Ökonometrische Modelle

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1 Ökonometrische Modelle Stichwörter: Dynamische Modelle Lagstrukturen Koyck sche Lagstruktur Zeitreihenmodelle Mehrgleichungsmodelle Strukturform reduzierte Form o1-13.tex/0

2 Lüdeke-Modell für die BRD C t I t M t Y t = α 1 + α 2 Y t + α 3 C t 1 + u 1t Konsumfunktion = β 1 + β 2 Y t + β 3 P t 1 + u 2t Investitionsfunktion = γ 1 + γ 2 Y t + γ 3 M t 1 + u 3t Importfunktion = C t + I t M t + G t mit C: privater Konsum, Y : nationales Einkommen, I: Investitionen, P : Gewinne, M: Importe, G: Staatsausgaben endogen: C t, Y t, I t, M t exogen: G t, P t 1 o1-13.tex/1

3 Ökonometrische Modelle Auf der Basis des multiplen linearen Regressionsmodell Modell-Erweiterungen: dynamische Modelle Systeme von Regressionsmodellen o1-13.tex/2

4 Modell-Erweiterung: Dynamische Modelle Beispiel: Nachfrage-Modell Q: nachgefragte Menge P : Preis Y : Einkommen (a) Preis und Einkommen bestimmen die Nachfrage (statisches Modell) Q t = β 1 + β 2 P t + β 3 Y t + u t (b) Preis und Einkommen der Vorperiode bestimmen die Nachfrage Q t = β 1 + β 2 P t + β 3 Y t 1 + u t (dynamisches Modell, Annahmen des klassischen Modells nicht verletzt!) (c) Preis und Nachfrage der Vorperiode bestimmen die Nachfrage Q t = β 1 + β 2 P t + β 3 Q t 1 + u t (dynamisches Modell) o1-13.tex/3

5 Beispiel: Nachfrage nach Energie Nachfrage: Q t = α + βp t + γk t + u t Energie-relevanter capital stock: K t = θ 0 + θ 1 P t 1 + θ 2 P t δy t + v t P t : Preis für Energie Y t : Einkommen Einsetzen gibt Q t = α 0 + α 1 Y t + β 0 P t + β 1 P t 1 + β 2 P t ε t mit ε t = u t + γv t, α 0 = α + γθ 0, α 1 = γδ, β 0 = β, β i = γθ i für i = 1, 2,.... o1-13.tex/4

6 Lagstrukturen Beschreiben die verzögerte Wirkung einer (mehrerer) Variablen X auf Y. Modellierung mittels verzögerter Variabler, wenn die Response verzögert (lagged) eintritt verteilt (distributed) eintritt Beispiel: Nachfragegleichung in monatlichen Daten: Einkommen der Periode t wirkt verteilt DL-Modelle (von distributed lag) DL(s)-Modell (nur 1 erklärende Variable) Y t = δ + β 0 X t + β 1 X t β s X t s + u t DL(s 1,..., s k )-Modell: k erklärende Variable mit maximalen Lags s i (i = 1,..., k) o1-13.tex/5

7 ADL-Modelle Modell für Y t mit autoregressivem Term: Y t = δ + β 0 X t + α 1 Y t 1 + u t wird mit ADL(1,0) bezeichnet (autoregressive, distributed lag) Lag-Operator L: LX t X t 1, L r X t = L r 1 X t 1 = X t r Damit wird das ADL(p,s) Modell Y t = δ + β 0 X t β s X t s + α 1 Y t α p Y t p + u t geschrieben als A(L)Y t = δ + B(L)X t + u t mit A(L) = 1 α 1 L... α p L p B(L) = β 0 + β 1 L β s L s o1-13.tex/6

8 Schätzung des DL-Modells keine Restriktionen Y t = δ + B(L)X t + u t mit u t IID(0, σ 2 ), X fix Probleme: Verlust von Beobachtungen Multikollinearität, wenn systematische Muster wie Trend, Zyklen, etc. Folgen: große Werte von Var{b i } geringe Mächtigkeit der Tests der β i o1-13.tex/7

9 Wahl des maximalen Lag s mit u t IID(0, σ 2 ), X fix Es gelte s S Y t = δ + B(L)X t + u t 1. KQ-Anpassung für s = 0, 1,..., S 2. Wähle als ŝ jenen Wert s, für den das adjustierte Bestimmtheitsmaß R 2 (s) maximal ist; oder das Informationskriterium AIC(s) nach Akaike minimal ist AIC(s) = ln e se s n + 2s n das Amemiya s Prognose-Kriterium PC(s) minimal ist PC(s) = e se s n k s 1 + k s n e s : Residuen des Modells mit maximalem Lag s o1-13.tex/8

10 Polynomiale Lagstruktur B(L) = β 0 + β 1 L β s L s S. Almon ( The Distributed Lag between Capital Appropriations and Net Expenditures, Econometrica, 1965): für r s, oder β i = γ 0 + γ 1 i γ r i r β = T γ polynomiale Lagstruktur Damit ergibt sich y = Xβ + u = W γ + u wobei W = XT mit T aus β = T γ. OLS-Schätzer c für γ: c = [W W ] 1 W y Var{c} = σ 2 [W W ] 1 und b = T c mit Var{b} = σ 2 T [W W ] 1 T. Test auf Gültigkeit der Restriktionen für die β i : F = S R S S n k s r o1-13.tex/9

11 Beispiel: s = 4, r = 2 Aus β i = γ 0 + γ 1 i + γ 2 i 2 für i = 1,..., 4 erhält man β 0 = γ 0 β 1 = γ 0 + γ 1 + γ 2 β 2 = γ 0 + 2γ 1 + 4γ 2 β 3 = γ 0 + 3γ 1 + 9γ 2 β 4 = γ 0 + 4γ γ 2 bzw. oder Y t = γ 0 (X t X t 4 ) +γ 1 (X t 1 + 2X t 2 + 3X t 3 + 4X t 4 ) +γ 2 (X t 1 + 4X t 2 + 9X t X t 4 ) + u t y = W γ + u wobei W = XT mit T aus β = T γ. In praktischen Anwendungen sind s und r oft wesentlich größer. o1-13.tex/10

12 Typen von Lagstrukturen (A) Endliche Lagstrukturen Arithmetisches Lag (I. Fisher, 1937) Inverses V Lag (B) Unendliche Lagstrukturen Koyck (geometrisches) Lag (L.M. Koyck: Distributed Lags and Investment Analysis, 1954) β i = β(1 λ)λ i, 0 < λ < 1 Pascal sches (verallgemeinert geometrisches) Lag β i = β(1 λ) r für r = 1: Koyck Lag r + i 1 λ i, 0 < λ < 1 i Jorgenson s rationale Lagstruktur Y t = A(L) B(L) X t + u t Gamma Lag (0 λ, α 1) β i β i β i = βi s 1 e i = β(i + 1) s 1 e λi = β(i + 1) α 1 αλ i o1-13.tex/11

13 Koyck sche Lagstruktur Mit der Lagstruktur β i = β(1 λ)λ i, i = 0, 1,... (0 < λ < 1) ergibt sich das Modell zu Y t = β(1 λ) λ i X t i + u t (1) (distributed lag oder moving average Form) Durchschnittliche Lag-Zeit: short run Effekt: β(1 λ) long run Effekt: β λ 1 λ λ λ/(1 λ) o1-13.tex/12

14 Koyck sche Lagstruktur, Forts. Mit i λ i L i X t = (1 λl) 1 X t erhält man oder Y t = β(1 λ) 1 λl X t + u t (1 λl)y t = β(1 λ)x t + (1 λl)u t Y t = λy t 1 + β(1 λ)x t + v t (2) mit v t = u t λu t 1 (2) nennt man die autoregressive (AR) Form Probleme mit (1): 1. X 0, X 1, X 2,... sind unbekannt Y t = β(1 λ)(x t +λx t λ t 1 X 1 )+β λ t +u t mit β = β(1 λ)(x 0 + λx ) 2. nichtlineares Schätzproblem Probleme mit (2): 1. nichtlineares Schätzproblem 2. stochastischer Regressor 3. korrelierte Störgrößen o1-13.tex/13

15 Zeitreihen-Modelle Das autoregressive Modell AR(1) Y t = δ + ϕy t 1 + u t, u t IID(0, σ 2 ) ist ein Spezialfall des ADL(1,0)-Modells Für die Momente gilt Erwartungswert E{Y t } = δ 1 ϕ Kovarianz-Funktion γ k = Cov{Y t, Y t k } = für k = 0, ±1,... (wenn ϕ < 1!) Autokorrelations-Funktion für k = 0, ±1,... ρ k = ϕ k ϕk 1 ϕ σ2 o1-13.tex/14

16 Allgemeinere Zeitreihen-Modelle Verallgemeinerung zum AR(p)-Modell Y t = ϕ 1 Y t ϕ p Y t p + u t, u t IID(0, σ 2 ) Noch kompliziertere Abhängigkeitsstrukturen können mit Hilfe von ARMA(p, q) beschrieben werden; dabei wird u t ersetzt durch ein MA(q)-Modell ersetzt: u t = ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q, ε t IID(0, σ 2 ) o1-13.tex/15

17 Modell-Erweiterung: Mehrgleichungsmodelle Beispiel: Marktmodell Das Marktmodell besteht aus folgenden Gleichungen: Q (n) t Q (a) t Q (n) = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t + u 1t = β 1 + β 2 P t + β 3 Z t + u 2t = Q (a) Q: nachgefragte bzw. angebotene Menge (endogen) P : Preis (endogen) Z: weitere Variable, z.b.: Preis eines Ersatzgutes (exogen) Erklärende Variable sind zufällig! Exogene Variable: vorherbestimmt (predetermined): keine serielle Korrelation mit aktueller und künftigen Störgrößen u 2,t+i, i 0 strikt exogen: keine serielle Korrelation mit Störgrößen u 2,t+i, i beliebig o1-13.tex/16

18 Mehrgleichungsmodell: Störgrößen u i : n-vektor der Störgrößen der i-ten Gleichung (i = 1, 2) E{u i } = 0 Var{u i } = σ ii I n contemporaneous correlation: Cov{u is, u jt } = σ ij wenn s = t 0 wenn s t o1-13.tex/17

19 Struktur- und Reduzierte Form Marktmodell Q t Q t = α 1 + α 2 P t + α 3 Y t + u 1t = β 1 + β 2 P t + β 3 Z t + u 2t Reduzierte Form: Q t P t = π 11 + π 12 Y t + π 13 Z t + v 1t = π 21 + π 22 Y t + π 23 Z t + v 2t mit π 11 = α 1β 2 α 2 β 1 β 2 α 2. =. v 1t v 2t = β 2u 1t α 2 u 2t β 2 α 2 = u 1t u 2t β 2 α 2 o1-13.tex/19