V A R I A N Z A N A L Y S E

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1 V A R I A N Z A N A L Y S E Ziel / Funktion: statistische Beurteilung des Einflusses von nominal skalierten (kategorialen) Faktoren auf intervallskalierte abhängige Variablen Vorteil: die Wirkung von mehreren, mehrfach gestuften Faktoren und deren Wechselwirkungen können simultan betrachtet werden Verfahren * einfaktorielle Analysen * mehrfaktorielle Analysen * Kovarianzanalysen * multivariate Varianzanalysen * Varianzanalysen mit Messwiederholungen Hypothesen Bei mehr als zwei Gruppen müssen Unterschiede mit Post-Hoc-Tests näher untersucht werden! Modell Werte der einzelnen Probanden: 1

2 Voraussetzungen 1. Unabhängigkeit der Residuen voneinander Die Abweichungen der einzelnen Probanden vom Mittelwert ihrer Gruppe müssen unabhängig von den Abweichungen der anderen Probanden sein. 2. Homogenität der Varianzen der Residuen zwischen den Gruppen Die Varianzen der Residuen unter den einzelnen Faktorstufen, die den Varianzen der abhängigen Variablen unter den einzelnen Faktorstufen entsprechen, müssen homogen sein. Levene-Test 3. Normalverteilung der Residuen innerhalb der Gruppen Entspricht der Voraussetzung der Normalverteilung der abhängigen Variablen unter den einzelnen Faktorstufen. Kolmogorov-Smirnov-Test Empfehlungen Die Varianzanalyse hat eine größere Robustheit bei gleich großen Stichproben unter allen Faktorstufen (Versuchsplanung). Bei gegebener Varianzhomogenität (kann bei Stichproben n i < 10 nicht hinreichend geprüft werden) ist die Varianzanalyse relativ robust gegen Verletzungen der Normalverteilungsvoraussetzung. Bei Verletzung der Varianzhomogenität oder bei kleinen Stichproben empfiehlt sich die Anwendung der robusten Verfahren nach Brown-Forsythe bzw. Welch (nur für einfaktorielle Varianzanalyse). Bei kleinen Stichproben oder bei extrem asymmetrischen Verteilungen empfiehlt sich die Verwendung eines strengeren Signifikanzniveaus oder der nichtparametrischen Varianzanalyse (Kruskal-Wallis-Test). 2

3 Quadratsummenzerlegung Beispiel Beruf: 1 = Versicherungsvertreter 2 = Lehrer 3= Programmierer Maßzahlen der Kommunikationsfähigkeit zum ersten Messzeitpunkt QS total = QS Faktor + QS Fehler = 74, ,88 = 126,96 3

4 Varianzschätzungen Erklärter Varianzanteil, der auf die Faktorstufen zurückzuführen ist k = Anzahl der Faktorstufen Im Beispiel: 74,08 / (3-1) = 74,08 / 2 = 37,04 Fehlervarianz k = Anzahl der Faktorstufen N = Anzahl der Probanden Im Beispiel: 52,88 / (24-3) = 52,88 / 21 = 2,52 Signifikanztest Im Beispiel ergibt sich ein sehr signifikanter (p <.01) F-Wert F = 14.7, d.h. die statistische Nullhypothese ist abzulehnen. Effektgröße Eta-Quadrat entspricht R-Quadrat! * nimmt Werte zwischen 0 und 1 an * unabhängig vom Stichprobenumfang Anwendungsbeispiel: 74,08 / 126,96 =.58 58% der Varianz der Variablen Kommunikation (der totalen Quadratsumme) kann durch die unterschiedlichen Berufe erklärt werden. 4

5 Einfaktorielle Varianzanalyse - Allgemeines Lineares Modell (ALM) In SPSS wird die ANOVA nicht nach dem QS-Prinzip gerechnet, sondern nach dem Allgemeinen linearen Modell, das wir aus der Regressionsanalyse kennen. Mit dem Allgemeinen linearen Modell können die Verfahren der Varianz- und der Regressionsanalyse übergreifend dargestellt und bearbeitet werden. Unabhängige Variablen bzw. Faktoren der Varianzanalyse werden in den Regressionsansatz integriert. Nominal skalierte varianzanalytische Faktoren werden durch Indikatorvariablen codiert, deren Anzahl sich aus der Anzahl der Stufen des jeweiligen Faktors ergibt und die die Information der jeweiligen Faktorvariablen vollständig enthalten. Indikatorvariablen werden in die regressionsanalytischen Verfahren eingeschlossen, so dass die simultane Berücksichtigung von intervallskalierten und nominalskalierten Merkmalen sowie deren Wechselwirkungen möglich ist. Codierung Um alle Informationen des Faktors aufzunehmen, sind bei k Faktorstufen k 1 orthogonale, d.h. unabhängige Codiervariablen zu erzeugen. 5

6 Einfaktorielle Varianzanalyse - Multiple Regression mit Codiervariablen Alternativ zum Fisher'schen Ansatz der Varianzzerlegung werden bei der Durchführung der einfaktoriellen Varianzanalyse mit den Methoden des Allgemeinen linearen Modells die beiden Codiervariablen ce1 und ce2 im Anwendungsbeispiel als Prädiktorvariablen in einer multiplen Regressionsanalyse mit der Kriteriumsvariablen Kommunikationsfähigkeit verwendet. 6

7 Post-Hoc-Tests und Lineare Kontraste A priori - Einzelvergleichshypothesen werden bereits in der Planungsphase einer Untersuchung aufgestellt. spezifizieren die Erwartung darüber, in welcher Weise die zu erwartenden globalen Effekte auf einzelne Faktorstufen zurückzuführen sind. Anwendungsbeispiel Kommunikationsfähigkeit ist bei Lehrern und bei Versicherungsvertretern stärker ausgeprägt als bei Programmierern. Ein signifikanter Einfluss des Faktors Beruf müsste dann auf diesen Unterschied zurückzuführen sein, während zwischen Lehrern und Versicherungsvertretern kein Unterschied vermutet wird. Überprüfung: Mittelwert von Lehrern und Versicherungsvertretern wird mit dem Mittelwert der Programmierer verglichen. Umsetzung: Einzelvergleiche auf der Basis linearer Kontraste oder t-tests A posteriori - Mehrfachvergleiche wenn vor der Untersuchung keine begründeten Hypothesen über die konkret erwarteten Unterschiede bzw. Effekte aufgestellt werden können. Es werden Post-Hoc-Tests werden angewendet, die bei Kontrolle des multiplen α -Fehler-Niveaus paarweise alle Mittelwerte vergleichen. 7

8 Einfaktorielle ANOVA: Anwendungsbeispiel Kommunikationstraining Link zum Datensatz Kommunikationstraining.sav Analysieren Allgemeines Lineares Modell Univariat wird nicht signifikant (p>.05) Bestätigung der Nullhypothese F-Wert ist signifikant Eta-Quadrat ist signifikant von Null verschieden UV1 Beruf klärt 58,4% der Varianz im Kriterium Kommunikation auf. 8

9 Post-Hoc-Tests Beruf Lehrer und Versicherungsvertreter unterscheiden sich im Hinblick auf ihre Kommunikationsfähigkeiten nicht voneinander, aber beide unterscheiden sich von den Programmierern. Homogene Untergruppen Effektkodierung 9

10 Zweifaktorielle Varianzanalyse Modell Voraussetzungen analog zur einfaktoriellen Varianzanalyse Voraussetzungen der Normalverteilung und der Varianzhomogenität beziehen sich auf die Zellen des Versuchsplanes Wichtig: gleich große Zellenbesetzungen! Statistische Hypothesen 10

11 Varianzzerlegung Anwendungsbeispiel Im Gegensatz zur einfaktoriellen Varianzanalyse kann die Faktorquadratsumme weiter auf die Haupt- und Wechselwirkungseffekte aufgespaltet werden: Anwendungsbeispiel 11

12 Anwendungsbeispiel Gesamt Varianzschätzungen 12

13 Signifikanzprüfung nach Fisher Effektgröße 13

14 Zweifaktorielle Varianzanalyse - Allgemeines Lineares Modell (ALM) Haupteffekt uv2 Geschlecht und Interaktion uv1*uv2 werden nicht signifikant. Das partielle Eta-Quadrat des korrigierten Modells ist hier ein Maß für die Güte eines Vorhersagemodells mit den Prädiktoren Beruf und Geschlecht. 14

15 Kovarianzanalyse Zusätzlich zu den nominal skalierten Faktoren kann der Einfluss von intervallskalierten Kovariablen auf die abhängige Variable untersucht werden. Es gelten die Voraussetzungen der einfaktoriellen Varianzanalyse sowie zusätzlich die Homogenität der Regression in den Zellen des Versuchsplanes. Wird oft mit einer Varianzanalyse über Regressionsresiduen gleichgesetzt. Diese Vorgehensweise beschreibt eine sehr häufig anzutreffende Situation, in der zunächst regressionsanalytisch der Einfluss der Kovariablen aus der abhängigen Variablen eliminiert wird. Danach werden die Residuen varianzanalytisch weiterverarbeitet. Anwendungsbeispiel Im Anwendungsbeispiel lässt sich bei simultaner Schätzung aller Effekte kein signifikanter Einfluss des Alters auf die Kommunikationsfähigkeit nachweisen (p >.05), der Einfluss des Faktors Beruf bleibt auch bei Berücksichtigung des Alters als Kovariable signifikant (p <.001). 15

16 Multivariate Varianzanalyse Die inhaltliche Fragestellung bzw. die zu untersuchenden statistischen Hypothesen beziehen sich auf mehrere abhängige Variablen. Im Anwendungsbeispiel: Der ausgeübte Beruf hat Auswirkungen auf das "soziale Verhalten" der Probanden. Das "soziale Verhalten" wird durch die Variablen Kommunikationsfähigkeit, Selbstsicherheit und soziale Kompetenz beschrieben. Problem der alpha-fehler-kumulation In einer solchen Situation kann die gestellte inhaltliche Frage nicht dadurch beantwortet werden, dass drei univariate Varianzanalysen durchgeführt werden und bei wenigstens einem signifikanten Einzelergebnis ein signifikanter Effekt bezüglich des sozialen Verhaltens angenommen wird. Der Grund liegt in der bei einem solchen Vorgehen in Kauf genommenen alpha- Fehler-Kumulation. Bonferroni-Korrektur: Signifikanzniveau von jeweils.05/3 (im Anwendungsbeispiel) Multivariate Prüfgrößen Vorteil: Zusammenhänge der abhängigen Variablen untereinander werden bei der Berechnung der Teststatistik berücksichtigt, so dass das Signifikanzniveau für die globale Hypothese von (im Beispiel).05 weder über- noch unterschritten wird. 16

17 Analogien und Unterschiede zwischen univariaten und multivariaten Kennwerten Beim T 2 -Wert gehen zusätzlich zu den Mittelwerten und Varianzen die Kovarianzen der abhängigen Variablen in die Berechnung der Teststatistik ein. Ein signifikantes Ergebnis des multivariaten Tests lässt die Interpretation zu, dass der entsprechende varianzanalytische Effekt einen signifikanten Einfluss auf die abhängigen Variablen hat, wobei das α -Fehler-Niveau korrekt eingehalten wurde. Mit nachfolgenden univariaten Analysen kann nun exploratorisch weiter untersucht werden, in welcher oder in welchen der abhängigen Variablen der Effekt auftritt. Die Voraussetzungen der multivariaten Analysen entsprechen den Voraussetzungen der univariaten Analysen, aber: Annahme multivariater Normalverteilung + Homogenität der Varianz-/Kovarianzmatrizen. Ein signifikantes Ergebnis des multivariaten Tests lässt die Interpretation zu, dass der entsprechende varianzanalytische Effekt einen signifikanten Einfluss auf die abhängigen Variablen hat, wobei das alpha-fehler-niveau korrekt eingehalten wurde. Mit nachfolgenden univariaten Analysen kann nun exploratorisch weiter untersucht werden, in welcher oder in welchen der abhängigen Variablen der Effekt auftritt. 17

18 Anwendungsbeispiel Frage: Hat der Beruf Einfluss auf das übergeordnete Konstrukt Soziales Verhalten? Die drei abhängigen Variablen Kommunikation, Selbstsicherheit und Soziale Kompetenz sind hier die Indikatoren für das Konstrukt immer wieder wichtig, sich die anzugucken! alle signifikant nur in der Variablen Kommunikationsfähigkeit zeigt sich ein Effekt des Faktors Beruf 18

19 Varianzanalyse mit Messwiederholungen Typische Anwendungssituationen Varianzanalysen mit Messwiederholungen können überall dort zur Datenauswertung eingesetzt werden, wo Probanden unter verschiedenen Bedingungen wiederholt untersucht werden, z.b. Veränderungen der Reaktionsgeschwindigkeiten bei zunehmender Ermüdung; Nachweis von Therapie-, Behandlungs- oder Trainingseffekten Anwendungsbeispiel Auswertung der Daten eines Kommunikationstrainings Nach der Prämessung erhielten die Probanden der Treatmentgruppe ein Kommunikationstraining, die Probanden der Kontrollgruppe erhielten kein Training. Danach wurden zwei Postmessungen in beiden Gruppen durchgeführt, um den Erfolg und die Stabilität des Trainings zu untersuchen. 19

20 Daten im Prä-Postdesign mit Versuchs- und Kontrollgruppe Ziel ist der Nachweis der Wirkung des Kommunikationstrainings Man sollte bei solchen Designs die statistischen Hypothesen möglichst spezifizieren! Untersuchung der zeitlichen Stabilität (via Postmessungen) Im Ergebnis der Varianzanalyse kann der Einfluss von drei Effekten auf die Kommunikationsfähigkeit untersucht werden: 1. Haupteffekt Gruppe (Treatment vs. Kontrollgruppe) 2. Haupteffekt Zeit (Prämessung vs. 1. Postmessung vs. 2. Postmessung) 3. Interaktionseffekt Gruppe x Zeit. Welcher dieser drei Effekte muss signifikant werden, um einen Trainingseffekt nachweisen zu können? Signifikanter Haupteffekt Gruppe ist dafür weder hinreichend noch notwendig, weil Gruppenunterschiede über alle Zeitpunkte bereits vor dem Training bestehen könnten. Das gleiche gilt für einen signifikanten Haupteffekt Zeit, weil generell Veränderungen im zeitverlauf in beiden Gruppen gleichermaßen auftreten könnten Notwendig für den Nachweis der Wirkung des Trainings auf die Kommunikationsfähigkeit ist ein signifikanter Wechselwirkungseffekt, mit dem nachgewiesen werden kann, dass sich die Veränderungen im Zeitverlauf zwischen den Gruppen unterscheiden. 20

21 Hypothesen Mittelwert der beiden Postmessungen abzüglich Wert der Prämessung Der Nachweis der Alternativhypothese würde belegen, dass die Kommunikationsfähigkeit im Übergang von der Prä-zur Postphase, die durch den Mittelwert der beiden Postmessungen dargestellt wird, in der Treatmentgruppe signifikant stärker zunimmt als in der Kontrollgruppe, die kein Kommunikationstraining erhalten hat. Zur Kontrolle der Effekte innerhalb der Postphase bietet sich ein zweites, in diesem Fall zweiseitig formuliertes Hypothesenpaar an: Differenz der beiden Postmessungen Die Annahme dieser Alternativhypothese würde zeigen, dass sich auch der Verlauf innerhalb der Postphase zwischen den Gruppen unterscheidet. Hier wären mehrere Ursachen möglich: Trainingseffekt in der Treatmentgruppe war nur kurzfristig (deshalb Abfall des Mittelwertes innerhalb der Postphase, Unterschiede zwischen den Gruppen erhöhen sich in der Postphase weiter, weil das Training besonders langfristig wirkt. Für die Untersuchung solcher spezieller Hypothesen, die vor Untersuchungsbeginn spezifiziert werden können, bietet sich innerhalb der varianzanalytischen Verfahren die Analyse linearer Kontraste an. 21

22 Signifikanzprüfung Bei der Varianzanalyse mit Messwiederholungen wird bei der Quadratsummenzerlegung zusätzlich eine Aufteilung in Quadratsummenanteile innerhalb der Personenund in Anteile zwischen den Personen unterschieden. Die Quadratsumme zwischen den Personen enthält alle Effekte, in denen Messwiederholungsfaktoren keine Rolle spielen. Im Beispiel: Faktor Treatment -die Gruppen werden bezüglich ihrer mittleren Ausprägungen der Kommunikationsfähigkeit gemittelt über alle Zeitpunkte untersucht. Kein signifikanter Haupteffekt Treatment (p >.05). Für die Prüfung aller Effekte, in denen der Messwiederholungsfaktor eine Rolle spielt (Zeit sowie Zeit x Treatment) werden die Kontrastvariablen benutzt. SPSS bietet zwei Verfahren zur Prüfung der Effekte an, die sich in ihrer Güte aber unterscheiden können: 22

23 Anwendungsbeispiel Geprüft werden soll die Effektivität des Kommunikationstrainings anhand einer Varianzanalyse mit Messwiederholungen. Hierbei gehen eine Prämessung und zwei Postmessungen in die Analyse ein. Die Trainings-und die Kontrollgruppe unterscheiden sich nicht signifikant voneinander dies ist jedoch kein Beleg gegen die Wirksamkeit des Trainings, denn für den Wirkungsnachweis ist der Wechselwirkungseffekt von Zeit und Bedingung relevant! 23

24 Multivariate Tests 1 2 Das signifikante Ergebnis für den Haupteffekt Zeit (1) bestätigt, dass es insgesamt Unterschiede zwischen den verschiedenen Messzeitpunkten gibt. Die signifikante Wechselwirkung von Zeit und Bedingung (2) zeigt an, dass die gefundenen (haupt-)effekte jeweils nicht in allen Stufen gleichermaßen auftreten. Alternative Auswertungsmöglichkeit F-Test, bei dem eventuelle Verletzungen der Sphärizität durch Anpassung der Freiheitsgrade korrigiert werden können. wird signifikant, daher Sphärizitätsannahme erfüllt! Da die Sphärizitätsannahme erfüllt ist, sind die Werte der jeweils ersten Zeile relevant: sowohl der Haupteffekt Zeit als auch die Wechselwirkung mit der Bedingung sind signifikant. Für den Fall, dass die Sphärizitätsannahme nicht erfüllt ist, kann man z.b. die nach Greenhouse-Geisser korrigierten 24 Kennwerte angucken.

25 Innersubjektkontraste In den beiden oben dargestellten Auswertungsalternativen wurden jeweils Gesamthypothesen über alle Messzeitpunkte hinweg getestet. Die unten stehende Tabelle enthält nun die Ergebnisse der F-Tests zu den einzelnen Kontrasten. In der jeweils ersten Zeile sind die Kennwerte des Kontrasts abgebildet, der die Prämessung mit dem Mittelwert der Postmessungen vergleicht: Haupteffekt Zeit ist in diesem Kontrast signifikant, die Richtung des Effekts muss aber anhand der Mittelwerte von Trainings-und Kontrollgruppe je Messzeitpunkt ermittelt werden. Für die Fragestellung nach der Wirksamkeit des Trainings ist dieser Kontrasts aber nicht bezüglich des Haupteffekts relevant, sondern nur bezüglich des Interaktionseffekts! Ebenfalls signifikant Kann wie folgt interpretiert werden: Die Verbesserungen in der Kommunikationsfähigkeit, die zwischen Prämessung und Postmessungen aufgetreten sind, sind in der Trainingsgruppe größer als in der Kontrollgruppe. Berechnung unter Zuhilfenahme der Mittelwerte: Das heißt: Es ist ein signifikanter Trainingseffekt zu beobachten. Der zweite Kontrast, also der Vergleich zwischen den beiden Postmessungen, ist weder im Haupteffekt noch in der Wechselwirkung signifikant. 25