Nichtparametrische statistische Verfahren

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Margarethe Färber
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1 Nichtparametrische statistische Verfahren (im Wesentlichen Analyse von Abhängigkeiten) Kategorien von nichtparametrischen Methoden Beispiel für Rangsummentests: Wilcoxon-Test / U-Test Varianzanalysen 1-faktorielle Analysen ohne Messwiederholungen 1-faktorielle Analysen mit Messwiederholungen multiple Mittelwertvergleiche Übersicht der verschiedenen nichtparametrischen Methoden 2- und mehrfaktorielle Analysen ohne Messwiederholungen 2-faktorielle Analyse mit gemischten Faktoren 2-faktorielle Analysen mit Messwiederholungen Analysen für dichotome Merkmale Kontingenztabellenanalyse Analyse 2-dim. Tabellen loglineare Modelle Logit-Modelle Kontingenztabellen und Messwiederholungen Logistische Regression Korrespondenzanalyse Zeit-Ereignis-Analysen (Sterbetabellen) klassische Sterbetabellen-Analyse Kaplan-Meyer-Modelle Cox-Modelle Parametrische statistische Verfahren mathematisches Modell - Verteilungsannahme - Parameter i.d.regel: Normalverteilung nicht unbedingt Merkmal selbst - häufig z.b. Residuen

mehrfaktorielle Analysen ohne Messwiederholungen 2-faktorielle Analyse mit gemischten Faktoren 2-faktorielle Analysen mit Messwiederholungen Analysen für dichotome Merkmale Kontingenztabellenanalyse

2 Nichtparametrische statistische Verfahren i.d.regel keine Voraussetzungen dennoch gelegentlich Modell mit Parametern (z.b. logistische Regression, logit-modelle) geringere Effizienz (falls Voraussetzungen erfüllt) ca. 64% - 95,5% größere Effizienz (falls Voraussetzungen nicht erfüllt) relative Effizienz eines (nichtparametrischen) Tests n 1 /n 2 n 1 : erforderlicher Stichprobenumfang des parametrischen Tests zur Erlangung einer bestimmten Teststärke 1- n 2 : erforderlicher Stichprobenumfang des nichtparametrischen Tests zur Erlangung derselben Teststärke 1- z.b. 0,9 (90%) bedeutet, dass bei Verwendung des nichtparametrischen Tests ein ca. 11% größeres n erforderlich ist, als beim parametrischen Test

64% - 95,5% größere Effizienz (falls Voraussetzungen nicht erfüllt) relative Effizienz eines (nichtparametrischen) Tests n 1 /n 2 n 1 : erforderlicher Stichprobenumfang des

3 In Abhängigkeit vom Skalenniveau metrische Variable: Umrechnung der Werte in Ränge Anwendung der klassischen Verfahren modifizierte Signifikanztests exakte Tests (bei kleinem n, etwa n<20 ) asymptotische Tests (bei größerem n) ordinale Variablen: Verfahren wie bei metrischen Variablen Verwendung von Bindungskorrekturen dichotome Variablen: Verfahren und Tests wie bei parametrischen Variablen insbesondere bei größerem n Spezialfall von ordinalen Variablen polychotome Variablen: spezielle aufwändige Verfahren erforderlich

bei metrischen Variablen Verwendung von Bindungskorrekturen dichotome Variablen: Verfahren und Tests wie bei parametrischen

4 Wilcoxons Rangsummen-Test - Mann-Whitneys U-Test Vergleich zweier unabhängiger Stichproben Hypothese: 1 = 2 Daten: Rohwerte Jungen: Rohwerte Mädchen Transformieren in Ränge: J J M J J M M J J M M J M M M Rangsummen und mittlere Ränge: R J = 45 5 R M = 74 5 R J = = 65 R M = = 9 3 Testgröße: z = R 1 n 1 + n sr n = = t = 139 t = 126 t-test Rohwerte t-test rangtransformierte Werte

5 9.5 9.5 13 13 13 15 Rangsummen und mittlere Ränge: R J = 45 5 R M = 74 5 R J = 45 5 7 = 65 R M = 74 5 8 = 9 3 Testgröße: z = R 1 n 1 + n 2 + 1 2

5 Kruskal Wallis H-Test Vergleich mehrerer unabhängiger Stichproben Hypothese: 1 = 2 =... = k im Falle k=2 mit Wilxoxon-Rangsummentest identisch defacto kein reiner Mittelwertvergleich Testgröße: H = k n i R i R 2 i = k n i R ij R 2 n 1 i = 1 j = 1 2 -verteilt = SS Effekt MS total H = k 12 R i 2 nn n + 1 i = 1 n i Original-Formel

R i R 2 i = 1 ---------------------------------------------------------------------------------------- k n i R ij R 2 n

6 Andere Tests Jonckheere Trendtest Hypothese: 1 <= 2 <=... <= k Kolmogorov-Smirnov-Test Hypothese: F 1 = F 2 d.h. beide Verteilungsfunktionen sind gleich Omnibus-Test (Test auf irgendwelche Verteilungsunterschiede) Moses-Test Hypothese: beide Spannweiten sind gleich d.h. Streuungsvergleich, beschränkt auf Extremwerte

7 Mittelwertvergleiche für abhängige Stichproben Vorzeichentest Vergleich zweier Stichproben vergleicht nur, ob Veränderung positiv oder negativ geringe Effizienz Wilcoxon Vorzeichentest Vergleich zweier Stichproben vergleicht Veränderung der Ränge mittlere Effizienz Friedman Varianzanalyse Vergleich mehrerer Stichproben vergleicht Veränderung der Ränge maximale Effizienz

Vorzeichentest Vergleich zweier Stichproben vergleicht Veränderung der Ränge mittlere

8 Nichtparametrische Anovas kein Modell - viele Lösungen 1. rank transform tests klassische Anova-F-Tests angewandt auf Ränge 2. Puri and Sen tests (Bennett, Shirley, Winer, Scheirer-Ray-Hare) klassische Anova angewandt auf Ränge mit 2 -Tests Testgrößen der Art 2 SS Effekt = MS total Verallgemeinerung der Kruskal-Wallis- und Friedman-Tests 3. aligned rank tests Konzentration auf einen Effekt, z.b. Interaktion zuerst Bereinigung bzgl. anderer Effekte, dann Verfahren 2 4. Bredenkamp tests Ausnutzung der Additivität von 2 -Werten im Wesentlichen identisch mit Verfahren 2 nur für balancierte Versuchspläne 5. Akritas and Arnold tests klassische Anova angewandt auf Ränge Modifizierung der F-Tests 6. ARTool erweiterte Form von Verfahren 3 Programm zur Vorbereitung der Daten, dann Anwendung eines Standardprogramms (z.b. SPSS)

Kruskal-Wallis- und Friedman-Tests 3. aligned rank tests Konzentration auf einen Effekt, z.b. Interaktion zuerst Bereinigung bzgl. anderer Effekte, dann Verfahren 2 4.

9 Verfahren von Bredenkamp 2-faktoriell ohne Messwiederholungen: H-Testwerte ( 2 -Werte) 2 AB - 2 A - 2 B 2 AB - 2 A - 2 B Freiheitsgrade kl-1 k-1 l-1 (k-1)(l-1) 2-faktoriell mit Messwiederholungen:. 2 B (A 1 ) 2 B (A 2 ) B (A k ) - 2 B 2 -Testwerte Summe( 2 B (A i )) - 2 B Freiheitsgrade l-1 l-1 l-1 l-1 (k-1)(l-1)

2-faktoriell mit Messwiederholungen:. 2 B (A 1 ) 2 B (A 2 ) +.

10 Verfahren von Puri and Sen (Bennett, Shirley, Winer, Scheirer-Ray-Hare) mehrfaktoriell ohne Messwiederholungen: 2 = SS Effekt MS total kann aus der Anova-Tabelle abgelesen werden: SS: Streuungsquadratsumme MS: Streuungsquadratsumme/Freiheitsgrade mehrfaktoriell mit Messwiederholungen: 2 = SS Effekt MS zwischen für die Gruppierungseffekte bzw. 2 = SS Effekt für die Messwiederholungseffekte MS innerhalb reine Messwiederholungsmodelle: 2 = SS Effekt SS Effekt + SS Fehler df Effekt + df Fehler

---------------------------- Effekt MS zwischen für die Gruppierungseffekte bzw.

11 Aligned Rank Tests Ziel: korrektere Berechnung eines Effekts, insbes. der Interaktion Sinnvoll 1. wenn Interaktion und mind. ein Haupteffekt signifikant 2. wenn kein Effekt signifikant Vorgehen: 1. normale Varianzanalyse Modell: nur Haupteffekte Speichern der Residuen 2. Transformieren der Residuen in Ränge 3. Varianzanalyse der Residuenränge Berechnung der 2 -Werte (nach Puri und Sen)

wenn kein Effekt signifikant Vorgehen: 1.

12 Varianzanalysen für dichotome Merkmale Logistische Begression keine Messwiederholungen metrische Kovariate möglich Klassische Varianzanalyse (bei großer Fallzahl) (Faustregeln: Ist p > 0.2 sollte der Fehlerterm mindestens 20 Fg haben, ist p < 0.2 sollte er mindestens 40 Fg haben.) metrische Kovariate möglich nichtparametrische Varianzanalyse Verwendung eines dichotomen Merkmals als ordinales Merkmal Kontingenztabellenanalyse - Logit-Modelle keine Messwiederholungen

2 sollte der Fehlerterm mindestens 20 Fg haben, ist p < 0.2 sollte er mindestens 40 Fg haben.

13 Spezielle Verfahren für dichotome Merkmale (abhängige Stichproben) McNemar-Test Vergleich der relativen Häufigkeiten für 2 abhängige Stichproben (Npar-Tests und Kreuztabellen) Cochrans Q-Test Vergleich der relativen Häufigkeiten für k abhängige Stichproben mit Friedman-Varianzanalyse identisch

Stichproben (Npar-Tests und Kreuztabellen) Cochrans Q-Test Vergleich der

14 Nichtparametrische Regression Für Signifikanztests: Verwendung von Anova (Allgemeines lineares Modell -> univariat) anstatt Regression, da bei Anova die SS ausgegeben werden Rangtransformation der metrischen und ordinalen Variablen diese als Kovariate deklarieren nominale Prädiktoren können als Faktoren deklariert werden Modell anpassen z.b. auch Produkte (Interaktionen) von Variablen möglich Signifikanztests: 2 SS Effekt = (mit 1 Fg) MS total kann aus der Anova-Tabelle abgelesen werden: SS: Streuungsquadratsumme MS: Streuungsquadratsumme/Freiheitsgrade Für Modellsuche: Regression verwenden nominale Prädiktoren (Faktoren) müssen dichotomisiert werden Regressionskoeffizienten problematisch, da auf Ränge bezogen und von n abhängig u.u. besser: standardisierte Regressionskoeffizienten

en diese als Kovariate deklarieren nominale Prädiktoren können als Faktoren deklariert werden Modell anpassen z.b.

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