Kap. 12: Regression mit Zeitreihendaten und Prognosemodelle

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1 Kap. 12: Regression mit Zeitreihendaten und Prognosemodelle Motivation Grundbegriffe Autoregressionen (AR-Modelle) Dynamische Regressionsmodelle (ADL-Modelle) Nichstationarität Ausblick

2 12.1 Motivation Zeitreihendaten: gleiche Untersuchungseinheit über mehrere Perioden. Betrachte hier nur aufeinanderfolgende Daten mit gleichem zeitlichem Abstand ( reguläre Zeitreihe ). Notation: Y t, t = 1,..., T Beispiele: BIP für die Schweiz tägliche Wechselkurse CHF/EUR Wozu Zeitreihendaten? Vorhersagemodelle/Prognosemodelle Was ist Inflationsrate 2010? Schätzung dynamischer kausaler Effekte Wie wirkt Zinssenkung der Zentralbank auf Inflation oder Arbeitslosigkeit? C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

3 12.1 Motivation Arbeitslosenquote USA Inflationsrate USA USMacroSW[, "unemp"] * diff(log(usmacrosw[, "cpi"])) Time Time C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

4 12.1 Motivation Neue Begriffe: zeitliche Verzögerungen Korrelation über die Zeit (Autokorrelation) dynamische Regressionsmodelle (AR, ADL) Prognosemodelle vs. Schätzung kausaler Effekte: Prognosen ( Vorhersagen ) qualitativ anders als Schätzung kausaler Effekte: es geht hauptsächlich um externe Validität (Extrapolation über die Zeit) Verzerrung durch vergessene Variablen egal (!) Interpretation der Koeffizienten unwichtig R 2 nun wichtig C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

5 12.2 Grundbegriffe Y t j heisst j-te Verzögerung (engl. lag ) von Y t Y t := Y t Y t 1 heisst erste Differenz von Y t log Y t := log Y t log Y t 1 heisst erste Differenz der Logarithmen, entspricht ungefähr prozentualer Änderung ( Renditen von Finanzzeitreihen) C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

6 12.2 Grundbegriffe Beispiel: Zeitreihen in R R> dim(usmacrosw) [1] R> dimnames(usmacrosw)[[2]] [1] "unemp" "cpi" "ffrate" "tbill" "tbond" "gbpusd" "gdpjp" R> tsp(usmacrosw) [1] Es gibt Funktionen für typische Transformationen der Zeitreihenanalyse, wie z.b. lag(), diff() C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

7 12.2 Grundbegriffe Beispiel: erste Verzögerung und erste Differenz cpi lag(cpi, -1) diff(cpi) 1957(1) NA NA 1957(2) (3) (4) (1) (2) (3) (4) (1) (2) Warnung: Vorsicht bei Vorzeichen in lag()! C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

8 12.2 Grundbegriffe USMacroSW[, "tbill"] Zins USMacroSW[, "gbpusd"] Wechselkurs Time Time USMacroSW[, "gdpjp"] 0e+00 3e+05 BIP Japan Time diff(log(usmacrosw[, "gbpusd"])) Wechselkursrenditen Time C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

9 12.2 Grundbegriffe Autokovarianz und Autokorrelation: Cov(Y t, Y t 1 ) heisst Autokovarianz zum Lag 1 Cov(Y t, Y t j ) heisst Autokovarianz zum Lag j damit Autokorrelation zum Lag j Corr(Y t, Y t j ) := Cov(Y t, Y t j ) Var(Yt )Var(Y t j ) =: ρ j ρ j als Funktion von j heisst (theoretische) Autokorrelationsfunktion Dies sind Populationsparameter nur sinnvoll, wenn konkretes Modell für Y t vorliegt. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

10 12.2 Grundbegriffe Die empirischen Autokovarianzen und -korrelationen sind Schätzungen dieser Objekte: empirische Autokorrelation zum Lag j ˆρ j = Ĉov(Y t, Y t j ) Var(Y t ) Var(Y t j ) mit Ĉov(Y t, Y t j ) = 1 T j 1 T t=j+1 (Y t Ȳj+1,T )(Y t j Ȳ1,T j) wobei Ȳ j+1,t Mittel über Y t berechnet aus t = j + 1,..., T, etc. ˆρ j als Funktion von j heisst (empirische) Autokorrelationsfunktion C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

11 12.2 Grundbegriffe Inflationsrate ACF der Inflationsrate 4 * diff(log(cpi)) ACF Index Lag C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

12 12.2 Grundbegriffe Stationarität: Zeitreihe heisst stationär, falls Verteilungseigenschaften über die Zeit unveränderlich, d.h. falls gemeinsame Verteilung von (Y s+1,..., Y s+t ) nicht von s abhängt. Andernfalls heisst Zeitreihe nichtstationär oder instationär. Ein Paar von Zeitreihen X t und Y t heisst gemeinsam stationär, falls gemeinsame Verteilung von ((X s+1, Y s+1 ),..., (X s+t, Y s+t )) nicht von s abhängt. Andernfalls heisst Zeitreihe nichtstationär oder instationär. Stationarität bedeutet intuitiv: Gegenwart ist wie Vergangenheit und wie Zukunft (in einem statistischen Sinn...) Wir betrachten stationären Fall Ausgangspunkt und Grundbaustein für Zeitreihenanalyse. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

13 12.2 Grundbegriffe Inflationsrate ACF Inflationsrate infl ACF Index Lag diff(inflationsrate) ACF diff(inflationsrate) diff(infl) ACF Index Lag C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

14 12.3 Autoregression Naheliegende Idee zur Modellbildung: Zukunft ist Funktion von Gegenwart und Vergangenheit Autoregression ist Regressionsmodell, in dem Y t auf verzögerte Werte regressiert wird Anzahl der verwendeten Verzögerungen heisst Ordnung des Modells Bsp.: im AR(p)-Modell wird Y t auf Y t 1,..., Y t p regressiert einfachster Fall ist AR(1) mit Y t = β 0 + β 1 Y t 1 + u t keine kausale Interpretation von β 0, β 1 falls β 1 = 0 ist Y t 1 nicht hilfreich zur Vorhersage von Y t Schätzung über OLS möglich Test von H 0 : β 1 = 0 ist Test der Hypothese, dass Y t 1 nicht hilfreich zur Vorhersage von Y t C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

15 12.3 Autoregression Umsetzung in R: diverse Möglichkeiten: man kann direkt mit der OLS-Schätzfunktion lm() arbeiten, dann muss man allerdings die X-Matrix aus Verzögerungen, Differenzen etc. selbst bauen. Komfortabler sind die Pakete dyn und dynlm, die hier eine Formelschreibweise zur Verfügung stellen. Mit Paket dynlm: R> library("dynlm") R> infl <- 4 * 100 * diff(log(cpi)) R> infl_ar1 <- dynlm(d(infl) ~ L(d(infl)), start = c(1962, 1), + end = c(2004, 4)) R> summary(infl_ar1) Angesichts t-statistik ist Y t 1 hier zur Prognose nützlich. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

16 12.3 Autoregression Time series regression with "zooreg" data: Start = 1962(1), End = 2004(4) Call: dynlm(formula = d(infl) ~ L(d(infl)), start = c(1962, 1), end = c(2004, 4)) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) L(d(infl)) Residual standard error: 1.66 on 170 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 10.2 on 1 and 170 DF, p-value: C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

17 12.3 Autoregression Terminologie: (dt. vs. engl.) Prognose (prediction) bedeutet geschätzter (erwarteter) Wert von Y für eine Beobachtung aus der Stichprobe, die zur Schätzung des Regressionsmodells verwendet wurde Vorhersage (forecast) bedeutet geschätzter (erwarteter) Wert von Y für eine Beobachtung nicht aus der Stichprobe, die zur Schätzung des Regressionsmodells verwendet wurde (sondern aus der Zukunft) Notation: Y t t 1 Vorhersage von Y t unter Verwendung von Y t 1, Y t 2,... und der wahren (unbekannten) βs (Population) Ŷt t 1 Vorhersage von Y t unter Verwendung von Y t 1, Y t 2,... und der ˆβs (Stichprobe), geschätzt aus den Daten bis t 1 Beispiel AR(1): Y t t 1 = β 0 + β 1 Y t 1 bzw. Ŷt t 1 = ˆβ 0 + ˆβ 1 Y t 1 C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

18 12.3 Autoregression Prognosefehler: Ein-Schritt-Prognosefehler ist Y t Ŷt t 1 Beachte Terminologie: Residuum innerhalb der Stichprobe Prognosefehler ausserhalb der Stichprobe Mittlerer quadratischer Prognosefehler ist E(Y t Ŷt t 1) 2 (Analogie zur Varianz), besser zu interpretieren ist dessen Wurzel (Analogie zur Standardabweichung): (root mean square forecast error). RMSF E = E(Y t Ŷt t 1) 2 RMSFE misst Grössenordnung eines typischen Prognosefehlers. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

19 12.3 Autoregression Beispiel: AR(1) für Periode 1962(1) bis 2004(4) war Infl t = Infl t 1 Dabei Infl 2004(4) = 1.882, damit Vorhersage Infl 2005(1) = = Damit ist Vorhersage der Inflationsrate selbst: Înfl 2005(1) = Infl 2004(4) + Infl 2005(1) = = Dies muss mit dem wahren Wert verglichen werden. Damit ist Vorhersagefehler = Andererseits ist R 2 dieser Regression nur ca. 5%. Standardfehler der Regression ist 1.66, dies ist Schätzung des RMSFE. (Dies ignoriert aber, dass Regressionskoeffizienten geschätzt wurden!) C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

20 12.3 Autoregression Neues Modell: AR(4) R> infl_ar4 <- dynlm(d(infl) ~ L(d(infl), 1:4), + start = c(1962, 1), end = c(2004, 4)) R> coeftest(infl_ar4) t test of coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) L(d(infl), 1:4) L(d(infl), 1:4) e-05 L(d(infl), 1:4) L(d(infl), 1:4) Dieses Modell hat R 2 von Test auf Weglassen der 3 neuen Regressoren liefert F = also nicht weglassen. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

21 12.3 Autoregression Bemerkung: Warum überhaupt Modell für Inf l, nicht Inf l selbst? AR(1)-Modell für Infl ist ein AR(2)-Modell für Infl Y t = β 0 + β 1 Y t 1 + u t also Y t Y t 1 = β 0 + β 1 (Y t 1 Y t 2 ) + u t und damit Y t = β 0 + (1 + β 1 )Y t1 β 1 Y t 2 + u t Problem: Infl sieht nicht stationär aus OLS verzerrt (nach unten) falls β 1 = 1, ist dies Modell für instationären Prozess (s.u.) bekannte Theorie für Regression funktioniert nicht mehr mit Infl bewegen wir uns in bekanntem Rahmen C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

22 12.4 Dynamische Regressionsmodelle Erweiterung von Autoregressionen: Autoregressionen mit verteilten Verzögerungen (autoregressive distributed lags, ADL): Y t = β 0 + β 1 Y t β p Y t p + δ 1 X t δ q X t q + u t Notation: ADL(p, q) Annahme: E(u t Y t 1, Y t 2,..., X t 1, X t 2,...) = 0 Modell lässt sich erweitern auf mehr als einen zusätzlichen Prädiktor: Y t = β 0 + β 1 Y t β p Y t p + δ 11 X 1,t δ 1q1 X 1,t q δ 1k X k,t δ kqk X k,t q u t Beispiel: Phillipskurve beschreibt Zusammenhang zwischen Inflation und Arbeitslosigkeit. Ergänze also Modell für Inflationsrate um Terme mit Arbeitslosenrate. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

23 12.4 Dynamische Regressionsmodelle R> infl_adl44 <- dynlm(d(infl) ~ L(d(infl), 1:4) + L(unemp, 1:4), + data = USMacroSW, start = c(1962, 1), end = c(2004, 4)) R> coeftest(infl_adl44) t test of coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) L(d(infl), 1:4) e-07 L(d(infl), 1:4) e-05 L(d(infl), 1:4) L(d(infl), 1:4) L(unemp, 1:4) e-08 L(unemp, 1:4) L(unemp, 1:4) L(unemp, 1:4) R 2 stark verbessert auf wichtig für Prognosen. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

24 12.4 Dynamische Regressionsmodelle Test für Granger-Kausalität: (nach Clive Granger, Nobelpreis 2003) Teste simultan Signifikanz von Regressoren in dynamischem Regressionsmodell (ADL) mittels üblichem F -Test Test heisst Granger-Kausalitätstest Sehr unglückliche Bezeichnung! Nur ein Test auf prognostischen Gehalt einer Gruppe von Variablen im ADL-Modell, keine Ursache-Wirkungsbeziehung. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

25 12.4 Dynamische Regressionsmodelle R> waldtest(infl_ar4, infl_adl44) Wald test Model 1: d(infl) ~ L(d(infl), 1:4) Model 2: d(infl) ~ L(d(infl), 1:4) + L(unemp, 1:4) Res.Df Df F Pr(>F) e-07 Direkter Test in R über Funktion grangertest() aus Paket lmtest ebenfalls möglich. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

26 12.4 Dynamische Regressionsmodelle Annahmen für Regression mit Zeitreihendaten: (A1) E(u t Y t 1, Y t 2,..., X t 1, X t 2,...) = 0. (A2) (Y t, X t1,..., X tk ) sind gemeinsam stationär sowie (Y t, X t1,..., X tk ) und (Y t j, X t j,1,..., X t j,k ) werden unabhängig für j (A3) X t1,..., X tk und Y t haben je 4 Momente (A4) keine perfekte Multikollinearität Unter diesen Annahmen Inferenz wie üblich. Warum sind (A1) und (A2) anders als früher? C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

27 12.5 Nichtstationarität Nichtstationarität: Verteilung von (X t,..., X t+m ) hängt von t ab. Zeitreihen können auf viele Arten instationär sein. In Ökonometrie insb. zwei Typen von Instationarität relevant: Trends Strukturbrüche C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

28 12.5 Nichtstationarität Trends: unterscheide zwischen deterministischen und stochastischen Trends. Beispiel (deterministischer Trend): Z t = β 0 + β 1 t + Y t, Y t eine stationäre Zeitreihe Beispiel (stochastischer Trend): Y t = Y t 1 + u t, mit u t u.i.v., heisst Random Walk Viele ökonomische Zeitreihen lassen sich gut durch Modelle mit stochastischen Trends beschreiben. Es gibt aber Komplikationen: ˆβ i verzerrt (zu klein) t-statistiken sind nicht mehr approximativ normalverteilt Scheinregressionen C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

29 12.5 Nichtstationarität Strukturbrüche: bedeutet, dass Koeffizienten des Modells nicht über die ganze Stichprobe konstant sind. Beispiel: AR(1)-Modell mit einem Strukturbruch Y t = β 0 + β 1 Y t 1 + u t gilt nur für t = 1,..., t, für t = t + 1,..., T gilt aber Y t = β 0 + β 1 Y t 1 + u t Aber: es kann auch mehrere Brüche geben, oder Koeffizienten könnten sich kontinuierlich ändern, oder... Einfachster Strukturbruchtest heisst Chow-Test erfordert, dass Zeitpunkt des potentiellen Bruchs bekannt. Heute gibt es auch Tests, bei denen Zeitpunkt nicht bekannt sein muss. C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

30 12.6 Ausblick Offene Fragen: wie bestimmt man Anzahl der Verzögerungen (Ordnung des Modells)? Informationskriterien (AIC, BIC) kann man testen, ob eine Zeitreihe (in)stationär ist? Einheitswurzel- und Stationaritätstests (Dickey-Fuller, KPSS,...) sind dynamische Regressionsmodelle auch bei instationären Zeitreihen erlaubt? Kointegration wie kann man sich in Zeitreihen gegen Heteroskedastie und unvollständig modellierte Autokorrelation absichern? HAC-Schätzung der Standardfehler (heteroskedastie- und autokorrelationskonsistent). Bsp.: Newey-West-Korrekturen Finanzzeitreihen haben stark schwankende Volatilität GARCH-Modelle C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

31 12.6 Ausblick Nützliche R-Pakete: tseries, urca: Einheitswurzeln, Kointegration strucchange: Strukturbrüche forecast: Prognosen Rmetrics: (grosse!) Sammlung von Paketen zu Finanzökonometrie, u.a. fgarch für GARCH-Modelle Zu Ökonometrie allgemein siehe auch CRAN Task View: Computational Econometrics C. Kleiber: Ökonometrie 1 Kap U Basel, HS 2008

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