Proxies, Endogenität, Instrumentvariablenschätzung

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1 1 4.2 Multivariate lineare Regression: Fehler in den Variablen, Proxies, Endogenität, Instrumentvariablenschätzung Literatur: Wooldridge, Kapitel 15, Appendix C.3 und Kapitel 9.4 Wahrscheinlichkeitslimes und Konsistenz eines Schätzers Motivation: In vielen ökonometrischen Problemen läßt sich der Erwartungswert eines Schätzers nicht (einfach) berechnen und es reicht aus, die Eigenschaften des Schätzers asymptotisch zu bestimmen. Definition 1: Der Wahrscheinlichkeitslimes θ einer Folge von Zufallsvariablen ˆθ n ist dadurch gegeben, dass für n gegen unendlich die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag der Differenz zwischen ˆθ n und θ kleiner als ein beliebig kleines, positives δ ist, gegen eins geht. Mathematisch wird dies durch lim n P { ˆθ n θ < δ} = 1 für jedes δ > 0 ausgedrückt und durch plim n ˆθ n = θ abgekürzt.

2 2 KAPITEL 4. ÖKONOMETRIE: MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION Definition 2: Ein Schätzer ˆθ n des wahren Parameterwertes θ heißt konsistent, falls plim N ˆθ n = θ. Hinweise: 1. (Gesetz der großen Zahl) Das arithmetische Mittel ȳ n einer Folge von Zufallsvariablen y i mit Erwartungswert E(y i ) = µ y ist unter sehr allgemeinen Annahmen ein konsistenter Schätzer von µ y, d.h. plim ȳ n = µ y. 2. Für zwei Folgen von Zufallsvariablen ˆθ 1,n und ˆθ 2,n gilt: plim (ˆθ 1,n + ˆθ 2,n ) = plim ˆθ 1,n + plim ˆθ 2,n plim (ˆθ 1,n ˆθ 2,n ) = plim ˆθ 1,n plim ˆθ 2,n plim ( ˆθ1,n ˆθ 2,n ) = plim ˆθ 1,n plim ˆθ 2,n

3 4.2. MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION 3 Verzerrung von OLS bei endogenem Regressor im bivariaten Regressionsmodell: y i = β 1 + β 2 x i + u i Schätzer ˆβ 2 = (x i x) (y i y) = (x i x) 2 (x i x) y i = β 2 + (x i x) 2 (x i x) u i (x i x) 2 plim ( ˆβ 2 β 2 ) = plim 1 n plim 1 n (x i x) u i (x i x) 2 plim 1 n (x i x) 2 = Var(x i ) = σ 2 x plim 1 n x i u i = Cov(x i, u i ) 0 bei Korrelation zwischen x i und u i

4 4 KAPITEL 4. ÖKONOMETRIE: MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION plim 1 n xu i = plim ( ) 1 Cov(x i, u i ) = 0 n unter der Annahme Cov(x j, u i ) = 0 für i j. Für die Verzerrung ergibt sich: plim ( ˆβ 2 β 2 ) = Cov(x i, u i ) σ 2 x 0 und die Richtung der Verzerrung hängt vom Vorzeichen der Cov(x i, u i ) ab.

5 4.2. MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION 5 Schätzung eines exakt oder überidentifizierten Systems: Die Methode der zweistufigen KQ-Schätzung (2 SLS) als Einzelgleichungsmethode Schätzung für j-te Gleichung: y ji = β 1 + β 2 y k1 i + β 3 y k2 i + β 4 x j1 i u ji 1. Um die j-gleichung zu schätzen, wird zuerst die reduzierte Form für alle endogenen auf der rechten Seite der j-ten Gleichung geschätzt y ki = π 0 + π 1 x 1i π e x ei + v ki mit k j 2. Für die k-te endogene Variable werden auf Basis der reduzierten Form die prognostizierten Werte bestimmt ŷ ki = ˆπ 0 + ˆπ 1 x 1i ˆπ e x ei 3. Anstelle der y ki werden die ŷ ki in die j-te strukturelle Gleichung eingesetzt: y ji = β 1 + β 2 ŷ k1 i + β 3 ŷ k2 i + β 4 x j1 i u ji und diese geschätzt. Die Regressoren sind nun unkorreliert mit u ji und die j-te Gleichung (β 1, β 2,...) lässt sich konsistent schätzen.

6 6 KAPITEL 4. ÖKONOMETRIE: MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION Beispiel: Schätzgleichung (strukturelle Gleichung) y 1i = β 1 + β 2 y 2i + β 3 y 3i + β 4 x 1i + u i Endogene Variablen: y 2i, y 3i korreliert mit u i Ausschlussrestriktionen: x 2i, x 3i erklären y 2i und y 3i, aber sind ohne Einfluss in Strukturgleichung für y 1i 2 SLS: 1. Stufe: ŷ 2i = ˆΠ 20 + ˆΠ 21 x 1i + ˆΠ 22 x 2i + ˆΠ 23 x 3i ŷ 3i = ˆΠ 30 + ˆΠ 31 x 1i + ˆΠ 32 x 2i + ˆΠ 33 x 3i 2. Stufe: y 1i = β 1 + β 2 ŷ 2i + β 3 ŷ 3i + β 4 x 1i + v i wird geschätzt TSP-Kommando: 2SLS(INST = (C, X1, X2, X3) ) Y 1 C Y 2 Y 3 X1 }{{} alle Exogene In TSP muss das Absolutglied in die Liste der exogenen variablen eingefügt werden.

7 4.2. MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION 7 Hinweis 1: Dieser Ansatz lässt sich auch auf den Fall der exakten Identifikation anwenden. Hinweis 2: Die geschätzte Varianz-Kovarianz-Matrix in der 2. Stufe in 3. (der OLS- Schätzung auf ŷ ki und exogene Variablen) liefert verzerrte Schätzer, da die Tatsache, dass die ŷ ki geschätzt werden, nicht berücksichtigt wird. Hinweis 3: Die Identifikation spiegelt dies exakt darin wider, dass die OLS-Schätzung in der 2. Stufe kein Problem perfekter Kollinearität aufweist: Wenn ŷ k1 i, ŷ k2 i nicht von Regressoren abhängen, die nicht in j-ter Gleichung auftauchen, wäre (X X) für diese Schätzung nicht invertierbar. Der 2 SLS-Schätzer heißt auch Instrumentvariablenschätzer und die ausgeschlossenen exogenen Variablen in j-ter Gleichung nennt man Instrumente.

8 8 KAPITEL 4. ÖKONOMETRIE: MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION Test auf Endogenität eines Regressors: Hausman Spezifikationstest Reduzierte Form: ŷ 2 i = ˆΠ 0 + ˆΠ 1 x 1i Regressiere nun für Hausman-Test: y i = β 1 + β 2 y 2i + λ 2 ŷ 2i + u i H 0 : λ 2 = 0 y 2i ist unkorreliert mit u i H A : λ 2 0 y 2i ist korreliert mit u i Signifikanztest auf ŷ 2i (Ist λ 2 0?) überprüft, ob y 2i in der Strukturgleichung für y i endogen ist, d.h. ob Cov(y 2i, u i ) 0.

9 4.2. MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION 9 Beispiel: Beispiel 15.4 aus Wooldridge (S. 504f) gerechnet in Programm abschnitt42.tsp Endogenität der Schulausbildung in Lohnregression für US-Daten (siehe Card, 1995) Instrumente: Dummyvariablen, ob jemand in der Nähe eines vierjährigen Colleges (NEARC4) oder eines zweijährigen Colleges (NEARC2) aufgewachsen ist Reduzierte Form: IV NEARC4 und NEARC2 wirken sich positiv auf die Dauer der Schulausbildung aus In IV-Schätzung erhöht sich die geschätzte Rendite der Schulausbildung auf 15,7% im Vergleich zu 7,5% bei OLS-Schätzung. Der Schätzfehler bei der IV Schätzung (Standardfehler des Koeffizienten) liegt bei und ist damit viel höher als bei der OLS Schätzung, für die er bei liegt.

10 10 KAPITEL 4. ÖKONOMETRIE: MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION Fehler in den Variablen (Wooldridge, Kapitel 9.4) 1. Fehler in zu erklärender Variable Wahre Funktion: yi = β 1 + β 2 x i + u i Geschätzt wird mit y i als Proxy für yi : y i = y i + ε i = β 1 + β 2 x i + u } i {{ + ε } i Wenn E(ε i x i ) = 0 gilt, dann können wir β 1 und β 2 auch erwartungstreu mit y i als zu erklärende Variable schätzen Allerdings weisen geschätzte Koeffizienten höhere Varianzen auf

11 4.2. MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION Fehler in erklärender Variable Wahre Funktion: y i = β 1 + β 2 x i + u i Geschätzt wird mit x i als Proxy für x i : x i = x i + ε i Daher wird geschätzt y i = β 1 + β 2 x i + u i = β 1 + β 2 x i + (u i β 2 ε i ) mit dem Fehlerterm v i = u i β 2 ε i.

12 12 KAPITEL 4. ÖKONOMETRIE: MULTIVARIATE LINEARE REGRESSION Wenn E(ε i x i ) = 0 (klassisches Messfehlermodell) und E(u i x i ) = 0, dann gilt: Cov(x i, ε i ) = Cov(x i, ε i ) + Cov(ε i, ε i ) = σ 2 ε Somit ist der Fehlerterm im Schätzmodell mit dem Regressor x i korreliert und damit ist der OLS Schätzer verzerrt: plim ˆβ 2 = β 2 ( σ 2 x σ 2 x + σ 2 ε ) = β 2 ( σ 2 ε/σ 2 x Konsequenz: ˆβ 2 ist Richtung null verzerrt ( Attenuation Bias ), d.h. Koeffizienten werden im Betrag zu klein geschätzt. Die Verzerrung hängt von der Signal to Noise Ratio σ 2 x /σ 2 ε ab. )