Analyse von Querschnittsdaten. Spezifikation der Regressionsfunktion

Transkript

1 Analse von Querschnittsdaten Spezifikation der Regressionsfunktion

2 Warum geht es in den folgenden Sitzungen? Kontinuierliche Variablen Annahmen gegeben? kategoriale Variablen Datum Vorlesung Einführung Beispiele Forschungsdesigns & Datenstrukturen Variablen Bivariate Regression Kontrolle von Drittvariablen Multiple Regression Statistische Inferenz Signifikanztests I Signifikanztests II Spezifikation der unabhängigen Variablen Spezifikation der Regressionsfunktion Heteroskedastizität Regression mit Dumm-Variablen Logistische Regression

3 Gliederung. Definition: Linearität und Additivität. Nicht-lineare Modelle. Nicht-additive Modelle 4. Auswirkungen einer Fehlspezifikation 5. Tests auf Fehlspezifikation der funktionalen Form

4 Linearität linear: * Der Effekt der unabhängigen Variablen ist immer gleich groß, egal welchen Wert die Variable aufweist. Unabhängigkeit von der Größe von nicht-linear: () 4 5

5 Additivität Der Effekt der unabhängigen Variablen i hängt nicht davon ab, welche Werte andere unabhängige Variablen j haben. Unabhängigkeit von anderen Variablen j additiv: *,5* nicht-additiv:,5* *

6 Zusammenfassung Linear-additive Modelle implizieren kontetunabhängige Effekte! Effekte sind unabhängig von der Größe der jeweiligen unabhängigen Variablen von den Werten der anderen unabhängigen Variablen

7 Gliederung. Definition: Linearität und Additivität. Nicht-lineare Modelle a. Einige Beispiele b. Transformation in ein lineares Regressionsmodell c. Interpretation der Regressionskoeffizienten ausgewählter nicht-linearer Modelle. Nicht-additive Modelle 4. Auswirkungen einer Fehlspezifikation 5. Tests auf Fehlspezifikation der funktionalen Form

8 Polnomregression m K m u erlaubt zunehmende, abnehmende und sich umkehrende Effekte von

9 Eponentialmodell (Tp ) u ln ln ln ln ln u erlaubt zunehmende oder abnehmende Effekte entspricht Modell mit Logarithmen für > : schiefe Verteilung / Heteroskedaszität > < bei.5.5

10 Eponentialmodell (Tp ) ep( u) ln u erlaubt zunehmende oder abnehmende Effekte entspricht semi-logarithmischem Modell : schiefe Verteilung / Heteroskedaszität > < bei bei ep( ep( ) ).5.5

11 Gliederung. Definition: Linearität und Additivität. Nicht-lineare Modelle a. Einige Beispiele b. Transformation in ein lineares Regressionsmodell c. Interpretation der Regressionskoeffizienten ausgewählter nicht-linearer Modelle. Nicht-additive Modelle 4. Auswirkungen einer Fehlspezifikation 5. Tests auf Fehlspezifikation der funktionalen Form

12 Polnomregression m m m m m m m m v z z z z z z z z u Koeffizientenvergleich OLS- Schätzung mit transformierten Variablen Definiere Modell K K

13 Eponentialmodell (Tp ) * * ln Koeffizientenvergleich Schätzung mit transformierten Variablen OLS ln ln ln Definiere ln ln ln ln ln Modell v z z z z u u

14 Eponentialmodell (Tp ) * * Koeffizientenvergleich Schätzung mit transformierten Variablen OLS ln Definiere ln ) ep( Modell v u u

15 Nicht transformierbar u ln ln( u) wegen additivem Fehlerterm Alle nicht-linearen Modelle, die sich nicht durch Variablentransformation in ein linear-additives Modell (mit additivem Fehlerterm) überführen lassen, können nicht mit OLS geschätzt werden. Genauer: Alle nicht-linearen Modelle, bei denen die Optimierungsfunktion keine lineare Funktion der Regressionskoeffizienten ist, können nicht mit OLS geschätzt werden.

16 Annahmen Alle Modelle, bei denen die Optimierungsfunktion eine lineare Funktion der Regressionskoeffizienten ist, können mit OLS geschätzt werden.

17 Gliederung. Definition: Linearität und Additivität. Nicht-lineare Modelle a. Einige Beispiele b. Transformation in ein lineares Regressionsmodell c. Interpretation der Regressionskoeffizienten ausgewählter nicht-linearer Modelle. Nicht-additive Modelle 4. Auswirkungen einer Fehlspezifikation 5. Tests auf Fehlspezifikation der funktionalen Form

18 Quadratische Terme Modell Effekt Minimum / Maimum u Beispiel: ,5 ( 9) 9 4 5

19 Logarithmierte Variablen Modell a b c d Abhängig ln ln Unabhängig ln ln Interpretation % ( /)% ( ) % % a. Wenn man um eine Einheit erhöht, verändert sich um Einheiten. b. Näherungsweise (wenn <,5): Wenn man um ein Prozent erhöht, verändert sich um / Einheiten. c. Näherungsweise (wenn <,5): Wenn man um eine Einheit erhöht, verändert sich um Prozent (Semi- Elastizität). d. Wenn man um ein Prozent erhöht, verändert sich um Prozent (Elastizität).

20 Begründung der Näherungslösung ) ln (ln % : nicht zu groß ist ) Wenn die absolute Veränderung ( % Prozentuale Veränderungen werden wie folgt gemessen :

21 Gliederung. Definition: Linearität und Additivität. Nicht-lineare Modelle. Nicht-additive Modelle a. Interaktionseffekte mit kategorialen Variablen b. Interaktionseffekte mit kontinuierlichen Variablen 4. Auswirkungen einer Fehlspezifikation 5. Tests auf Fehlspezifikation der funktionalen Form

22 Interaktion mit einer kategorialen Variablen Beispiel: Bildungsrenditen nach Geschlecht income,7,7 educ,46 se,98 iakt mit iakt se educ income :Stundenlohn, simulierte Daten, n 4 Geschlechterunterschied (Niveau):, 46 Bildungseffekt (Männer) :,7 Bildungseffekt (Frauen):,7,98,9 income/fitted values Männer Frauen educ

23 Interaktion mit einer kontinuierlichen Variablen Beispiel: Bildung und Berufserfahrung wage 7,9 5, educ,7 eper,9 iakt mit iakt eper educ 7,9 5, educ (,7,9 educ) eper 7,9 (5,,9 eper) educ,7 eper R,4, n 95 (wage.dta) Effekt Eperience Education Effekt Education Eperience Effect_Eperience 4 Effect_Education Education Eperience

24 Zentrierung einfachere Interpretation deduc educ deper eper educ eper iakt deper deduc educ,46845 eper,5664 wage 975, 8, deduc 9,9 deper,9 iakt R 975, (8,,9 deper) deduc 9,9 deper 975, 8, deduc (9,9,9 deduc) deper,4, n 95 (wage.dta) 975, : Lohn bei durchschnittlicher Ausbildung (deduc) und durchschnittlicher Berufserfahrung (deper) 8, : Lohnerhöhung bei einem Jahr längerer Ausbildung für Personen mit durchschnittlicher Berufserfahrung (deper) 8,,9... für Personen mit Berufserfahrung, die ein Jahr länger als im Durchschnitt ist (deper)

25 Gliederung. Definition: Linearität und Additivität. Nicht-lineare Modelle. Nicht-additive Modelle 4. Auswirkungen einer Fehlspezifikation 5. Tests auf Fehlspezifikation der funktionalen Form

26 Verzerrung durch Unterspezifikation income educ se se educ Wenn geschlechtsspezifische Bildungsrenditen eistieren, vernachlässigt folgendes Modell eine wichtige Variable: income educ se wage educ eper eper educ Wenn die Effekte von Ausbildung und Berufserfahrung gegenseitig voneinander abhängen, vernachlässigt folgendes Modell eine wichtige Variable: educ eper wage

27 Heteroskedastizität Fehlspezifikation: Ignorierung der Geschlechterunterschiede in den Bildungsrenditen. Die Fehlerterme sind weiterhin im Mittel Null, aber die Varianz der Fehlerterme steigt mit zunehmender Bildung. income/fitted values educ residwrong educ

28 Gliederung. Definition: Linearität und Additivität. Nicht-lineare Modelle. Nicht-additive Modelle 4. Auswirkungen einer Fehlspezifikation 5. Tests auf Fehlspezifikation der funktionalen Form a. Vergleich hierarchischer Modelle (F-Test, Regression Specification Error Test von Ramse, 969) b. Vergleich nicht hierarchischer Modelle (Davidson- MacKinnon Test)

29 Wiederholung: Hierarchische Modelle Zwei Modelle A und a sind hierarchisch (nested), wenn die Parameter des Modells a eine Teilmenge der Parameter des Modells A sind. Das (restringierte) Modell a ergibt sich aus dem (nicht restringierten) Modell A, indem man für die Parameter in A lineare Restriktionen formuliert. (nicht restringiertes) Modell A: Zwei Restriktionen : ergibt (restringiertes) Modell a : und u u

30 Wiederholung: Test linearer Restriktionen mit einem F-Test (nicht restringiertes) Modell A: Zwei Restriktionen : ergibt (restringiertes) Modell a : und u u H : und H : H trifft nicht zu F ( SSR SSR r ur SSR ( n k ur ) q ) q Anzahl der Restriktionen SSRr Summe der quadrierten Residuen im restringierten Modell a SSRur Summe der quadrierten Residuen im nicht restringierten Modell k Anzahl der Regressionskoeffizienten (ohne Konstante) in Modell A n Stichprobenumfang A

31 Anwendung: Test auf Fehlspezifikation der funktionalen Form. Test auf Weglassung quadratischer, kubischer usw. Terme der -Variablen. Test auf Weglassung allgemeiner nichtlinearer Abhängigkeiten (Trick: Test auf Weglassung quadratischer, kubischer usw. Terme der Modellprognosen als -Variablen) Regression Specification Error Test (RESET) von Ramse (969)

32 Anwendung: Test auf Fehlspezifikation der funktionalen Form. Weglassung -Variablen. Weglassung Modellprognosen : ˆ ˆ ˆ Schritt : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Prognose : Schritt : H v u : H u

33 Vergleich nicht hierarchischer Modelle Nicht hierarchische Modelle: Modell B ergibt sich nicht durch lineare Parameterrestriktionen aus Modell A Modell A : u Modell B : ln ln u Test von Davidson / MacKinnon (98) weitere Einzelheiten bei WO (94-95)

34 Zum Schluss

35 Zusammenfassung Linear-additive Modelle Alternativen Folgen einer Fehlspezifikation Gegenmaßnahmen Kontetunabhängigkeit Nicht-lineare Funktionen Interaktionseffekte Verzerrungen Heteroskedastizität Theorie Spezifikationstests

36 Wichtige Fachausdrücke Deutsch Englisch Deutsch Englisch linear-additives Modell linear-additive model restringiertes Modell restricted model nicht-lineares Modell non-linear model nicht restringiertes Modell unrestricted model Interaktionseffekt interaction effect Restriktion restriction hierarchisches Modell nested model Spezifikationstest specification test

37 Weiterführende Literatur Berr / Feldman 985 Kapitel 5 (BF 5-7): Fehlspezifikation der funktionalen Form gewidmet Wooldridge () Anhang A.4 (WO ): mathematische Grundlagen quadratischer, logarithmischer und eponentieller Funktionen Abschnitt 6. (WO 87-96): Überblick über nicht-lineare Funktionen und die Modellierung nicht-additiver Effekte mit Interaktionen unabhängiger Variablen. Abschnitt 7.4 (WO -4): Interaktionseffekte mit kategorialen Variablen (die Verwendung von Dumm-Variablen besprechen wir ausführlich in der übernächsten Sitzung) Abschnitt 9. (WO 89-95): Tests auf Fehlspezifikation der funktionalen Form

38 Stata-Befehle Nach der Eingabe des Regressionskommandos reg kann man mit weiteren Befehlen zusätzliche (Test-)Ergebnisse abrufen predict hat, b ovtest ovtest, rhs Berechnung der Regressionsprognosen und Abspeicherung in einer neuen Variablen Test auf Fehlspezifikation der funktionalen Form (RESET nach Ramse) mithilfe von Polnomen der Regressionsprognosen Test auf Fehlspezifikation der funktionalen Form (RESET nach Ramse) mithilfe von Polnomen der -Variablen