Lösung Übungsblatt 5

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1 Lösung Übungsblatt 5 5. Januar 05 Aufgabe. Die sogenannte Halb-Normalverteilung spielt eine wichtige Rolle bei der statistischen Analyse von Ineffizienzen von Produktionseinheiten. In Abhängigkeit von einem Parameter σ berechnet sich die Dichte dieser Verteilung durch x e σ für x 0 fx) = πσ 0 für x < 0 Gegeben sei nun eine Zufallsstichprobe X,..., X n einer halb-normalverteilten Variable X. Es gelte n = 40, n X i = 8 und n X i = 4.. Bestimmen Sie den Maximum Likelihood Schätzer ˆσ von σ.. Bestimmen Sie auf der Grundlage der allgemeinen Likelihood-Theorie) ein approximatives 95% Konfidenzintervall für σ. zu Ihrer Hilfe: EX i ) = σ, E n X i )) = n σ 4 + nσ 4 Anmerkung: In der Aufgabenstellung war ein Tippfehler nσ 4 statt nσ 4 ). Lösung:.) Die Log-Likelihood Funktion ist gegeben durch ln Lσ ) = ln ) ) π ln σ X i σ = n ln ) n π ln σ X i σ Ableiten nach σ führt auf lσ ) = n σ + Xi σ 4 Nullsetzen ergibt 0 = n + n Xi und somit ˆσ = n ˆσ n X i. Entsprechend ist ˆσ = n n X i der Maximum Likelihood Schätzer von σ.

2 .) Die Fisher Information ist gegeben durch ) Jσ ) = E n σ + Xi σ 4 ) = n 4 = n 4 = n σ 4 Hieraus folgt, dass asymptotisch σ 4 n 4σ 6 E X i ) + 4σ 8 E ) Xi ) σ 4 n 4σ 6 nσ + 4σ 8 n σ 4 + nσ 4 ) ˆσ σ N0, Jσ ) ) = N0, σ4 n ). Ein approximatives 95% Konfidenzintervall für σ ist daher durch [ˆσ.96ˆσ n, ˆσ +.96ˆσ n ] gegeben. Für die in der Aufgebenstellung angegeben Werte n = 40, n X i = 4) ergibt sich daher das Interval [0.337, 0.863]. Aufgabe. Für eine Zufallsstichprobe X,..., X n von n = 40 Beobachtungen eines normalverteilten, zweidimensionalen Zufallsvektors X ergeben sich die Schätzungen X = 0.5, S = Testen Sie die Nullhypothese H 0 : µ + µ = gegen H : µ + µ Lösung: X ist ein zweidimensionaler normalverteilter Zufallsvektor X N µ, Σ) mit µ = µ µ. Die Schätzungen des Erwartungswerts und der Kovarianzmatrix ergeben: X = 0.5.6

3 und S = Es liegt folgendes Testproblem vor: H 0 : µ + µ = H : µ + µ. Man kann das Testproblem alternativ vektoriell umschreiben H 0 : Cµ = H : Cµ, wobei C =, ). Da X normalverteilt mit N µ, Σ) ist, ist CX auch normalverteilt mit CX N Cµ, CΣC T ). Für n Beobachtungen von X gilt und nc X Cµ) T CΣC T ) C X Cµ) = n C X Cµ) T H = nc X Cµ) T CSC T ) C X Cµ) = n C X Cµ) CΣC T χ q = ) CSC T T q, n ), wobei T q, n ) Hotellings T Verteilt mit q = und n Freiheitsgraden ist. n q n )q } {{ } Somit kann H 0 nicht abgelehnt werden. T H = n C X Cµ) CSC T.735 < F,n,95%

4 Aufgabe 3. Zur Überprüfung der Wirksamkeit einer Diät wurde die jeweiligen Körpergewichte von n = 0 Personen jeweils, direkt vor und 6 Monate nach der Diät ermittelt. Person vor Diät nach Diät 6 Monate nach Diät Testen Sie die Hypothese, dass die Diät einen Einfluss auf das Körpergewicht hat mit Hilfe varianzanalytischer Methoden.. Verwenden Sie zunächst das einfache Modell der Varianzanalyse von Kapitel 4.6. Beschreiben Sie die Modellannahmen, führen Sie einen geeigneten Test durch und interpretieren Sie Ihre Resultate. zu Ihrer Hilfe: Es gilt Ȳ = 86.54, Ȳ = 8.66, Ȳ3 = sowie SQR = Verwenden Sie nun das multivariate Verfahren der Varianzanalyse. Beschreiben Sie die Modellannahmen, führen Sie einen geeigneten Test durch und interpretieren Sie Ihre Resultate. zu Ihrer Hilfe: Man erhält S = Welche paarweisen Kontraste sind signifikant? Lösung:.) Es handelt sich hier um ein Varianzkomponentenmodell, wobei die Reaktion jedes Individuums j in verschiedenen Faktorstufen i =,..., c gemessen wurde. 4

5 Modell: Y ij = µ i + ɛ ij ) = µ + α i + β j + ɛ ij ) wobei α i der Effekt der i-ten Faktorstufe für i =,..., c = 3 fester Effekt) und β j der Effekt des j-ten Individuums für j =,..., n = 0 zufälliger Effekt) ist. Identifizierbarkeit der Parameter µ, α und β wird durch folgende Nebenbedingungen beseitigt: 3 = 0 0 j= = 0. Die Signifikanz der Wirksamkeit der Diät kann durch das folgende Testproblem formuliert werden: gegen Notwendige Annahmen: H 0 : α = α = α 3 = 0 H : α i α k für mindestens ein Paar i, k). a) ɛ it sind voneinander unabhängig und normalverteilt mit ɛ it N0, σ ). b) β j sind voneinander unabhängig und normalverteilt mit β t N0, σ B ). c) ɛ it und β j sind voneinander unabhängig. Im Gegensatz zu dem multivariaten Ansatz der Varianzanalyse ist dieses Modell restriktiv. Als Schätzungen ergeben sich: ˆµ = c n nc j= y ij ˆα i = T n j= y ij ˆµ ˆβ j = c c y ij ˆµ ˆɛ ij = y ij ˆα i ˆβ j ˆµ. F -Statistik: F A = n c ˆα i c /c ) n ) 6. j= ˆɛ ij 5

6 wobei ˆα =.86 ˆα =.0 ˆα 3 = 0.6 c n j= ˆɛ ij =.607 F A > F c ),c )n ) = H 0 muss abgelehnt werden..) Der multivariate Ansatz beruht auf dem allgemeineren Modell Y j Y j N µ µ Y 3j µ 3, Σ), j =,..., n für c = 3 und eine 3 3 unbekannte Kovarianzmatrix Σ. Zu testen ist µ = µ = µ 3. Mit C = 0 0 lässt sich dies als Test von H 0 : Cµ = 0 gegen H : Cµ 0 umschreiben. Mit n = 0 und c = 3 ergibt sich die Teststatistik F = ) CȲ 9 )T CSC T ) CȲ H 0 is abzulehnen, falls F > F,8;0.95 = Für die gegebenen Daten gilt Ȳ = 86.54, 8.66, 84.84)T und daher CȲ = Wei-.8 terhin erhält man CSC T = Der beobachtete F -Wert ist daher F = = Die Nullhypothese wird also abgelehnt. 3.) Simultane Konfidenzintervalle für µ µ, µ µ 3 und µ µ 3 erhält man mit der in Abschnitt 5.3 beschriebenen Methode. Für die vorliegenden Daten gilt n = 0, d = 3 und somit mit α = 0.05 K 0.05 = Das Resultat aus Abschnitt 5.3 impliziert n )d nn d) F d,n ;0.95 = = [ a T 0.95 P X µ)) a T Sa ] K 0.05 für alle a R 3, a 0 6

7 Mit Wahrscheinlichkeit größer gleich 95% gilt daher für alle a R 3, a 0 a T Ȳ µ)) K 0.05 a T Sa a T Ȳ a T µ K 0.05 a T Sa a T µ [a T Ȳ + K 0.05 a T Sa, a T Ȳ K 0.05 a T Sa] Mit a =,, 0) T ergibt sich a T Ȳ = Ȳ Ȳ = 3.88, a T µ = µ µ und a T Sa = Das realisierte Konfidenzintervall ist somit µ µ [3.88 ± 3.549] = [0.33, 7.49] Mit a = 0,, ) T ergibt sich a T Ȳ = Ȳ Ȳ3 =.8, a T µ = µ µ 3 und a T Sa = Das realisierte Konfidenzintervall ist somit µ µ 3 [.8 ± 5.397] = [ 7.577, 3.7] Mit a =, 0, ) T ergibt sich a T Ȳ = Ȳ Ȳ3 =.7, a T µ = µ µ 3 und a T Sa =.339. Das realisierte Konfidenzintervall ist somit µ µ 3 [.7 ± 4.55] = [.850, 6.50] Nur der Unterschied µ µ ist daher signifikant. 7