Vorlesung: Multivariate Statistik für Psychologen

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1 Vorlesung: Multivariate Statistik für Psychologen 10. Vorlesung: Agenda 3. Multivariate Varianzanalyse i. Einführung in die multivariate Variananalyse Grundidee und Ziele der MANOVA Beispiele ii. Uni- vs. multivariate Varianzanalyse Vergleich der Verfahren Fragestellungen der MANOVA iii. Statistisches Modell Datensituation Effekte einzelner abhängiger Variablen vs. Effekte der Linearkombinationen iv. Hypothesentestung v. Varianzzerlegung 2

2 Einführung in die multivariate Varianzanalyse I Ziel Zusammenhang zwischen Gruppenzugehörigkeit einer Person und dem Erwartungswert der Person auf mehreren abhängigen Variablen einfacher: Unterschiede im Mittelwert mehrerer abhängiger Variablen bei verschiedenen Gruppen Aussage: Unterschiede der Gruppen hinsichtlich der abhängigen Variablen Y 1,, Y p? welche Gruppen unterscheiden sich (auf welchen abhängigen Variablen)? Einschränkungen keine kausalen Aussagen (Unterschiede w e g e n Gruppenzugehörigkeit) keine Differenzierung innerhalb der Gruppen keine Aussagen über Art, Größe und Richtung der Gruppenunterschiede 3 Einführung in die multivariate Varianzanalyse II Unterscheidung univariate vs. multivariate Varianzanalys univariat: Einfluss einzelner oder mehrerer Prädiktoren auf eine abhängige Variable (Gruppenunterschiede im Mittelwert bei einer abhängigen Variable) multivariat: Einfluss einzelner oder mehrerer Prädiktoren auf mehrere einzelne abhängige Variablen oder auf ein mehreren abhängigen Variablen zugrunde liegendem Konstrukt Konstruktbegriff psychologische Merkmale, die nicht (oder nur sehr grob) durch einzelne Variablen operationalisierbar sind Beschreibung durch mehrere Indikatorvariablen; Abbildung des Konstrukts durch "Gemeinsames" der Variablen Beispiele für psychologische Konstrukte: Angst, Neugier, Offenheit, Qualität der Lehre, Intelligenz 4

3 Einführung in die multivariate Varianzanalyse III Beispielfragestellungen für multivariate Varianzanalyse Beispiel 1: Wirksamkeit von Therapien (einfaktorielle MANOVA) Einfluss verschiedener Interventionen auf Ängstlichkeit klinischer Angstpatienten Angst operationalisiert durch kognitive, behaviorale und emotionale Aspekte Beispiel 2: Werbewirksamkeit (einfaktorielle MANOVA) Auswirkungen verschiedener Werbekampagnen auf Interesse der Kunden Interesse operationalisiert durch Sichtbarkeit der Marken, Bekanntheit der Marke, Beeinflussung der Kaufentscheidung Beispiel 3: Einfluss des sozioökonomischen Hintergrunds auf Spracherwerb (mehrfaktorielle MANOVA) Einfluss des sozio-ökonomischen Hintergrunds der Eltern auf verbale Ausdrucksfähigkeit der Kinder Faktoren: SES des Vaters (Unter- vs. Mittel- vs. Oberschicht), SES der Mutter verbale Ausdrucksfähigkeit der Kinder operationalisiert durch a) Satzlängen, b) Vielfalt der Wortwahl, c) Komplexität der Satzkonstruktionen Uni- vs. multivariate Varianzanalyse I Alternative Vorgehensweisen zur Analyse multivariater Fragestellungen Alternative 1: mehrere univariate Varianzanalysen Einzelanalyse aller abhängigen Variablen auf Unterschiede der Gruppenmittelwerte Nullhypothese: µ 11 = µ 21= µ 31 µ 12 = µ 22 = µ 32 µ 13 = µ 23 = µ 33 Vorteile: Interpretierbarkeit, einfache Durchführung Nachteile: kumulierter Alpha-Fehler, keine Betrachtung der Effekte auf Konstrukt Alternative 1b: mehrere ANOVAs mit Kontrolle des Alpha-Fehlers ANOVA mit Bonferroni-Korrektur Vorteile: kein kumulierter Alpha-Fehler Nachteil: Verlust an Teststärke 6

4 Uni- vs. multivariate Varianzanalyse II Alternative Vorgehensweisen zur Analyse multivariater Fragestellungen Alternative 2: multivariate Varianzanalyse simultane Analyse aller abhängigen Variablen auf Gruppenunterschiede Nullhypothese: µ 11 µ 21 µ 31 µ 12 µ 22 µ = = 32 µ 13 µ 23 µ 33 Vorteile: gleichzeitiger Vergleich aller abhängigen Variablen (kein kumulierter Alpha-Fehler); Berücksichtigung der Zusammenhänge zwischen abhängigen Variablen Nachteile: schwierige Durchführung und Interpretation; Notwendigkeit von Folgetests Uni- vs. multivariate Varianzanalyse III Berücksichtigung von Zusammenhängen zwischen abhängigen Variablen ANOVA: keine Berücksichtigung der gemeinsamen Effekte bei theoretischer Überlappung von abhängigen Variablen Überidentifizierung von Effekten MANOVA: Effekte der Faktoren auf "System von Variablen" Gruppenunterschiede bei zugrunde liegenden Konstrukten (kombinierte Unterschiede) Gruppenunterschiede bei Linearkombinationen von abhängigen Variablen (Informationsausschöpfung) 8

5 Uni- vs. multivariate Varianzanalyse IV Fragestellungen der multivariaten Varianzanalyse Multiple Univariate Fragestellung Set von einzelnen abhängigen Variablen, die kein gemeinsames Konstrukt bilden Ziel: Kontrolle des Gesamt-Alpha-Fehlers der Analyse Vorgehen: MANOVA, folgende Einzelvergleiche mittels ANOVA Strukturierte Univariate Fragestellung mehrere abhängige Variablen mit spezifischer Struktur (z.b. Messwiederholung) Ziel: Berücksichtigung der Abhängigkeit der Messungen Vorgehen: MANOVA mit Messwiederholung; Post-hoc Tests "Intrinsische" Multivariate Fragestellung Set von miteinander zusammenhängenden abhängigen Variablen Ziel: Gruppenunterschiede auf Konstruktvariable; Treatmenteffekte der einzelnen abhängigen Variablen nachrangig gegenüber "kollektiven" Effekten Vorgehen: MANOVA, Post-hoc Tests 9 Statistisches Modell der MANOVA I Datensituation abhängige Variable Vektor der Personenwerte Abbildung mehrerer abhängiger Variablen pro Person Indizes: i = Versuchsperson 1 n j = Gruppe (Faktorstufe) 1 k q = abhängige Variable 1 p y ij Yij1 Yij2 = Y ijp Vektor der Gruppenmittelwerte Abbildung mehrerer abhängiger Variablen für Gesamtgruppe Indizes: + = (Mittelwert) über alle Pers. i der Gruppe j j = Gruppe (Faktorstufe) 1 k q = abhängige Variable 1 p y + j Y+ j1 Y+ j 2 = Y + jp 10

6 Statistisches Modell der MANOVA II Datensituation (Fortsetzung) abhängige Variable (Fortsetzung) Vektor der Gesamtmittelwerte Abbildung mehrerer abhängiger Variablen über alle Gruppen Indizes: i = (Mittelwert) über alle Pers. i der Gruppe j y j = (Mittelwert) über alle Gruppen j q = abhängige Variable 1 p inhaltliche Fragestellung der MANOVA Unterschiede der Mittelwertsvektoren der Gruppen (untereinander bzw. vom Gesamtmittelwertsvektor) im Verhältnis zu Unterschieden der Personenvektoren innerhalb der Gruppen/Faktorstufen ++ Y++ 1 Y = ++ 2 Y ++ p 11 Statistisches Modell der MANOVA III Effekte einzelner abhängiger Variablen vs. Effekte von Linearkombinationen Fragestellung 1 der MANOVA: Unterschiede zwischen mindestens zwei Gruppen auf mindestens einer der abhängigen Variablen Fragestellung 2 der MANOVA: Unterschiede zwischen mindestens zwei Gruppen auf einer Linearkombination der abhängigen Variablen Linearkombinationen von Variablen inhaltliche Interpretation: Bildung einer neuen Variablen (technisch: Eigenvektor) als gewichtete Summe der ursprünglichen Variablen Darstellung der maximalen Unterschiedlichkeit der Gruppen 12

7 Statistisches Modell der MANOVA IV graphische Veranschaulichung von Linearkombinationen Beispiel: 2 abhängige Variablen, 2 Gruppen (dargestellt durch rot vs. grün) Variable Variable 1 13 Statistisches Modell der MANOVA V graphische Veranschaulichung von Linearkombinationen Beispiel: 2 abhängige Variablen, 3 Gruppen (rot vs. grün vs. blau) Variable Variable 1 14

8 Statistisches Modell der MANOVA VI Linearkombinationen von Variablen (Fortsetzung) Berechnung einer Linearkombination (Eigenvektorbildung) Bildung eines Gesamtscores pro Person als gewichtete Summe der Messwerte der Person auf allen abhängigen Variablen Berechnung: Cij = w1 Yij1 + w 2 Yij wq Yijq Legende: C ij gewichteter Gesamtscore der Person i aus Gruppe j w 1 w q Gewichtungsfaktor für abhängige Variablen 1,, q Y ijq Wert der Person i aus Gruppe j auf der abhängigen Variablen q Schätzung der Gewichtungsfaktoren ein Gewichtungsfaktor pro abhängiger Variable (gleich für alle Personen aller Gruppen) Kriterium zur Bestimmung der Gewichtungsfaktoren: Maximierung der Gruppenunterschiede (maximale Zwischengruppenvarianz bei minimaler Innergruppenvarianz) 1 Statistisches Modell der MANOVA VII Linearkombinationen von Variablen (Fortsetzung) Interpretation der Linearkombination "Kunstvariable" als Gemeinsames aller abhängiger Variablen (Konstrukt), welches die Gruppenunterschiede maximiert keine "Generierung" nicht vorhandener Unterschiede der Gruppen, sondern "Sichtbarmachung" mittelbarer Gruppenunterschiede Frage nach Beitrag der einzelnen abhängigen Variablen zur gebildeten Linearkombination unterschiedliche Gewichtung der abhängigen Variablen in neuer Variable Beitrag der einzelnen Ursprungsvariablen ermittelbar über Diskriminanzanalyse (siehe Folgetests zur MANOVA) Beispiele zur Linearkombination zwei abhängige Variablen: sprachliche Intelligenz (Y 1 ), emotionale Intelligenz (Y 2 ) Faktor: Geschlecht (weiblich vs. männlich) 16

9 Statistisches Modell der MANOVA VIII Beispiel 1 zur Linearkombination: keine Gruppenunterschiede vorhanden Originaldaten 3 weiblich männlich Y 1 Y 2 Y 1 Y 2 Mittelwert 8 8 Linearkombination (ungewichtet) Y * = Y 1 + Y Mittelwert Linearkombination (gewichtet) Y * = Y Y Mittelwert Statistisches Modell der MANOVA IX Beispiel 2 zur Linearkombination: Gruppenunterschiede vorhanden Originaldaten 3 weiblich männlich Y 1 Y 2 Y 1 Y 2 Mittelwert 8 6 Linearkombination (ungewichtet) Y * = Y 1 + Y Mittelwert Linearkombination (gewichtet) Y * = Y Y Mittelwert

10 Hypothesentestung bei der MANOVA I Fragestellung der MANOVA Unterschiede der Mittelwertsvektoren der Gruppen im Verhältnis zu Unterschieden der Personenvektoren innerhalb der Gruppen/Faktorstufen Vektor der Erwartungswerte (Mittelwertsvektor) µ + j1 der p abhängigen Variablen in Gruppe j (über alle Personen der i der Gruppe) µ + j 2 µ j = µ + jp Nullhypothese Gleichheit der Mittelwertsvektoren aller abhängigen Variablen 1,, p über alle j Gruppen µ µ + 11 µ j1 µ 12 µ µ + j 2 H 0: µ 1 = µ 2= = µ j = = = µ + 1p µ + 2p µ + jp 19 Hypothesentestung bei der MANOVA II Nullhypothese (Fortsetzung) Bedeutung der Nullhypothese Gleichheit der Mittelwertsvektoren der Gruppen = Gleichheit der Mittelwerte i n n e r h a l b der einzelnen Variablen über alle Gruppe Vorsicht: keine Hypothesen über Zusammenhänge der Variablen untereinander!! Beispiel: Gleichheit der Mittelwertsvektoren mit 3 abhängigen Variablen bei 2 Gruppen µ + 11 µ + 21 H 0: µ + 12 = µ + 22 µ µ µ + 11 µ µ µ = µ + 13 µ µ µ = µ µ = µ µ =

11 Hypothesentestung bei der MANOVA III Alternativhypothese Unterschiede der Mittelwertsvektoren aller abhängigen Variablen zwischen den Gruppen Bedeutung der Alternativhypothese Unterschiede zwischen mindestens zwei Gruppen auf mindestens einer abhängigen Variablen (oder auf einer Linearkombination der abhängigen Variablen) Problem: keine Informationen bei welcher/n abhängigen Variable/n (oder Linearkombination) Unterschiede auftreten welche Gruppen sich auf dieser unterscheiden Richtung und Größe dieser Unterschiede Notwendigkeit von Folgeanalysen (Post-hoc Tests) 21 Varianzzerlegung bei der MANOVA I Analyse der Varianzen Unterschiede der Mittelwertsvektoren aller abhängigen Variablen der Gruppen analysiert durch Varianz der Mittelwertsvektoren der verschiedenen Gruppen (Abweichungen der Gruppenmittelwertsvektoren vom Gesamtmittelwertsvektor) als Effekt der Faktoren Varianz der Personenvektoren innerhalb der Gruppen (Abweichungen der Personenvektoren vom jeweiligen Gruppenmittelwertsvektor) Berücksichtigung der Korrelationen zwischen den abhängigen Variablen formale Darstellung Schätzung der "wahren" Varianz-Kovarianz-Matrix in der Population über Variabilität der Gruppenmittelwertsvektoren um den Gesamtmittelwertsvektor (Zwischengruppen-Varianz-Kovarianz-Matrix) Innergruppen-Varianz-Kovarianz-Matrizen 22

12 Varianzzerlegung bei der MANOVA II Analyse der Varianzen (Fortsetzung) formale Darstellung (Fortsetzung) Schätzung der "wahren" Varianz-Kovarianz-Matrix der abhängigen Variablen in der Population über Variabilität der Gruppenmittelwertsvektoren um den Gesamtmittelwertsvektor (Zwischengruppen-Varianz-Kovarianz-Matrix) Innergruppen-Varianz-Kovarianz-Matrizen Nullhypothese: Populations-Varianz-Kovarianz-Matrix gleich gut vorhersagbar durch beide Schätzer Alternativhypothese: Populations-Varianz-Kovarianz-Matrix besser vorhersagbar durch Zwischengruppen-Varianz-Kovarianz-Matrix 23 Varianzzerlegung bei der MANOVA III Betrachtung von Varianzen und Kovarianzen Zusammenhänge der abhängigen Variablen untereinander berücksichtigt durch Faktor erklärte Varianz der einzelnen abhängigen Variablen: Varianzen ohne Berücksichtigung der Zusammenhänge der abhängigen Variablen Überschätzung der durch Faktor erklärten Varianz durch Faktor erklärte gemeinsame Varianz aller abhängigen Variablen: Kovarianzen Varianzzerlegung / Quadratsummenzerlegung Gesamtquadratsumme Quadratsumme der abhängigen Variablen Abweichung aller Personenvektoren vom Gesamtmittelwertsvektor SSCP TO bzw. Matrix T (Sum of Squares and Cross Products) 24

13 Varianzzerlegung bei der MANOVA IV Varianzzerlegung / Quadratsummenzerlegung Treatmentquadratsumme Zwischengruppen- bzw. systematische Effekte Abweichung der Gruppenmittelwertsvektoren vom Gesamtmittelwertsvektor (pro Person) SSCP BG bzw. Matrix B Fehlerquadratsumme Innergruppen- bzw. unsystematische Effekte (im Sinne der Faktoren) Abweichung der Personenvektoren vom Mittelwertsvektor der jeweiligen Gruppe SSCP WG bzw. Matrix W Additivität der Varianzen / Quadratsummen Quadratsummen der systematischen und unsystematischen Effekte ergeben Gesamtquadratsumme SSCP TO = SSCP BG + SSCP WG bzw. T = B + W 2 Ausblick Multivariate Varianzanalyse Multivariate Prüfgrößen Prüfgrößen bei der MANOVA Exkurs: Eigenwerte und Eigenvektoren Kriterien zur Auswahl der Multivariaten Prüfgrößen Folgetests bei der MANOVA Annahmen und Voraussetzungen der MANOVA Beispielanalyse Inhaltliche Fragestellung und Auswertung Berechnung in SPSS 26