Was sind Zeitreihen? Software. Literatur. Überblick. Beispiele. Grundbegriffe

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1 Kap. 1: Einführung Was sind Zeitreihen? Software Literatur Überblick Beispiele Grundbegriffe

2 1.1 Was sind Zeitreihen? Datentypen in der Ökonometrie: Querschnittsdaten Beispiel: Daten für Haushalte für das Jahr 2008 Zeitreihendaten Beispiel: BIP für die Schweiz über 25 Jahre Paneldaten Beispiele: Daten für Haushalte über 5 Jahre ( Mikropanel ) Daten für 12 Länder über 25 Jahre ( Makropanel ) Mikroökonometrie Analyse von Querschnittsdaten und Mikropanels Makroökonometrie Analyse von Zeitreihendaten und Makropanels C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap. 1-1 U Basel, FS 2009

3 1.1 Was sind Zeitreihen? Eine Zeitreihe Notation: y t, t = 1,..., T ist jede zeitlich geordnete Folge von Beobachtungen. Man unterscheidet: univariate und multivariate Zeitreihen reguläre (äquidistante) und irreguläre Zeitreihen Zeitreihen in diskreter und in stetiger Zeit Zeitreihenanalyse wird in diversen Fächern betrieben: Wirtschaftswissenschaften, Ingenieurwissenschaften (Elektrotechnik, Hydrologie), Biowissenschaften, Geowissenschaften... Die meisten Daten in Makroökonomie und Finanzwirtschaft sind Zeitreihen. Ziele der Zeitreihenanalyse: Erklärung von y t durch y t 1, y t 2,... Prognose von y T +h gegeben y 1,..., y T C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap. 1-2 U Basel, FS 2009

4 1.2 Literatur Brockwell, P.J., und Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and Forecasting, 2nd ed. New York Berlin: Springer. Cochrane, J.H. (2005). Time Series for Macroeconomics and Finance. Lecture Notes, Graduate School of Business, University of Chicago. Franke, J., Härdle, W., und Hafner, C. (2004). Einführung in die Statistik der Finanzmärkte, 2. Auflage. Berlin Heidelberg New York: Springer. Hamilton, J.D. (1994). Time Series Analysis. Princeton: Princeton University Press. Kirchgässner, G. und Wolters, J. (2005). Einführung in die moderne Zeitreihenanalyse. München: Vahlen. Lütkepohl, H. (2005). New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Berlin Heidelberg New York: Springer. Neusser, K. (2006). Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften.Wiesbaden: Teubner. Tsay, R.S. (2005). Analysis of Financial Time Series, 2nd ed. Hoboken, NJ: John Wiley. Weitere Literatur wird in der Vorlesung angegeben. C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap. 1-3 U Basel, FS 2009

5 1.3 Überblick Einführung ARMA-Prozesse Schätzung, Diagnostik und Ordnungsbestimmung Integrierte und saisonale Modelle ( Instationarität 1 ) Modelle der Volatilität evtl.: Strukturbrüche ( Instationarität 2 ) C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap. 1-4 U Basel, FS 2009

6 1.3 Überblick Nicht behandelt werden: Zustandsraummodelle und Kalman-Filter Spektraltheorie und Analyse im Frequenzbereich Klassische Prognosemethoden (exponentielles Glätten,... ) Dynamische Regressionsmodelle (autoregressive distributed lag, ADL) multiple Zeitreihen (VARs, Kointegration) C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap. 1-5 U Basel, FS 2009

7 1.3 Überblick Grundbegriffe: Stationarität vs. Instationarität (Trend-, Differenzenstationarität,...) Analyse im Zeitbereich vs. Analyse im Frequenzbereich ARMA-Prozesse und Erweiterungen (ARIMA, SARIMA, ARFIMA...) Volatilitätsmodelle ( Finance): ARCH/GARCH und Erweiterungen multivariate Zeitreihenmodelle: Vektorautoregressionen (VARs) etc. Warnung: es gibt in der Zeitreihenanalyse viele Schätzmethoden bspw. für ARMA-Modelle OLS (bedingt und unbedingt), ML (bedingt und unbedingt), Yule-Walker... C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap. 1-6 U Basel, FS 2009

8 1.4 Software Diese Veranstaltung verwendet das Paket R: (aktuelle Version: 2.8.1). Die Grundversion von R enthält bereits diverse Funktionen zur Zeitreihenanalyse: Schätzung und Simulation von ARMA-Prozessen, Berechnung der Autokovarianzfunktion,... Nützliche Zusatzpakete sind: forecast: Prognosen tseries: Zeitreihen- und Finanzökonometrie urca: Einheitswurzeln und Kointegration vars: (strukturelle) Vektorautoregressionen strucchange: Strukturbruchtests Rmetrics: Sammlung von Zusatzpaketen zur Finanzökonometrie (u.a. fseries, fgarch) Ausführlichere Übersicht: CRAN Task View Time Series Analysis C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap. 1-7 U Basel, FS 2009

9 1.5 Beispiele Wheat Prices (Beveridge) CPI (USA) bev cpi Time Time C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap. 1-8 U Basel, FS 2009

10 1.5 Beispiele DAX DAX Renditen dax cpi Time Time C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap. 1-9 U Basel, FS 2009

11 1.5 Beispiele Nile River Minima, AirPassengers NileMin AirPassengers Time Time C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

12 1.5 Beispiele Dutch Advertising radio tv Time C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

13 1.5 Beispiele Pepper Prices white black Time C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

14 1.6 Deskriptive Zeitreihenanalyse Methode 1: Komponentenmodell y t = g t + z t + u t Zeitreihe ist Summe aus glatter, zyklischer und irregulärer Komponente. y t = g t z t u t, lässt sich durch Logarith- Multiplikative Version des Komponentenmodells: mieren in additive Version überführen Beispiele: g t = β 0 + β 1 t β p t p (polynomialer Trend der Ordnung p) g t = e β 0+β 1 t, damit log g t =: β 0 + β 1 t (exponentieller Trend) z t = δ 1 I Q1 (t) + δ 2 I Q2 (t) + δ 3 I Q3 (t) + δ 4 I Q4 (t) ( Saison-Dummies ) Schätze die Parameter mittels OLS. C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

15 1.6 Deskriptive Zeitreihenanalyse Methode 2: Filtern der Zeitreihe, d.h. Anwendung eines Operators {y t } { l j= k a j y t j } Durch geschickte Wahl der Filtergewichte a j lassen sich bestimmte Komponenten (Trend, Saison) bestimmen bzw. eliminieren. Klassisches Gebiet in der ingenieurwissenschaftlichen Zeitreihen-Literatur. Vgl. Brockwell und Davis (2002, Kap. 1) und ökonomischen Literatur zu Saisonbereinigung. Beispiel: (zweiseitiger) gleitender Durchschnitt (der Ordnung q) {y t } { 1 2q + 1 q j= q y t j } d.h. a j = 0, j > q, und a j = 1/(2q + 1), j q. Filter in den Wirtschaftswissenschaften: X11, X12, Hodrick-Prescott, Baxter-King,... Beispiel: AirPassengers, Zerlegung mit R-Funktion decompose() (Es gibt bessere Methoden, siehe Funktion stl().) C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

16 1.6 Deskriptive Zeitreihenanalyse Decomposition of additive time series random seasonal trend observed Time C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

17 1.7 Grundbegriffe Operatoren der Zeitreihenanalyse: Lag-Operator L (auch Backshift-Operator B) Ly t = y t 1 Differenzenoperator := 1 L y t = y t y t 1 saisonaler Differenzenoperator S := 1 L S S y t = y t y t S Beispiele: (a) Finance: Renditen (stetige oder Log-Renditen ) sind log y t = log y t log y t 1 (b) saisonale Differenzen: typische Fälle sind Quartals- bzw. Monatsdaten (S = 4 oder S = 12) C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

18 1.7 Grundbegriffe Algebra der Operatoren: Es kann gerechnet werden wie mit reellen Variablen, bspw. ist analog L k, L k, L 0,.... Ähnlich gilt L 2 y t = L(Ly t ) = Ly t 1 = y t 2 oder einfacher 2 y t = ( y t ) = (y t y t 1 ) = y t y t 1 = y t 2y t 1 + y t 2 2 y t = (1 L) 2 y t = (1 2L + L 2 )y t = y t 2y t 1 + y t 2 Wichtig sind später Polynome im Lag-Operator φ(l) := 1 φ 1 L φ 2 L 2... φ p L p C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

19 1.7 Grundbegriffe Modelliere Zeitreihe als Realisation einer Zufallsvariablen, eines stochastischen Prozesses: Definition 1.1. Ein stochastischer Prozess (SP) {y t } ist eine mit t T indexierte Familie von Zufallsvariablen. Diskrete Zeit: T = N oder T = Z Stetige Zeit: T = [0, ) oder T = R Oft steht Zeitreihe sowohl für die Realisation als auch für das stochastische Modell. Beispiel: stochastischer Prozess gegeben durch y t = ɛ t, ɛ t N (0, σ 2 ɛ ) u.i.v. Aber: typische Zeitreihen sehen abhängig aus. C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

20 1.7 Grundbegriffe Definition 1.2. Sei {y t } ein SP mit Var(y t ) < für alle t. Dann heisst die Funktion µ y (t) = E(y t ) die Mittelwertfunktion und γ y (t, s) = Cov(y t, y s ) = E((y t Ey t )(y s Ey s )), s, t Z die Autokovarianzfunktion von {y t }. Zur Erinnerung: Cov(aX + by + c, Z) = acov(x, Z) + bcov(y, Z) C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

21 1.7 Grundbegriffe Definition 1.3. Ein SP heisst streng stationär, falls (y t1,..., y tn ) l N d = (y t1 +l,..., y tn +l), (t 1,..., t n ) N n und schwach stationär, falls µ y (t) = µ für alle t und γ y (t, s) = γ y (t s, 0) = γ y (h) für alle t, s. Wir betrachten meist schwach stationäre Prozesse. Definition 1.4. Sei {y t } ein stationärer SP. Dann heisst die Funktion ρ y (h) = γ y(h) γ y (0), h Z die Autokorrelationsfunktion (ACF) von {y t }. C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

22 1.7 Grundbegriffe Beispiele: (stationäre Prozesse) (a) Ein Prozess {ɛ t } heisst ein (schwaches) Weisses Rauschen (WR), falls E(ɛ t ) = µ für alle t, Cov(ɛ t, ɛ t h ) = 0 für alle h 0 und Var(ɛ t ) = const. (obda µ = 0) Autokovarianzfunktion ist also γ y (h) = { σ 2, h = 0, 0, sonst. Falls die ɛ t sogar u.i.v., dann starkes Weisses Rauschen. (Wichtig für Theorie und für nichtlineare Modelle, z.b. GARCH-Modelle in Finance.) Weisses Rauschen ist der Grundbaustein für komplexere Zeitreihenmodelle. C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

23 1.7 Grundbegriffe (b) MA(1)-Prozess: y t = ɛ t + θɛ t 1, {ɛ t } W R(0, σ 2 ɛ ). Autokovarianzfunktion ist γ y (h) = (1 + θ 2 )σ 2, h = 0, θσ 2, h = ±1, 0, sonst. Prozess ist also für alle Werte von θ stationär. Da die ACF nach Lag 1 abbricht, sagt man, der Prozess ist schwach abhängig oder er hat kurzes Gedächtnis. Beachte auch, dass ρ y (1) 1/2 (warum?). Es gibt also keinen MA(1)-Prozess mit ρ y (1) = 0.8. C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

24 1.7 Grundbegriffe Beispiele: (instationäre Prozesse) (a) (Random Walk, Irrfahrt) y t = y t 1 + ɛ t = t ɛ j, y 0 = 0, {ɛ t } W R(0, σɛ 2 ) j=1 Dieser Prozess ist instationär (warum?), aber differenzenstationär, denn { y t } = {ɛ t }. Einen solchen Prozess nennt man integriert der Ordnung 1. (b) (Prozess mit Strukturbruch) y t = { x t, t < 1974, x t + c, t 1974 (c 0). C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

25 1.7 Grundbegriffe Satz 1.5. Die Autokovarianzfunktion hat folgende Eigenschaften: (a) γ y (0) 0 (b) γ y (h) γ y (0) (c) γ y (h) = γ y ( h) (d) i,j a iγ y (t i t j )a j 0 für alle n und alle (a 1,..., a n ) und (t 1,..., t n ). Analog gilt für die ACF: Satz 1.6. Die Autokorrelationsfunktion hat folgende Eigenschaften: (a) ρ y (0) = 1 (b) ρ y (h) 1 (c) ρ y (h) = ρ y ( h) (d) i,j a iρ y (t i t j )a j 0 für alle n und alle (a 1,..., a n ) und (t 1,..., t n ). C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009

26 1.7 Grundbegriffe Standardmodelle der Zeitreihenanalyse sind: AR(1)-Prozess: y t = φy t 1 + ɛ t MA(1)-Prozess: y t = ɛ t + θ 1 ɛ t 1 AR(p)-Prozess: y t = φ 1 y t φ p y t p + ɛ t MA(q)-Prozess: y t = ɛ t + θ 1 ɛ t θ q ɛ t q ARMA(p, q)-prozess: y t = φ 1 y t φ p y t p + ɛ t + θ 1 ɛ t θ q ɛ t q Dabei jeweils {ɛ t } W R(0, σɛ 2 ). C. Kleiber: Analyse ökonomischer Zeitreihen Kap U Basel, FS 2009