionsfunktion Y i = f(x 1i,..., X Ki ) + u i, i = 1,..., n o quadratische Regression Y i = TE i, X 1i = Eink i f(x 1i ) = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X1i 2 o lineare Funktion mit einem Regressor f(x 1i ) = β 0 + β 1 X 1i 7

8 Bestimmung d. Effektes einer Änderung von X auf Y Effekt einer Änderung von X 1 : f(x 1 + X 1, X 2,..., X k ) f(x 1, X 2,..., X k ) = Y o Y hängt im nichtlinearen Modell vom Niveau von X 1 ab! Schätzung des Effektes Ŷ = ˆf(X 1 + X 1, X 2,..., X n ) ˆf(X 1, X 2,..., X k ) o Berechne Ŷ für verschiedene Werte von X 1 Beispiel: siehe Illustrationen zu TE u. Einkommen Regressionsparameter sollten nicht als marginale Effekte interpretiert werden! Wieso? 8

9 Allgemeiner Ansatz zur Modellierung von Nichtlinearitäten 1. Identifikation einer möglichen nichtlinearen Beziehung 2. Spezifikation einer nichtlinearen Funktion und KQ-Schätzung der Parameter 3. Überprüfe nichtlineare Spezifikation o t-oder F -Test bzgl. relevanter Modellparameter 4. Graphische Darstellung der nichtlinearen Regressionsfunktion 5. Schätzung des Effektes einer Änderung eines Regressors auf Y 9

10 Nichtlineare Funktion eines einzelnen Regressors: Polynomialregression Polynomial-Regressionsmodell von Ordnung r Y i = β 0 + β 1 X i + β 2 X 2 i β r X r i + u i o r = 2: o r = 3: quadratisches Regressionsmodell kubisches Regressionsmodell KQ-Schätzung der Parameter Test auf Nichtlinearität o H 0 : β 2 = 0, β 3 = 0,..., β r = 0 H 1 : mindestens ein β j 0, o F -Test vs. j = 2,..., r 10

11 Nichtlineare Funktion eines einzelnen Regressors: Polynomialregression Bestimmung der Polynomialordnung r o Sequenz von t-tests 1) H 1 0 : β rmax = 0 vs. H 1 1 : β rmax 0 2a) bei Ablehnung von H 1 0 : r = r max 2b) Nichtablehnung von H 1 0 : Teste H 2 0 : β rmax 1 = 0 vs. H 2 0 : β rmax 1 0 bis zu ersten Ablehnung o r max? In vielen ökon. Anwendungen sind nichtlineare Funktionen relativ glatt kleine Ordnungen r max zw. 2 und 4 o Problem: Signifikanzniveau der Testsequenz Beispiel: Illustration zu TE und Einkommen 11

12 Logarithmische Spezifikation Logarithmustransformation übersetzt Änderungen von Variablen in prozentuale bzw. relative Änderungen Nachfragegleichung: ln(d i ) = β 0 + β 1 ln(p i ) + u i o β 1 ist Preiselastizität der Nachfrage: erhöht sich Preis um 1%, ändert sich Nachfrage um β 1 % Lineare Beziehung zwischen Logarithmen: linear in prozentualen Änderungen, obwohl nichtlineare Beziehung bzgl. Niveau d. Variablen 12

13 Regeln zum natürlichen Logarithmus ln(x) nur für X > 0 definiert X = ln e ln(x) = exp(ln(x)) ln ( 1 X) = ln(x) ln(ax) = ln(a) + ln(x) ln ( X a ) = ln(x) ln(a) ln(x a ) = a ln(x) 13

14 Logarithmen und relative/prozentuale Änderung ln(x + X) ln(x) X = X, falls X X klein d. h. Log-Änderung = relative Änderung X = 100, X = 1 X X = 0.01 (oder 1%) ln(101) ln(100) = (oder 0.995%) = 0.01 (oder 1%) 14

15 Drei Logarithmische Regressionsmodelle Linear-Log-Modell: X logarithmiert, Y nicht Log-Linear Modell: Y logarithmiert, X nicht Log-Log-Modell: Y und X logarithmiert Interpretation der Regressionsmodellparameter hängt von jeweiliger Spezifikation ab! 15

16 Linear-Log Modell Y i = β 0 + β 1 ln(x i ) + u i, i = 1,..., n 1%-ige Erhöhung von X ändert Y i um 0.01 β 1 Einheiten Y = [β 0 + β 1 (ln(x + X))] [β 0 + β 1 ln(x)] = β 1 [ln(x + X) ln(x)] = β 1 X X 1%-ige Erhöhung X X = 0.01 Y = β

17 Log-Linear Modell ln(y i ) = β 0 + β 1 X i + u i Erhöhung von X um eine Einheit verändert Y um 100 β 1 % ln(y + Y ) ln(y ) = [β 0 + β 1 (X + X)] [β 0 + β 1 X] = β 1 X X = 1 = Y Y, falls β 1 X klein Y Y = β 1 }{{} relative Änderung Y ändert sich um 100 β 1 % 17

18 Log-Log Modell ln(y i ) = β 0 + β 1 ln(x i ) + u i Erhöhung von X um 1% verändert Y um β 1 % β 1 : Elastizität von Y bzgl. X ln(y + Y ) ln(y ) = [β 0 + β 1 ln(x + X)] [β 0 + β 1 ln(x)] Y Y = β 1 X X, falls Änderungen klein β 1 = Y/Y X/X = 100 ( Y/Y ) 100 ( X/X) = prozentuale Änderung von X prozentuale Änderung von Y 18

19 Modellvergleich Vergleich der Modelle mit Hilfe von R 2 nur sinnvoll, wenn die abhängige Variable jeweils gleich ist o R 2 bzw. R 2 bzgl. Variation d. abhängigen Variable definiert Vergleich nur für linear-linear und linear-log Modelle und log-linear und log-log Modelle sinnvoll 19

20 Prognose für Y, wenn Y logarithmiert ist Rückrechnung ins Niveau mit Exponentialfunktion wegen Fehlerterm problematisch ln Y i = β 0 + β 1 X i + u i Y i = exp(β 0 + β 1 X i + u i ) = e β 0+β 1 X i e u i E[e u i] 1 Ŷi = e ˆβ 0 + ˆβ 1 X i ist verzerrt! Dürfen eigentlich nur logarithmierte Werte prognostizieren! 20

21 Interaktion zwischen zwei binären Regressoren Y i = β 0 + β 1 D 1i + β 2 D 2i + u i (1) Y i = β 0 + β 1 D 1i + β 2 D 2i + β 3 (D 1i D 2i ) + u i (2) Y i = Lohn D 1i = D 1i = { 1 Frau 0 Mann { 1 Hochschulabschluss 0 kein Hochschulabschluss 21

22 Interaktion zwischen zwei binären Regressoren Modell 1: Einfluss von Hochschulabschluss auf Lohn für Männer u. Frauen gleich Modell 2: Einfluss von Hochschulabschluss auf Lohn für Frauen u. Männer unterschiedlich, falls β 3 0 Frauen mit Hochschulabschluss D 1i = 1 und D 2i = 1 Effekt auf Lohn β 2 + β 3, da D 1i D 2i = 1 Männer mit Hochschulabschluss D 1i = 0 und D 2i = 1 Effekt auf Lohn β 2, da D 1i D 2i = 0 22

23 Interaktion zwischen stetigen und binären Regressoren Drei Modelle (1) Y i = β 0 + β 1 X i + β 2 D i + u i : Konstante variiert o Konstante ist β 0 (D i = 0) oder β 0 + β 2 (D i = 1) (2) Y i = β 0 +β 1 X i +β 2 D i +β 3 (X i D i )+u i : Konstante u. Steigung variieren o Konstante ist β 0 (D i = 0) oder β 0 + β 2 (D i = 1) o Steigung ist β 1 (D i = 0) oder β 1 + β 3 (D i = 1) (3) Y i = β 0 + β 1 X i + β 2 (X i D i ) + u i : Steigung variiert o Steigung ist β 1 (D i = 0) oder β 1 + β 2 (D i = 1) 23

24 Interaktion zwischen zwei stetigen Regressoren Y i = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + β 3 (X 1i X 2i ) + u i Effekte von X 1 und X 2 auf Y hängen jeweils auch von X 2 bzw. X 1 ab o Y = (β 1 + β 3 X 2 ) X 1 und Y = (β 2 + β 3 X 1 ) X 2 Gleichzeitige Änderung von X 1 und X 2 Y = (β 1 + β 3 X 2 ) X 1 + (β 2 + β 3 X 1 ) X 2 + β 3 X 1 X 2 }{{} zusätzlicher Effekt 24

25 Test auf Interaktionseffekte t-signifikanztest bzgl. Interaktionsparameter, z. B. o H 0 : β 3 = 0 vs. H 1 : β 3 0 Gilt für alle besprochenen Modelle Beispiel: Interaktion von KG und PctEL (siehe Illustration) 25