Einfaktorielle Rangvarianzanalyse mit Messwiederholungen

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3 Inhaltsverzeichnis Einfaktorielle Rangvarianzanalyse mit Messwiederholungen... 2 Lernhinweise... 2 Einführung... 3 Theorie (1-3)... 3 Teil 1 - Theorie... Teil 2 - Theorie... Teil 3 - Theorie... Fallbeispiel Stand vom:

4 Einfaktorielle Rangvarianzanalyse mit Messwiederholungen Lernhinweise Univariate, einfaktorielle Varianzanalysen mit Messwiederholungen basieren auf einem Untersuchungsdesign, in dem eine Stichprobe mehrfach untersucht wird. Die Ausprägungsgrade der unabhängigen Variablen (Faktor A) stehen dabei für die Erhebungszeitpunkte, zu denen die Stichprobe bezüglich des interessierenden Merkmals (abhängige Variable X) untersucht wurde. Die 'Behandlung' der Stichprobe zwischen den einzelnen Erhebungszeitpunkten nennen wir Treatment. Dieser Lernschritt gilt dem simultanen Vergleich der zu den einzelnen Zeitpunkten erhobenen Stichprobendaten hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz resp. der Prüfung des stochastischen Zusammenhangs zwischen den Erhebungszeitpunkten einerseits und der zentralen Tendenz in den Stichprobendaten andererseits. Inhaltlich gilt das Interesse dabei der 'Auswirkung' des zwischen den einzelnen Erhebungen applizierten Treatments auf die zentrale Tendenz im interessierenden Merkmal (abhängige Variable X). Benötigte Vorkenntnisse Grundprinzip entscheidungsstatistischer Verfahren Zielsetzungen und Grundprinzip varianzstatistischer Verfahren In welchen Situationen sind nichtparametrische (verteilungsfreie) Verfahren angezeigt Geschätzte Bearbeitungsdauer Nach Konsultation der in Ihrem Curriculum vorgesehenen Vorbereitungslektüre können Sie diesen Lernschritt in ca. 30 Minuten bearbeiten. Hinweise zur Bearbeitung Den Studierenden im Grundkurs zur Statistik wird empfohlen, den Lernschritt nach der vorgegebenen Struktur zu bearbeiten. - Stand vom:

5 Einführung Auch im Zusammenhang mit Untersuchungsdesigns, in denen eine Stichprobe bezüglich eines Merkmals mehrfach untersucht wird, werden häufig Rangvarianzanalysen eingesetzt. Dies ist immer dann der Fall, wenn 1. die uns interessierende Variable ordinal skaliert ist, 2. das mit einem intervall oder proportional skalierten Merkmal fokussierte Konstrukt der strengen Metrik einer Intervallskala aber nicht folgt oder 3. eine oder mehrere Verteilungs-Voraussetzungen verletzt sind, die ein parametrisches Verfahren an die auszuwertenden Daten stellt. Theorie (1-3) Rangvarianzanalysen stützen sich immer nur auf die Ranginformation der Daten. Interessiert uns ein simultaner Vergleich der in mehreren Erhebungen an derselben Stichprobe erhobenen Daten, so ist eine Aussage zur Unterschiedlichkeit der Datensätze hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz möglich. Aus der Sicht varianzanalytischer "Wirkungsmodelle" interpretieren wir die Resultate einer Rangvarianzanalyse für Untersuchungsdesigns mit Messwiederholungen aber auch bezüglich eines stochastischen Zusammenhangs. Untersucht wird dabei der Zusammenhang zwischen dem Treatment einerseits, das zwischen den einzelnen Datenerhebungen zum Einsatz kam (z.b. Werbeaktionen in der Markforschung oder therapeutische Interventionen in der klinischer Wirkungsforschung) und der zentralen Tendenz in der Verteilung des interessierenden Merkmals andererseits. Wie jedes Prüfverfahren für Untersuchungsdesigns mit abhängigen Stichproben muss auch im Rahmen einer Rangvarianzanalyse mit Messwiederholungen der Treatmenteffekt und der Personeneffekt getrennt werden, da uns in der Regel nur der Treatmenteffekt, d.h. die Auswirkung des Treatments auf das erhobene Merkmal (die abhängige Variable) interessiert. Für ordinal skalierte Daten hat hierfür Friedman ein Verfahren entwickelt, das relativ einfach zu verstehen ist. Wiederum stellt sich als erstes die Frage, was aus formaler Sicht, d.h. ohne Berücksichtigung der Interpretation des Resultates, zu einem Prüfverfahren gehört. Wir brauchen: eine Arbeitshypothese H 0 und eine Alternativhypothese H 1 eine Prüfgrösse Kenntnis, was eine Ablehnung von H 0 inhaltlich bedeutet Kenntnis, was eine Annahme von H 0 inhaltlich bedeutet Kenntnis, wie die Prüfgrösse bei Gültigkeit von H 0 verteilt ist Kenntnis, wie die Prüfgrösse verteilt ist, wenn H 0 falsch ist ein Signifikanzniveau Auch der von Friedman entwickelte Test konstituiert sich aus 1. einer Prüfgrösse FR, 2. einer Arbeitshypothese H 0 und einer Alternativhypothese H 1, 3. einer Prüfverteilung, d.h. einer Verteilung, die beschreibt, wie die Prüfgrösse FR bei Gültigkeit der Arbeitshypothese H 0 verteilt ist, - Stand vom:

6 4. einem Signifikanzniveau, das die Beurteilung eines konkret vorliegenden Ausprägungsgrades der Prüfgrösse FR im Rahmen der Prüfverteilung erlaubt. Friedman's Idee lässt sich einfach veranschaulichen: Wir folgen Friedman bei der Entwicklung seiner Prüfgrösse anhand eines einfachsten Beispiels, in dem 5 Probandinnen und Probanden zu 4 Zeitpunkten bezüglich eines Merkmals untersucht wurden. Die folgende Abbildung zeigt symbolhaft die Daten, die nach den Erhebungszeitpunkten a1 bis a4 geordnet sind. Obwohl bei allen Personen dasselbe Merkmal erhoben wurde, wird für die Daten jeder Person ein eigenes Symbol verwendet, damit wir sie den Personen zuordnen können. Die Grösse der Symbole charakterisiert den Ausprägungsgrad der Daten. Wir folgen den Überlegungen von Friedman in einzelnen Schritten: Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] - Stand vom:

7 (0) Eine Stichprobe von Probanden wird zu vier verschiedenen Zeitpunkten untersucht. Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] (1) Da dieselben 5 Probanden vier mal untersucht wurden, können wir die Daten nach den Probanden ordnen. Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] (2) Als nächstes rangieren wir die Daten jedes Probanden über die vier Erhebungen, d.h. wir vergeben für jeden Probanden die Rangplätze 1 bis 4. Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] (3) Nun bestimmen wir für jede Erhebung den mittleren Rang über alle Probanden, indem wir die Summe aller Ränge in den einzelnen Erhebungen durch die Zahl der Probanden dividieren. Dieses Element (Animation, Video etc.) kann in der PDF version nicht dargestellt werden und ist nur in der online Version sichtbar. [link] Überlegen Sie jetzt, was bezüglich der Ausprägungen der mittleren Ränge M1, M2,..., Mp zu erwarten ist, wenn sich die Daten in den p Erhebungen nur zufällig unterscheiden, d.h. wenn das Treatment zwischen den p Erhebungen überhaupt keinen Einfluss auf die Ausprägungen unseres Merkmals nimmt? Dies führt zu mittleren Rängen M 1, M 2,,..., M p die - Stand vom:

8 absolut identisch sind sich nur zufällig unterscheiden. sich systematisch unterscheiden. Nimmt das Treatment überhaupt keinen Einfluss auf das interessierende Merkmal, so verteilen sich die Daten der Personen zufällig auf die einzelnen Erhebungen, und damit unterscheiden sich die mittleren Ränge in den Erhebungen auch nur zufällig. Auf dieser Grundlage entwickelte Friedman seine Prüfgrösse FR, deren Definitionsformel Sie im Rahmen Ihrer vorbereitenden Lektüre kennengelernt haben. Wir vertiefen sie hier nicht weiter, weil wir auch den Test nach Friedman, d.h. die Rangvarianzanalyse für Untersuchungsdesigns mit Messwiederholungen in der Regel von einem Statistikprogramm, z.b. SPSS, rechnen lassen. Was uns aber noch interessiert, ist die Prüfverteilung, d.h. die Verteilung der Prüfgrösse FR für den Fall, dass das Treatment auf die zentrale Tendenz der Daten in den verschiedenen Erhebungen absolut keinen Einfluss hat. Friedman konnte zeigen, dass FR mit dem Freiheitsgrad df = p-1 -verteilt ist, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: Anzahl Erhebungen p = 3: Es müssen mindestens 10 Personen untersucht werden, d.h. n 10. Anzahl Erhebungen p 4: Es müssen mindestens 5 Personen untersucht werden, d.h. n 5. Damit haben wir wieder alles zusammengetragen, was wir für ein Prüfverfahren brauchen. Wir fassen zusammen: Nun sind wir für ein Beispiel vorbereitet; wir wollen es direkt mit SPSS lösen. - Stand vom:

9 Arbeitshypothese H 0 und Alternativhypothese H 1 : Prüfgrösse: Prüfverteilung: H 0 : Die p Erhebungen unterscheiden sich bezüglich der zentralen Tendenz des Merkmals nur zufällig. H 1 : Mindestens zwei Erhebungen unterscheiden sich bezüglich der zentralen Tendenz des Merkmals nicht zufällig. Prüfen wir auf einen stochastischen Zusammenhang zwischen dem Treatment, d.h. der zwischen den Erhebungen stattgefundenen "Behandlung" der Stichprobe einerseits und dem in der Stichprobe wiederholt erhobenen Merkmal andererseits, so können die Hypothesen auch wie folgt formuliert werden: H 0 : Zwischen dem Treatment und dem interessierenden Merkmal besteht kein statistisch nachweisbarer stochastischer Zusammenhang. H 1 : Zwischen dem Treatment und dem interessierenden Merkmal besteht ein stochastischer Zusammenhang. Die Prüfgrösse FR bestimmt sich nach der von Friedman hergeleiteten Formel. (In diesem Lernschritt nicht wiedergegeben.) Prüfverteilung ist die -Verteilung mit einem Freiheitsgrad df = p-1, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: Anzahl der Erhebungen p = 3, dann n 10. Anzahl der Erhebungen p chi-quadrat 4, dann n 5 Signifikanzniveau: Wir wählen das Signifikanzniveau, d.h. das -Fehler-Risiko, den Gepflogenheiten entsprechend mit 5%, 1% oder 0,1%. - Stand vom:

10 Fallbeispiel Semesterbefragungen zur 'Integration der Studierenden in Lern- und Arbeitsgruppen' In einer privaten Kaderschule werden die Studierenden nach jedem Semester hinsichtlich ihres Studienfortschritts, ihres konkreten Studienziels für das kommende Semester und ihrer Arbeitsorganisation befragt. Bezüglich der Studienorganisation interessiert den für diesen Bereich zuständigen Prorektor u.a., inwieweit die Studierenden im Verlaufe ihres Studiums der von der Schulleitung immer wieder empfohlenen Organisation von Lern- und Arbeitsgruppen nachkommen. Um dieser Frage nachzugehen, interessieren unseren Prorektor die Antworten der Studierenden auf folgende, nach jedem Semester gestellte Frage: "In welchem Ausmass haben Sie sich im vergangenen Semester in Lern- und Arbeitsgruppen auf die Semesterschluss-Prüfungen vorbereitet?" Markieren Sie auf der folgenden Skala Ihre diesbezügliche Einschätzung. (Habe mich absolut allein vorbereitet) (Habe mich praktisch nur in Lern- und Arbeitsgruppen vorbereitet) Die Antworten der 38 Studierenden, die derzeit das 5. Semester abgeschlossen haben, stehen unserem Prorektor zur Verfügung. Da an einer privaten Kaderschule Befragungen generell nicht anonym durchgeführt werden, lassen sich im Schularchiv auch die früheren Antworten dieser Studierenden finden. Als Datenmaterial liegen damit die Antworten von 38 Studierenden zu immer derselben Frage in fünf Befragungen vor. Anhand dieser Antworten möchte unser Prorektor abschätzen, inwieweit sich die Studierenden im Verlauf eines erfolgreichen Studiums in Lern- und Arbeitsgruppen organisieren. Wir gucken ihm bei der Datenanalyse über die Schulter. 1. Zusammenstellung und Überprüfung der von den Daten erfüllten Voraussetzungen: Eine Stichprobe von 38 Personen wurde fünfmal zu demselben Sachverhalt befragt; es liegt also eine Erhebung mit Messwiederholung vor. Die Antworten wurden wohl auf einer ganzzahligen Intervallskala eingetragen, für die von den Studierenden vorgenommenen Einschätzungen darf indessen nur Ordinalskalen-Niveau angenommen werden, da Einschätzungen dieser Art keiner strengen Metrik folgen. Mit einem ordinal skalierten Merkmal ist ein nichtparametrisches Prüfverfahren angezeigt; da fünf Erhebungen simultan verglichen werden sollen, entscheidet sich unser Prorektor für eine Rangvarianzanalyse nach Friedman. 2. Formulierung der Arbeitshypothese H0 und der Alternativhypothese H1: Da sich unser Prorektor für die Entwicklung der Lernorganisation im Verlauf des Studiums interessiert, formuliert er seine Hypothesen in Anlehnung an die varianzanalytischen "Wirkungsmodelle": H 0 : Zwischen der unabhängigen Variablen "Anzahl absolvierter Studiensemester" und der abhängigen Variablen "Integration in Lern- und Arbeitsgruppen" besteht kein statistisch nachweisbarer stochastischer Zusammenhang. H 1 : Zwischen dem Merkmal "Anzahl absolvierter Studiensemester" und dem Merkmal "Integration in Lernund Arbeitsgruppen" besteht ein stochastischer Zusammenhang. 3. Prüfung der Arbeitshypothese: Unser Prorektor lässt SPSS eine Rangvarianzanalyse mit Messwiederholungen (Friedman-Test) rechnen und gibt hierfür die folgenden SPSS-Befehle ein: - Stand vom:

11 1. GET /FILE 'F:\\spss_dat\\arbeitsorg.sav'. LIST sem1 sem2 sem3 sem4 sem5. Wir lesen das vorbereitete Datenfile arbeitsorg.sav ein und lassen zu Kontrollzwecken eine Liste der Rohdaten ausgeben. SPSS Output 1 zeigen PROBAND SEM1 SEM2 SEM3 SEM4 SEM Number of cases read: 38 Number of cases listed: NPAR TESTS /FRIEDMAN sem1 sem2 sem3 sem4 sem5.> Wir lassen den Test nach Friedman rechnen. - Stand vom:

12 SPSS Output 2 zeigen Ranks SEM1 Einschätzung nach dem 1. Semester SEM2 Einschätzung nach dem 2. Semester SEM3 Einschätzung nach dem 3. Semester SEM4 Einschätzung nach dem 4. Semester SEM5 Einschätzung nach dem 5. Semester Mean Rank Test Statistics(a) N 38 Chi-Square df 4 Asymp. Sig..000 a Friedman Test Die SPSS-Ausgabe nennt für jede Erhebung den mittleren Rang, den Ausprägungsgrad der Prüfgrösse und die Überschreitungswahrscheinlichkeit dieses Ausprägungsgrades für den Fall, dass H 0 gültig ist. Bei der ermittelten Überschreitungswahrscheinlichkeit p < 0.1% lehnen wir H 0 ab. 4. Interpretation: Die Ablehnung der Arbeitshypothese auf dem 0,1%-Signifikanzniveau bedeutet, dass mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner 0,1% angenommen werden darf, dass sich die "Integration der Studierenden in Lern- und Arbeitsgruppen" mit der Zahl der absolvierten Semester verändert. Einen Hinweis auf die Richtung der Veränderung geben uns die für die einzelnen Erhebungen ermittelten mittleren Ränge. Diesen entnimmt unser Prorektor, dass die Integration der Studierenden im Verlauf des Studiums zunimmt. abnimmt. in etwa gleich bleibt. 5. Mögliche weitere Datenanalysen: - Stand vom:

13 Soll z.b. untersucht werden, ob sich die "Integration der Studierenden" zwischen dem 2. und 3. Semester signifikant verändert, so lässt sich dies am einfachsten entscheiden mit dem t-test für unabhängige Stichproben. t-test für abhängige Stichproben. U-Test nach Mann-Whitney. Wilcoxon-Test. Scheffé-Test. - Stand vom:

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