1. (Alles folgende gilt auf dem in der Aufgabenstellung vorausgesetzten 5%-Signi kanzniveau):

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1 Übung zur Vorlesung Ökonometrie Masterstudiengang Wintersemester 215/16 Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 8 1. (Alles folgende gilt auf dem in der Aufgabenstellung vorausgesetzten 5%-Signi kanzniveau): (a) Falsch, Nullhypothese ist Freiheit von Autokorrelation. (b) Richtig. (c) Falsch, das Ergebnis deutet auf Homoskedastizität, so dass keine robusten Standardfehler benötigt werden. (d) Falsch, der R 2 ist 1 SSRSS :75, und somit ist F R2 1 R :25 33:75. (e) Richtig, siehe (d). (f) Richtig. (g) Unentscheidbar, die Aussage ist nur dann richtig, wenn x t2 nicht orthogonal zu den verbleibenden Regressoren ist. (h) Falsch, die Aussage ist schon wegen des positiven Vorzeichens des Koe zienten inkorrekt. (i) Falsch, irrelevante Variablen führen nicht zu Verzerrung. (j) Falsch, dann müsst der p-wert kleiner als :5 sein. 2. OLS ist unter den genannten Annahmen konsistent, wenn der Störterm kontemporär unkorreliert mit den Regressoren ist. Bezüglich x t ist dies per Annahme der strikten Exogenität dieses Regressors erfüllt. Fraglich ist also, ob u t und y t 1 unkorrliert sind. Wegen u t u t 1 + " t ist dies für den Fall erfüllt, da dann u t " t ist und " t laut Aufgabenstellung kontemporär unkorreliert mit allen Regressoren ist. Für > ist allerdings u t mit y t 1 korreliert: wegen y t x t y t 2 +u t 1 ist u t 1 mit y t 1 korreliert, und wegen u t u t 1 + " t ist für > auch u t 1 mit u t korreliert. Folglich ist für 6 OLS inkonsistent. 3. (a) Siehe Vorlesung. Nullhypothese ist Freiheit von Autokorrelation erster Ordnung der Störterme. eststatisik ist (n 1) R e2, wobei R e 2 der unbereinigte Determinationskoe zient einer Hilfsregression der OLS-Residuen auf eine Verzögerung ihrer selbst und die ursprünglichen Regressoren des untersuchten Modells ist. Die asymptotische Verteilung der eststatistik unter der Nullhypothese ist die 2 (1) - Verteilung. (b) Hier ist R e2 SSESS 4:3897:12 :451 (gerundet auf vier Nachkommastellen), und die eststatistik ist daher 119 :451 5:3669: (c) Die Nullhypothese würde auf dem 5% - Niveau und auf dem 2.5% - Niveau abgelehnt, nicht aber auf dem 1% - Niveau. 1

2 (d) Wegen des Ergebnisses der vorigen eilaufgabe muss der p-wert größer als :1, aber kleiner als :25 sein. 4. (a) OLS liefert einen inkonsistenten arameterschätzer, wenn der Regressor mit dem Fehler korreliert ist. (b) Ausschluss: darf nicht direkt in der Gleichung vorkommen, Exogenität: darf nicht mit u i korreliert sein, Relevanz / Rang: muss mit x i korreliert sein. (c) Alle Kriterien aus (b) sind in der Aufgabenstellung als erfüllt genannt, also ist z i eine gültige IV. (d) b IV 1 d Cov(y i ;z i ) dcov(x i ;z i ) 2 4 :5. 5. (a) Schätzgleichung: ln y t ln z t + a ln L t + b ln K t + 1 t + u t + a ln L t + b ln K t (b) Der Störterm u t beinhaltet hier den stochastischen eil des technischen Fortschritts (derjenige eil von z t, der nicht als einfacher Zeittrend beschrieben werden kann). Ein positiver Wert für u t bedeutet z.b., dass der technische Fortschritt in dieser eriode schneller als im Durchschnitt war. Endogenität entsteht dadurch, dass Unternehmen in Reaktion auf den technischen Fortschritt die Faktorinputs anpassen werden (mehr oder weniger Beschäftigung wählen werden). Dadurch sind Regressoren und Fehlerterm vermutlich korreliert. Durch die Endogenität der Regressoren ist OLS inkonsistent. (c) Geeignete Instrumentalvariablen müssten exogen (hier: nicht mit dem technischen Fortschritt korreliert) und relevant (hier: mit dem Arbeitseinsatz korreliert) sein. Es werden also Instrumente benötigt, die die Faktornachfrage beein ussen, ohne einen technologischen Bezug zu haben. (d) Da der Störterm den technischen Fortschritt enthält, müssten Instrumente also rein nachfrageseitige (d.h. nicht-technologische Variablen) sein. Beispiel: Rohölpreis, Auslandsnachfrage, Der mit OLS geschätzte arameter b ist genau dann kausal interpretierbar, wenn die Regressorvariable als exogen interpretiert werden kann. Dafür darf sie zumindest kontemporär nicht mit dem Fehlerterm korreliert sein. Ob dies im vorliegenden Fall plausibel ist, muss aufgrund inhaltlicher Erwägungen diskutiert werden. Wenn die Zuordnung von Werbeminuten zu Regionen von dem werbenden Unternehmen zufällig vorgenommen wurde, ist die Exogenitätsannahme klarerweise erfüllt: es handelt sich dann um experimentelle Daten, und OLS liefert den kausalen arameter. Etwas anderes gilt, wenn die genannte Zuordnung nicht zufällig gewählt wurde, sondern systematisch in Reaktion auf Ein üsse, die auch im Störterm der Regression enthalten sind. Im dargestellten Sachverhalt enthält der Störterm 2

3 der Regression alle Ein üsse auf den Bekanntheitsgrad des rodukts, die sich nicht auf Radiowerbung zurückführen lassen. Das umfasst vermutlich regional unterschiedliche räferenzen, Vertriebsstrukturen, etc. Wenn nun das werbende Unternehmen in den Regionen, in denen es wenig bekannt ist, mehr geworben hat (um eben die geringe Bekanntheit zu verbessern), dann sind diese Störein üsse mit der Regressorvariablen korreliert. Daher wäre in diesem Fall die Exogenitätsannahme verletzt, und der OLS - geschätzte arameter hätte keine kausale Bedeutung (sein Wert re ektiert dann nicht nur den Ein uss der Werbung auf die Bekanntheit, sondern eben auch den Ein uss der Bekanntheit auf die Werbung, es liegt also ein Fall von Simultanitätsverzerrung vor). 7. Der IV-Schätzer ist Hierin ist b IV (Z X) 1 Z y X (1 x), Z (1 z) Damit ist (Z X) 1 z (1 x) x z 1 z x n i1 z i n i1 x i i1 z ix i Wenn z und x mittelwertbereinigt sind, gilt i1 x i i1 z i, und wir haben (Z X) n i1 z ix i ) (Z X) 1 1n 1 i1 z ix i und Z y 1 z y i1 y i i1 z iy i i1 z iy i Damit resultiert b IV (Z X) 1 Z y 1n 1 i1 z ix i i1 z iy i n i1 z ix i i1 z iy i Bei Mittelwerten der Variablen von null ist der Ausdruck für den IV-Schätzer des Steigungsparameters aber genau das Verhältnis der Stichprobenkovarianzen, also wie auf S. 283 behauptet. b IV 1 i1 z iy i i1 z ix i d Cov(z; y) dcov(z; x) 3

4 8. Der IV-Schätzer kann geschrieben werden als b IV ( b X X) 1 b X y mit b X (1 bx) und X (1 x). Es ist also mit den Werten der Aufgabenstellung (und unter Berücksichtigung von t1 x t t1 bx t 519:95) ( b X X) 1 bx (1 x) x bx 1 bx x 1 519:95 519: :39 t1 bx t t1 x t t1 bx tx t und wegen y 11:5721 wissen wir dass t1 y i 1 11: :21 ist, so dass bx y 1 bx y t1 y t t1 bx 1157:21 ty t 6251:36 und damit b IV 1 519:95 519: : : :36 4:791 3:11 bzw. wenn die Inverse zunächst separat berechnet und gerundet wird b IV :357 : :21 3:8417 :667 : :36 2:8315 wegen der dann auftretenden Rundungsfehler. 9. (a) Richtig (z.b. Konstanten oder rends können regelmäßig sich selbst instrumentieren). (b) Richtig. (c) Falsch (die Rangbedingung verlangt, dass diese Korrelation existieren muss). (d) Vermutlich falsch, dies ist ein klassischer Fall von Simultanität (der reis beein usst zwar die abgesetzte Menge, aber der Umsatz wird vermutlich zurückwirken auf den Absatzpreis, der damit endogen wäre). (e) Richtig. (f) Falsch, dann ist 2SLS IV und damit konsistent. (g) Falsch, er ist nur konsistent, nicht aber erwartungstreu. (h) Falsch, die reduzierte Form sagt nichts über Exogenität der Instrumente aus. Im exakt identifzierten Fall ist die Exogenität nicht überprüfbar. (i) Richtig. (j) Falsch, der rst stage F - est ist einfach eine OLS - Schätzung der reduzierten Form für einen endogenen Regressor und damit auch im einfachen IV Fall anwendbar. 4

5 1. (a) Der IV-Schätzer ist im genannten einfachen Fall b IV Cov(z 1 d 1 i ; y i ) dcov(z i ; x i ) n 1 i1 (z i z) (y i y) 1 n 1 i1 (z i z) (x i x) i(z i z)y i i i (z (z i z)( + 1 x i + u i ) i z) x i i (z i z) x i 1 i (z i z)x i i (z + i(z i z)u i i z) x i z) x i 1 + d Cov(z i ; u i ) dcov(z i ; x i ) Exogenität des Instruments verlangt, dass Cov(z i ; u i ) ist, während in einer endlichen Stichprobe (einfach aufgrund der Stichprobenunsicherheit) auch bei Erfüllung dieser Bedingung d Cov(z i ; u i ) 6 gelten wird. Schwache Instrumente liegen vor, wenn Cov(z i ; x i ) klein ist (im Folgenden immer betragsmäßig zu verstehen) in diesem Fall ist wahrscheinlich auch d Cov(z i ; x i ) klein, und auch kleine Werte für dcov(z i ; u i ) 6 können zu betragsmäßig großen Werten von d Cov(z i ; u i ) d Cov(z i ; x i ) führen, so dass der IV-Schätzer stark verzerrt sein kann. O ensichtlich gibt es kein exaktes Maßdafür, welcher Wert von Cov(z i ; x i ) als zu klein anzusehen ist (je größer der Betrag dieser Kovarianz, desto besser). (b) Mit dem rst stage F-est (für die Situation der Aufgabenstellung: OLS-Regression des endogenen Regressors auf IV, est auf H : Koe zient der IV ist null). i (z i (c) Den Ergebnissen misstrauen und bessere Instrumente suchen. 5