Hierarchische lineare Modelle: Mehrebenenmodelle

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1 Hierarchische lineare Modelle: Mehrebenenmodelle Eine erste Einführung in grundsätzliche Überlegungen und Vorgehensweisen Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 1

2 Inhaltsübersicht 1 Problemlage 2 Beispieldatensatz 3 Auswertungsalternativen Auswertung der Einzeldaten Auswertung gemittelter Daten Auswertung mittels HLM Mehrebenen-Modell 4 Fazit und Ausblick Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 2

3 1 Problemlage Voraussetzung der meisten statistischen Verfahren: Unabhängigkeit der Probanden Statistische Verfahren sind i. d. R. nicht robust gegen Verletzungen der Unabhängigkeitsvoraussetzung Grundannahme der Unabhängigkeit ist in typischen Anwendungssituationen verletzt, zum Beispiel... Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 3

4 1 Problemlage Beispiel 1: Beschäftigte in Abteilungen Level 2: Abteilungen Bauabteilung Mechanik Außendienst Level 1: Beschäftigte Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 4

5 1 Problemlage Beispiel 2: Schüler in Klassen Level 2: Klassen (jeweils 5. Klasse) Klasse A (n=18) Klasse B (n=30) Klasse C (n=25) Level 1: Schüler Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 5

6 1 Problemlage Beispiel 3: Längsschnittdaten Level 2: Proband Level 2-Prädiktoren z.b. Alter, Intelligenz Level 1: Messzeitpunkt Level 1-Prädiktor z.b. Aufgabenkomplexität Kriterium z.b. Lösungsqualität Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 6

7 1 Problemlage hierarchische Datenstrukturen Daten auf mehreren hierarchisch geordneten Ebenen Einheiten innerhalb aller Ebenen klar definiert und beobachtbar Jede Einheit einer niedrigeren Ebene ist eindeutig einer Einheit der übergeordneten Ebene zuzuordnen Gruppen der unterschiedlichen Level können unterschiedlich groß sein Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 7

8 1 Problemlage hierarchische Datenstrukturen Kriterium wird auf der untersten Ebene (Level 1) gemessen (d.h. i.d.r. bei jedem einzelnen Probanden) Prädiktoren werden auf allen Ebenen / in allen Levels erhoben Problem: Beobachtungen innerhalb einzelner Gruppen der übergeordneten Levels sind eventuell nicht unabhängig voneinander, ähneln sich stärker als zwischen den Gruppen (gemeinsame Bedingungen, Gruppeneffekte,...) Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 8

9 2 Denkbare Lösungsansätze Auswertung gemittelter Daten Problem: Informationsverluste, Teststärkeverluste Auswertung der Einzeldaten Problem: verletzte Voraussetzung Mehrebenen-Modellierung Problemangepasstes Vorgehen Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 9

10 2.1 Auswertung gemittelter Daten Auswertung gemittelter Daten ohne explizite Berücksichtigung der hierarchischen Datenstruktur ungünstig wegen Reduzierung der Stichprobengröße auf die Anzahl der Tätigkeiten (Anzahl der Level 2- Einheiten)... undifferenzierter Einbeziehung unterschiedlicher (in Größe, Varianz usw.) Tätigkeiten (Level 2-Einheiten) Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 10

11 2.2 Auswertung der Einzeldaten Auswertung der Einzeldaten ohne explizite Berücksichtigung der hierarchischen Datenstruktur ungünstig wegen Verletzung der Voraussetzung der Unabhängigkeit... künstlicher Vervielfältigung der Level 2- Prädiktoren, indem jedem Probanden (Level 1) der jeweilige Wert der Tätigkeit (Level 2) zugewiesen wird (besonders problematisch bei ungleich großen Level 2-Einheiten) Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 11

12 2.2 Auswertung der Einzeldaten Beispiel zur Illustration möglicher Auswirkungen bei Verletzung der Unabhängigkeitsvoraussetzung. Untersuchung des Zusammenhanges von UV: Verantwortung und AV: Arbeitszufriedenheit an Daten aus 3 Firmen Beispiel aus Eid, Gollwitzer & Schmitt (2010). Statistik und Forschungsmethoden, Kapitel 19. Weinheim: Beltz Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 12

13 2.2 Auswertung der Einzeldaten Ökologischer Fehlschluss: Fälschliche Interpretation eines Zusammenhanges bzw. eines Effekts, der auf der Ebene von Gruppen (Level-2-Einheiten) gefunden wurde, auf der Ebene von Individuen! Vgl. Eid, Gollwitzer & Schmitt (2010). Statistik und Forschungsmethoden, Kapitel 19. Weinheim: Beltz Ergebnis bei Annahme der Unabhängigkeit: negativer Zusammenhang! Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 13

14 2.2 Auswertung der Einzeldaten Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 14

15 2.3 ICC und Fehlerkomponenten Beurteilung des Ausmaßes der Nicht-Unabhängigkeit durch systematische Level-2-Unterschiede: Intraklassen-Korrelation (intraclass correlation ICC): 2 2 Level 2 Level gesamt Level 2 Level 1 Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 15

16 2.3 ICC und Fehlerkomponenten s Heuristische Illustration des ICC am Mini-Beispiel (keine korrekte Schätzung!): s 2 Y y 8.2 y 6.2 y 2.2 Firma A 2 Firma A s Firma B 2 Firma B 1.76 FirmaC 2 FirmaC Y Y innerhalb Firmen s 0.56 s s 7.18 s s Level 2 Level gesamt Level 2 Level 1 s 2 Y 2 innerhalb Firmen Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 16

17 2.3 ICC und Fehlerkomponenten Weitergehende (heuristische) Fehlerkomponentenalalyse: Berechnung von 3 firmenspezifische Regressionsgleichungen (Y: Arbeitszufriedenheit; X: Verantwortung): Firma A: y ma = x ma + r ma (m=1,,5) Firma B: y mb = x mb + r mb (m=1,,5) Firma C: y mc = x mc + r mc (m=1,,5) Level-1-Residuen: r ma,r mb, r mc (m=1,,5) mit r y y mi mi mi Varianz der Level-1-Residuen: Level-1-Varianz s 2 r Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 17

18 2.3 ICC und Fehlerkomponenten Weitergehende (heuristische) Fehlerkomponentenanalyse: Variabilität der Regressionskonstanten b 0 auf Ebene 2 b 0A = 7.24, b 0B = -0.05, b 0C = 1.04 b Variabilität der Regressionskoeffizienten b 1 auf Ebene 2 b 1A = 0.37, b 1B = 1.25, b 1C = 0.15 b Level-2-Residuen: u 0A, u 0B, u 0C mit Level-2-Residuen: u 1A, u 1B, u 1C mit u b b u b b 0i 0i 0 1i 1i 1 Varianz der Level-2-Residuen : Level-2-Varianz s 2 u 0 Varianz der Level-2-Residuen : Level-2-Varianz s 2 u 1 Kovarianz der Level-2-Residuen: Level-2-Kovarianz s u0 u 1 Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 18

19 2.4 2-Ebenen-Beispieldatensatz Level 1: 100 Beschäftigte Kriterium: Leistung Prädiktor: Motivation Level 2: 10 unterschiedliche Tätigkeiten Prädiktor: Profil der Tätigkeit (Freiheitsgrade) Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 19

20 2.4 2-Ebenen-Beispieldatensatz Level 1-Daten: Level 2-Daten: Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 20

21 2.4 2-Ebenen-Beispieldatensatz Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 21

22 2.4 2-Ebenen-Beispieldatensatz Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 22

23 2.5. Mehrebenenmodell Anforderungen an ein Mehrebenenmodell im Beispiel: Modellierung der individuellen Leistungswerte in Abhängigkeit von der individuellen Motivation (Regressionskoeffizienten tätigkeitsabhängig). Modellierung der unterschiedlichen Regressionskonstanten unter den Level- 2-Stufen (Tätigkeiten) durch die unterschiedlichen Tätigkeitsprofile (Level 2- Prädiktor). Modellierung der unterschiedlichen Regressionsanstiege (d.h. der unterschiedlichen Abhängigkeiten von Motivation und Leistung) unter den Level-2-Stufen (Tätigkeiten) durch die unterschiedlichen Tätigkeitsprofile (Level 2-Prädiktor). Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 23

24 2.5. Mehrebenenmodell Level 2: Tätigkeits-Profil Fehlerkomponenten Level 2 Level 1: Motivation Leistung Fehler Level 1 Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 24

25 2.5. Mehrebenenmodell Level 1-Regressionsgleichung y ij = b 0j + b 1j x ij + r ij (i=1,...,n j, j=1,...,p)) bzw. Leistung ij = b 0j + b 1j Motivation ij + r ij y ij : Kriteriumswert des i-ten Pb unter j-ter L. 2-Stufe b 0j : Regressionskonstante unter j-ter Level 2-Stufe b 1j : Regressionskoeffizient unter j-ter Level 2-Stufe x ij : Prädiktorwert des i-ten Pb unter j-ter Level 2-Stufe r ij : Fehlerterm des i-ten Pb unter j-ter Level 2-Stufe p: Anzahl der Level 2-Stufen n j : Anzahl der Pb unter j-ter Level 2-Stufe Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 25

26 2.5. Mehrebenenmodell Level 2-Regressionsgleichung Level 1-Gleichung (1 Level 1-Prädiktor): y ij = b 0j + b 1j x ij + r ij bzw. Leistung ij = b 0j + b 1j Motivation ij + r ij Level 2-Gleichungen (1 Level 2-Prädiktor): b 0j = g 00 + g 01 z j + u 0j bzw. b 0j = g 00 + g 01 Profil j + u 0j b 1j = g 10 + g 11 z j + u 1j bzw. b 1j = g 10 + g 11 Profil j + u 1j z j : Level 2-Prädiktor unter j-ter Stufe b 0j, b 1j : gruppenspezifische Level 1-Regr.-koeff. g 00, g 01, g 10, g 11 : Level 2-Regressionskoeffizienten u 0j : gruppenspezifische Fehlerkomponente von b 0j u 1J : gruppenspezifische Fehlerkomponente von b 1j Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 26

27 2.5. Mehrebenenmodell z j : Profil u 1j : Fehler Level 2 u 0j : Fehler Level 2 g 01 g 11 x ij : Motivation b 1j r ij : Fehler Level 1 1: Konstante b 0j y ij : Leistung Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 27

28 2.5. Mehrebenenmodell Ergebnisse im Beispiel Level 1-Gleichung: Leistung ij = b 0j + b 1j Motivation ij + r ij Level 2-Gleichungen: b 0j = Profil j + u 0j b 1j = Profil j + u 1j Varianz(u 0 ) nicht signifikant Varianz(u 1 ) nicht signifikant Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 28

29 Literatur und Software Ausgewählte Literatur: Petrenz, M. (2016): Möglichkeiten der Umsetzung von Hierarchischen Linearen Modellen in SPSS im Kontext der Blickbewegungsforschung. Masterarbeit, TU Dresden, Studiengang Psychologie: HPSTS Raudenbush, S.W. & Bryk, A.S. (2002). Hierarchical Linear Models. Applications and Data Analysis Methods (Second Edition). Thousand Oakes: Sage. Heck, R.H. & Scott, T.L. (2009). An Introduction to Multilevel Modeling Techniques. New York: Routledge. Eid, M., Gollwitzer, M. & Schmitt, M. (2010). Statistik und Forschungsmethoden, Kapitel 19. Weinheim: Beltz. Hox, J.J. (2010). Multilevel Analysis: Techniques and Applications. Taylor & Francis. Luke, Douglas,A. (2004). Multilevel Modeling. Thousand Oakes: Sage. Software: HLM, SPSS, Mplus, Stata, R u.a. Dr. Matthias Rudolf: M3 Multivariate Statistik Vorlesung Einführung HLM Folie Nr. 29