Adaptive Systeme. Sommersemester Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn. Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff
|
|
- Tobias Abel
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Adaptive Systeme Sommersemester 2015 Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 1
2 Adaptive Systeme Adaptives System: ein System, das sich durch ein besonderes Anpassungsvermögen an seine Umgebung auszeichnet; das die Möglichkeit hat, auf deren (zufällige und/oder zeitlichen) Veränderungen zu reagieren und sich damit auf diese einzustellen. adaptive system [ə dap tiv sis təm] (system engineering) A system that can change itself in response to changes in its environment in such a way that its performance improves through a continuing interaction with its surroundings. ( ) Frage: Ist die Änderung deterministisch oder zufällig und was ist denn zufällig? Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 2
3 Ein Ausflug in zufällige Signale Was sind zufällige (stochastische) Signale alle Signale, die sich nicht in ihrem zeitlichen Verlauf durch eine mathematische Vorschrift angeben lassen Signal zufällig deterministisch Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 3
4 Zufällige Signal Wie lassen sich zufällige Signale beschreiben Beschreibung durch Wahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastik) Mathematisch durch die: Verteilungsfunktion: Verteilungsdichtefunktion: F X (x) p X (x)= d F X (x) dx Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 4
5 Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion F X (x) ist eine nichtnegative stetig wachsende Funktion zwischen 0 1. Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit Pr { X x an } Es gilt: Pr { X x }=F X (x)= x p X (x)dx Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 5
6 Verteilungsdichtefunktion Die Verteilungsdichtefunktion p X (x) ist die Ableitung der Verteilungsfunktion p X (x)= d F X (x) dx x F X ( x)= p X ( x)dx Interpretation: Die Fläche unter der Verteilungsdichtefunktion bis zu einer vorgegeben Grenze x stellt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Realisierungen einer Zufallsvariablen X dar. Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 6
7 Eigenschaften und Besonderheiten Ist die Verteilungsfunktion stetig, ist die Zufallsvariable kontinuierlich Ist die Verteilungsfunktion nicht stetig, ist die Zufallsvariable diskret Beispiel: Würfel Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 7
8 Warum brauchen wir das? Eine Simulation von Zufallszahlen im Rechner kann nur eine endliche Zahl unterschiedlicher Zahlen erzeugen. Daher sind alle Zufallszahlen einer digitalen Simulation diskret und wiederholen sich. Sie sind keine echten Zufallszahlen. Sie werden auch als Pseudozufallszahlen (Pseudozufallsvariablen) bezeichnet. Die Wiederholungsperiode hängt von der Wortbreite des Rechner ab. Eine Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen: Linear rückgekoppeltes Schieberegister Wiederholungsperiode 2 B - 1 (B = Anzahl der Bits) Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 8
9 Erzeugung von Zufallszahlen Matlab: x = rand(...); % gleichverteilte Zufallszahlen (0...1) x = randn(...); % gaußverteilte Zufallszahlen C / C++ x = rand(); /*Zufallszahl zwischen */ Verteilungsdichtefunktion Verteilungsfunktion jeweils Werte In der Simulation Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 9
10 Zufallszahlen als Modell Zufallszahlen als Modelle für Störungen Signalverfälschung durch Überlagerung von Rauschen Modell: gaußverteilte Zahlen Zufallszahlen als Modelle für Signale, z.b. Lottozahlen Modell: gleichverteilte Zahlen zwischen 1 49 Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 10
11 Analyse des Prozesses (1) Ein stochastischer Prozess X(t,ω) kann als eine Funktion angesehen werden, die von zwei Variablen abhängig ist, von der Zeit t und einer Zufallsvariablen X(ω i ). Die Ereignismenge ω i. stammt aus dem Ereignisraum Ω, der den stochastischen Prozess darstellt. Alle sprechen gleichzeitig unterschiedliche Texte Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 11
12 Analyse des Prozesses (2) Hier spricht nur einer Nur einer spricht seinen Text Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 12
13 Analyse des Prozesses (3) e i n s Alle sprechen gleichzeitig nur ein Zeichen Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 13
14 Analyse des Prozesses (4) b Nur einer spricht nur ein Zeichen Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 14
15 Handhabung des Prozesses Wenn wir sicherstellen können, dass eine Zeitfolge oder eine Zufallsvariable den stochastischen Prozess beschreibt, dann können entweder nur Zeitfolge oder nur die Zufallsvariable betrachten werden Das ist gegeben, wenn der Prozess ergodisch ist Es gilt dann: Zeitmittel x(t) = µ x (t) Scharmittel Ist der Prozess auch noch stationär, dann ändern sich seine statistischen Eigenschaften nicht mit der Zeit Es gilt dann: Zeitmittel x(t) = µ x Scharmittel Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 15
16 Handhabung des Prozesses Analyse über eine Musterfolge im Zeitbereich (Simulation) Analyse über die Verteilungsdichtefunktion (Theorie) kontinuierlich diskret Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 16
17 Wichtige Kenngrößen von Prozessen (1) Diskrete Prozesse: - Die Integration wird zu einer Summe über die k Zufallswerte x k - Das Produkt p X (x) dx wird zur Wahrscheinlichkeit p k der Zufallszahl x k Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 17
18 Wichtige Kenngrößen von Prozessen (2) Korrelation = beschreibt die Abhängigkeit (Verwandtschaft) zwischen statistischen Prozessen (auch als Verbundmoment bezeichnet) Autokorrelationsfunktion (AKF) = statische Abhängigkeit zwischen Werten des gleichen Prozesses zu unterschiedlichen Zeitpunkten R XX (τ)=e [x(t) x(t+ τ)] ρ XX (τ)= R XX (τ) R XX (0) normiert Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) = statische Abhängigkeit zwischen Werten unterschiedlichen Prozessen R XY (τ)=e [x(t) y(t+ τ)] ρ XY (τ)= R XY (τ) R XX (0) R YY (0) normiert Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 18
19 Beispiele für Korrelation Zufallssignal, weißes Rauschen keine Korrelation Sprachsignal mit zwei unterschiedlichen Segmenten hohe Korrelation geringe Korrelation Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 19
20 Bestimmung von Kenngrößen Mittelwert: µ x = 1 N N x(n) n=1 Varianz: N σ x 2 = 1 N n=1 x 2 (n) µ x 2 AKF: N k R XX (k )= 1 N n=1 x(n) x(n+ k ) Spektrum (LDS): S XX (k )= F {R XX (k )} 2 Wiener-Kintchine-Theorem AKF und LDS sind wechselseitige Fouriertransformationen Spektrumsschätzung: S XX (k)= 1 Anz Block N 1 S XX (k )= 1 N n=0 Anz block i=1 1 b len i b len 1 n=(i 1) b len x(n)e j 2 π x(n)e j 2 π n k 2 N nk 2 N Periodogramm über N Werte gemitteltes Periodogramm über Anz Block der Länge b len Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 20
21 Ergänzungen zur Theorie Abtastfrequenz f abt [Hz] Abtastzeit T = 1 f abt T Dauer = Signaldauer [s], Frequenzauflösung T Ausschnitt = NT Signalausschnitt [s] Δ f = T Dauer Abtastwerte = T Dauer f abt der Fouriertransf. T Ausschnitt T 0 T 0 N T 0 = 1s, f abt = Abtastfrequenz [Hz] [s] Abtasttheorem f abt 2 f grenz, f grenz = größte im Signal vorkommende Frequenz f abt = maximale Bandbreite des abgetasteten Signals Fouriertransformation in Matlab fft() : Spektrum als Betrag B abs() Spektrum als Betrag B mit fftshift() N X (k )= n=1 x(n)e j 2 π (n 1)(k 1) N B(k) = ( X (k)) N für 0 f abt B(k) fftshift ( X (k)) = für - 0,5 f N abt 0,5 f abt Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 21
22 Einige Bemerkungen R XX (k) für k = 0 für mittelwertfreie (µ X =0) Signale ist R XX (0) die Varianz x 2 sonst R XX (0) = x 2 + µ x 2 R XX (k) = 0 für k 0 keine Korrelation zwischen Signalwerten im Abstand k R XX (k) = 0 für alle k 0 weißes Rauschen (beinhaltet alle Frequenzen) sonst kein weißes Rauschen S XX (0) 0 das Signal x(n) hat einen Gleichspannungsanteil (f = 0) S XX (k) = const das Signal x(n) beinhaltet alle Frequenzen(weißes Rauschen) sonst kein weißes Rauschen R XX (0)= S XX (k) Leistung im Zeitbereich = Leistung im Frequenzbereich k (Parsevalsche Theorem) AKF LDS AKF und LDS sind wechselseitige Fouriertransformierte (Wiener-Kintchine Theorem) Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 22
23 Fazit stochastischer Prozess (1) Sie sind Modelle für reale Prozesse wie Ergodisch: eine Musterfolge kann verwendet werden Bedingung: Zeitmittel = Scharmittel Stationär: die statistischen Eigenschaften ändern sich zeitlich nicht Bedingung : µ(t) = µ = const (schwache Stationarität) R XX (t 0, ) = R XX ( ) (starke Stationarität) AKF nur vom Zeitunterschied abhängig und nicht vom Zeitpunkt t 0 Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 23
24 Übung: Stationärer Prozess Erzeugen Sie einen gaußverteilten Prozess der Dauer 1 s für eine Abtastfrequenz von Hz (CD-Qualität) Suchen Sie den minimalen und den maximalen Wert, den Mittelwert, die Varianz. Bestimmen Sie die Verteilungsdichtefunktion p X (x) und vergleichen Sie diese mit der Theorie Bestimmen Sie die ersten k = 10 Autokorrelationswerte R XX ( k) Was stellen Sie bei der Betrachtung der AKF fest? Bestimmen Sie das Leistungsdichtespektrum (LDS) S XX (k) über das Periodogramm (b len = 441, Frequenzauflösung 100 Hz) Was stellen Sie bei der Betrachtung des LDS fest? Welches Fazit ziehen Sie aus dieser Betrachtung? p X (x)= 1 x 2 2 π e 2 Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff 24
Kapitel 8: Zeitdiskrete Zufallssignale
ZHAW, DSV2, 2007, Rumc, 8-1 Kapitel 8: Zeitdiskrete Zufallssignale Inhaltsverzeichnis 1. STOCHASTISCHER PROZESS...1 2. STATISTISCHE EIGENSCHAFTEN EINER ZUFALLSVARIABLEN...2 3. STATISTISCHE EIGENSCHAFTEN
MehrStatistische Kennwerte und -funktionen. Dr.-Ing. habil. H. Nobach
Statistische Kennwerte und -funktionen Dr.-Ing. habil. H. Nobach 1. Einführung Statistische Kennwerte und -funktionen, wie Mittelwert Varianz Wahrscheinlichkeitsdichte Autokorrelation spektrale Leistungsdichte
MehrVerfahren zur Datenanalyse gemessener Signale
Verfahren zur Datenanalyse gemessener Signale Dr. rer. nat. Axel Hutt Vorlesung 4 zum Übungsblatt Aufgabe 1: sin( (f 3Hz)5s) sin( (f +3Hz)5s) X T (f) 1 i f 3Hz f +3Hz Nullstellen: T=5s: T=1s: f=3hz+2/5s,
MehrLinearer und quadratischer Mittelwert
Linearer und quadratischer ittelwert Erwartungswerte (auch Schar- oder Ensemblemittelwerte) betrachtet wird zunächst eine große Anzahl von Zufallssignalen; dabei ist x k (t) die k-te von insgesamt Realisierungen
MehrProf. Dr. Stefan Weinzierl Aufgabe: Amplitudenstatistik analoger Audiosignale. Abb. 1: WDF eines Audiosignals. p X.
Audiotechnik II 1.Übungstermin Prof. Dr. Stefan Weinzierl 21.1.21 1. Aufgabe: Amplitudenstatistik analoger Audiosignale a. Ein Signal x(t) hat die durch Abb. 1 gegebene Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Mehr1. Stationarität Definition: Ein stochastischer Prozess. heißt streng oder stark stationär, falls für
" " " Beschreibung stochastischer Prozesse Wir betrachten diskrete Zeitpunkte und die zugehörigen Zufallsvariablen!. ann sind die Zufallsvariablen durch ihre gemeinsame ichte " #%$&#'$)(*#'$,+- charakterisiert.
MehrPuls-Code-Modulation. Thema: PCM. Ziele
Puls-Code-Modulation Ziele Mit diesen rechnerischen und experimentellen Übungen wird die Vorgehensweise zur Abtastung und linearen Quantisierung eines analogen Signals erarbeitet. Bei der Abtastung werden
Mehr9. Vorlesung. Systemtheorie für Informatiker. Dr. Christoph Grimm. Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main
9. Vorlesung Systemtheorie für Informatiker Dr. Christoph Grimm Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main Letzte Woche: Abtastung und Rekonstruktion Abtastung: Wandelt bandbegrenzte kontinuierliche
MehrPraktikum, NT 1: Spektrumsschätzung
Praktikum, NT 1: Spektrumsschätzung Versuchsentwurf: M.Sc., Dipl. Ing. (FH) Marko Hennhöfer, FG Nachrichtentechnik Version vom 4. Dezember 2007 1 1 Einführung und Motivation 1.1 Anwendung In der Praxis
MehrZufallsexperimente, Zufallsvariable und Stochastische Prozesse. Kurzzusammenfassung
Zufallsexperimente, Zufallsvariable und Stochastische Prozesse Kurzzusammenfassung Information Technology University of Ulm 1 Zufallsexperimente Ein Zufallsexperiment oder Zufallsversuch ist ein Experiment,
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
6. Vorlesung - 2018 Diskrete ZG eine diskrete ZG X wird vollständig durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben ( ) x1 x X 2... x i... = p 1 p 2... p i... P(X (a, b]) = und die Verteilungsfunktion
MehrÜbungen zu Signal- und Systemtheorie
Fachhochschule Dortmund University of Applied Sciences and Arts Übungen zu Signal- und Systemtheorie (Anteil: Prof. Felderhoff) Version 1.3 für das Wintersemester 016/017 Stand: 05.1.016 von: Prof. Dr.-Ing.
MehrGrundlagen der Statistischen Nachrichtentheorie
Grundlagen der Statistischen Nachrichtentheorie - Prof. Dr.-Ing. Thomas Sikora - Name:............................ Vorname:......................... Matr.Nr:........................... Ich bin mit der
MehrSystem- und Signaltheorie
Otto Mildenberger System- und Signaltheorie Grundlagen für das informationstechnische Studium 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 166 Bildern vieweg 1 Einleitung 1 1.1 Aufgaben der Systemtheorie
MehrAllpass-Transformation
Grundidee: Allpass-Transformation Entwurf eines IIR-Filters H p (z) mit bekanntem Verfahren Abbildung des Frequenzgangs durch Transformation der Frequenzvariablen Transformation durch Substitution ζ =
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 4
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 25. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 3
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 15. April 2019 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 1. April
MehrAdaptive Systeme. Prof. Dr.-Ing. Heinz-Georg Fehn Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff
Adaptive Systeme Evolutionäre Algorithmen: Überlebenskampf und Evolutionäre Strategien Prof. Dr.-Ing. Heinz-Georg Fehn Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff Überblick Einleitung Adaptive Filter Künstliche
Mehr13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren
3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem
Mehr1 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
1 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Es wird zunächst der Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion vorgestellt, die zur statistischen Beschreibung von zufälligen Prozessen oder zufälligen Signalen
MehrAdaptive Systeme. Prof. Dr.-Ing. Heinz-Georg Fehn Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff
Adaptive Systeme Evolutionäre Algorithmen Teil II Evolutionsfenster durch Mutation und sexuelle Rekombination Prof. Dr.-Ing. Heinz-Georg Fehn Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff Evolutionäre Algorithmen
MehrZufallsvariablen [random variable]
Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden
MehrInhaltsverzeichnis. Daniel von Grünigen. Digitale Signalverarbeitung. mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme
Inhaltsverzeichnis Daniel von Grünigen Digitale Signalverarbeitung mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme ISBN (Buch): 978-3-446-44079-1 ISBN (E-Book): 978-3-446-43991-7 Weitere
MehrEinige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Wiederh.)
Einige Konzepte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (Wiederh.) 1 Zusammenfassung Bedingte Verteilung: P (y x) = P (x, y) P (x) mit P (x) > 0 Produktsatz P (x, y) = P (x y)p (y) = P (y x)p (x) Kettenregel
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
8. Vorlesung Pseudozufallszahlen sind, wie der Name schon sagt, keine echten Zufallszahlen, sondern werden durch Generatoren erzeugt. Als Pseudozufallszahlen bezeichnet man Zahlenfolgen die durch einen
MehrMusterlösung: 23. Oktober 2014, 16:42
Audiotechnik II Digitale Audiotechnik:. Übung Prof. Dr. Stefan Weinzierl 3..4 Musterlösung: 3. Oktober 4, 6:4 Amplitudenstatistik analoger Signale a) Ein Signal (t) hat die durch die Abbildung gegebene
MehrSignale, Transformationen
Signale, Transformationen Signal: Funktion s(t), t reell (meist t die Zeit, s eine Messgröße) bzw Zahlenfolge s k = s[k], k ganzzahlig s reell oder komplex s[k] aus s(t): Abtastung mit t = kt s, s[k] =
MehrDigitale Signalverarbeitung
Daniel Ch. von Grünigen Digitale Signalverarbeitung mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme 4. Auflage Mit 222 Bildern, 91 Beispielen, 80 Aufgaben sowie einer CD-ROM mit Lösungen
Mehr4. Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren
4. Leistungs- und Kreuzleistungsdichtespektren 23.4.18 Die bereits in Kapitel 1.2 einführten Leistungsdichtespektren werden nun genauer untersucht. Zudem werden Kreuzleistungsdichtespektren eingeführt.
MehrBiosignalverarbeitung
Peter Husar Biosignalverarbeitung Springer Inhaltsverzeichnis 1 Entstehung bioelektrischer Signale 9 1.1 Das Neuron 9 1.2 Elektrische Erregungsleitung und Projektion 15 2 Verstärkung und analoge Filterung
MehrDigitale Signalverarbeitung Bernd Edler
Digitale Signalverarbeitung Bernd Edler Wintersemester 2007/2008 Wesentliche Inhalte der Vorlesung Abtastung z-transformation Lineare zeitinvariante Systeme Diskrete Fouriertransformation Systeme bei stochastischer
MehrUnabhängige Zufallsvariablen
Kapitel 9 Unabhängige Zufallsvariablen Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurückgeführt. Im Folgenden sei Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition
Mehr3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit
3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate
MehrI Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...
Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................
MehrÜbungen zu Transformationen. im Bachelor ET oder EW. Version 2.0 für das Wintersemester 2014/2015 Stand:
Fachhochschule Dortmund University of Applied Sciences and Arts Institut für Informationstechnik Software-Engineering Signalverarbeitung Regelungstechnik IfIT Übungen zu Transformationen im Bachelor ET
MehrMathematik für Informatiker III im WS 05/06 Musterlösung zur 4. Übung
Mathematik für Informatiker III im WS 5/6 Musterlösung zur. Übung erstellt von K. Kriegel Aufgabe : Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum der Punkte P =(a, b) aus dem Einheitsquadrat [, ] [, ] mit
Mehr2. Eigenschaften digitaler Nachrichtensignale
FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Elektrotechnik u. Automatisierungstechnik Seite 2-2. Eigenschaften digitaler Nachrichtensignale 2. Abgrenzung zu analogen Signalen Bild 2.- Einteilung der Signale
MehrA. Grundlagen der Stochastik
A. Grundlagen der Stochastik Satz A.1 (Axiome der Wahrscheinlichkeit). Folgende Axiome der Wahrscheinlichkeit können definiert werden: (1) Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ergebnisses A bei einem Experiment
MehrA. Grundlagen der Stochastik
A. Grundlagen der Stochastik Satz A.1 (Axiome der Wahrscheinlichkeit). Folgende Axiome der Wahrscheinlichkeit können definiert werden: (1) Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ergebnisses A bei einem Experiment
Mehr1 Amplitudenstatistik analoger Signale
Audiotechnik II Digitale Audiotechnik:. Tutorium Prof. Dr. Stefan Weinzierl 3..2 Musterlösung: 28. Oktober 23, 22:25 Amplitudenstatistik analoger Signale a) Ein Signal x(t) hat die durch Abb. gegebene
MehrGrundlagen der Statistischen Nachrichtentheorie
- Prof. Dr.-Ing. Thomas Sikora - Name:............................ Vorname:......................... Matr.Nr:........................... Ich bin mit der Veröffentlichung des Klausurergebnisses unter meiner
MehrSignale und Systeme II
TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Wintersemester 204/205 Signale und Systeme II Übungsaufgaben Übung Datum Themen Aufgaben
MehrDigitale Signalverarbeitung Bernd Edler
Digitale Signalverarbeitung Bernd Edler Wintersemester 2008/2009 Wesentliche Inhalte der Vorlesung Abtastung z-transformation Lineare zeitinvariante Systeme Diskrete Fouriertransformation Systeme bei stochastischer
MehrSpektrum zeitdiskreter Signale
Spektrum zeitdiskreter Signale 1 Aufgabenstellung Mithilfe der Fouriertransformation können zeitkontinuierliche Signale in den Frequenzbereich transformiert werden, um die im Signal enthaltenen Frequenzanteile
MehrWird der zeitliche Verlauf einer stochastischen Last mehrfach gemessen, so ergeben sich unterschiedliche zeitliche Verläufe.
2. Stochastische Lasten Wird der zeitliche Verlauf einer stochastischen Last mehrfach gemessen, so ergeben sich unterschiedliche zeitliche Verläufe. Jede Messung liefert eine Realisierung des stochastischen
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 3
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 20. April 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18.
MehrStatistics, Data Analysis, and Simulation SS 2017
Statistics, Data Analysis, and Simulation SS 2017 08.128.730 Statistik, Datenanalyse und Simulation Dr. Michael O. Distler Mainz, 4. Mai 2017 Dr. Michael O. Distler
Mehr2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen
8 2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen Häufig ist es so, dass den Ausgängen eines Zufallexperiments, d.h. den Elementen der Ereignisalgebra, eine Zahl zugeordnet wird. Das wollen wir etwas mathematischer
MehrEinführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 4
TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 3/4 Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge
MehrKapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume
Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume 1. Einführung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 211/476 Beispiel 85 Wir betrachten
MehrSchwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen 6. Juli 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 3 Lindeberg-Bedingung Interpretation Definition Motivation (Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen) Sind
Mehrund mit t in Sekunden wird mit einer Frequenz von 8000 Hz abgetastet. Die Abtastung beginnt bei t=0 mit dem Zeitindex n=0.
Aufgabe 1 Das periodische Signal x t) 0,5 sin(2 f t) 0,5 cos(2 f t) mit f 1000Hz und mit f 2000Hz ( 1 2 1 2 und mit t in Sekunden wird mit einer Frequenz von 8000 Hz abgetastet. Die Abtastung beginnt bei
Mehrunivariate/multivariate Zeitreihenanalyse
univariate/multivariate Zeitreihenanalyse lineare Verfahren - statistische Momente - Fourier Transformation - Hilbert Transformation - Wavelet Transformation - Auto- / Kreuzkorrelationsfunktion - ARMA-Modelle
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 3
Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 14. November 2017 3. Zufallsgrößen 3.1 Zufallsgrößen und ihre Verteilung Häufig sind
Mehr8 Das Leistungsdichtespektrum
8 Das Leistungsdichtespektrum X (X(t), t T ) sei ein stationärer Prozess mit konstanter Mittelwertfunktion EX(t) m X und Autokorrelationsfunktion R X (t) EX(s + t)x (s). Wir nehmen für dieses und die folgenden
Mehr7. Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle
7. Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle Regelmäßigkeiten in der Entwicklung einer Zeitreihe, um auf zukünftige Entwicklung zu schließen Verwendung zu Prognosezwecken Univariate Zeitreihenanalyse
Mehr3. Leistungsdichtespektren
Stochastische Prozesse: 3. Leistungsdichtespektren Wird das gleiche Geräusch mehrmals gemessen, so ergeben sich in der Regel unterschiedliche zeitliche Verläufe des Schalldrucks. Bei Geräuschen handelt
MehrGrundlagen der Signalverarbeitung
Grundlagen der Signalverarbeitung Zeitdiskrete Signale Wintersemester 6/7 Kontinuierliche und diskrete Signale wertkontinuierlich wertdiskret Signal Signal Signal Signal zeitdiskret zeitkontinuierlich
MehrIKA IKA. Zeitsignale. Analoge, zeitdiskrete, und digitale Signale
Zeitsignale Je nach Zeitbasis und Wertemenge des Signals unterscheidet man zeit- und wertkontinuierliche Signale (analoge Signale); zeitdiskrete, aber wertkontinuierliche Signale (zeitdiskrete Signale);
MehrALMA II - ÜBERBLICK STOCHASTIK. Jochen Garcke
ALMA II - ÜBERBLICK STOCHASTIK Jochen Garcke GRUNDBEGRIFFE Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) beschreibt Zufallssituation Realisierung, Stichprobe, Elementarereignis ω Ω Ergebnisraum zufälliges Ereignis
MehrMartin Meyer. Signalverarbeitung. Analoge und digitale Signale, Systeme und Filter 5. Auflage STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER
Martin Meyer Signalverarbeitung Analoge und digitale Signale, Systeme und Filter 5. Auflage STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER VII 1 Einführung 1 1.1 Das Konzept der Systemtheorie 1 1.2 Übersicht über die Methoden
Mehr2 Periodische, nicht harmonische Signale
Hochfrequenztechnik I Signaldarstellung im Zeit- und Frequenzbereich S/ Harmonische Signale Zeitabhängige Gröÿen, wie z. B. Spannung, Strom oder Feld, sind häug harmonische Gröÿen. Solche sinus- oder kosinusförmigen
MehrZusatzübung zur Theoretischen Informationstechnik
Lehrstuhl für Theoretische Informationstechnik Zusatzübung zur Theoretischen Informationstechnik Prof. Dr. Anke Schmeink, Martijn Arts, Fabian Altenbach, Christoph Schmitz 14.03.2013 TI I: Aufgabe 1-4
MehrDWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr
1.4.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Wir können aus X leicht eine diskrete Zufallsvariable konstruieren, indem wir
Mehr4. Empirische Momente von ZR. 4. Empirische Momente von ZR. 4. Empirische Momente von ZR. 4. Empirische Momente von ZR
Im Allgemeinen wird sich das Verhalten einer ZR über die Zeit ändern, z.b. Trend, saisonales Verhalten, sich verändernde Variabilität. Eine ZR wird als stationär bezeichnet, wenn sich ihr Verhalten über
MehrWirtschaftsmathematik
Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A
Mehr2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert
2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments
MehrZentralübung zur Vorlesung Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
SS 2014 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2014ss/dwt/uebung/ 5. Juni 2014 ZÜ DWT ZÜ VI Übersicht:
MehrStatistik für Ingenieure Vorlesung 6
Statistik für Ingenieure Vorlesung 6 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 05. Dezember 2017 3.4.3 Stetige Gleichverteilung Parameter: Intervall [a, b] R. Zufallsgröße
MehrEinführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen
Einführung in die Stochastik für Informatiker Übungsaufgaben mit Lösungen David Geier und Sven Middelberg RWTH Aachen, Sommersemester 27 Inhaltsverzeichnis Information 2 Aufgabe 4 Aufgabe 2 6 4 Aufgabe
MehrDigitale Signalverarbeitung Bernd Edler
Digitale Signalverarbeitung Bernd Edler Wintersemester 2010/2011 Wesentliche Inhalte der Vorlesung Abtastung z-transformation Lineare zeitinvariante Systeme Diskrete Fouriertransformation Filterentwurf
MehrZeitreihenanalyse. H.P. Nachtnebel. Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau. Definitionen und Anwendung
.. Zeitreihenanalyse H.P. Nachtnebel Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau Definitionen und Anwendung Definition Zeitreihe zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten
MehrUnabhängigkeit von Zufallsvariablen
Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Seminar Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie Pascal Beckedorf 12. November 2012 Pascal Beckedorf Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 12. November 2012 1
MehrDatenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp
Datenanalyse (PHY23) Herbstsemester 207 Olaf Steinkamp 36-J-05 olafs@physik.uzh.ch 044 63 55763 Vorlesungsprogramm Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2018 2.5.2018 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Diskreter
MehrStatistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen
Statistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Oktober 2018 Prof. Dr. Hans-Jörg
Mehr7 Zufallszahlen, Simulation
7 Zufallszahlen, Simulation Es ist nützlich, Folgen von i.i.d. R[0, 1]-verteilten Zufallszahlen auf einem Rechner erzeugen zu können vgl. Simulation, Monte-Carlo-Verfahren). Letztere sind i.a. keine echten
Mehr6Si 6. Signal-und Bildfilterung sowie. H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 1
6Si 6. Signal-und Bildfilterung sowie Korrelation H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I Bildfilterung und Korrelation Die lineare Bildfilterung wird zur Rauschunterdrückung
MehrBZQ II: Stochastikpraktikum
BZQ II: Stochastikpraktikum Block 5: Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren Randolf Altmeyer February 1, 2017 Überblick 1 Monte-Carlo-Methoden, Zufallszahlen, statistische Tests 2 Nichtparametrische Methoden
MehrGaußsche Felder und Simulation
3 2 data_2d_1.dat data_2d_2.dat data_2d_64.dat data_2d_128.dat 1-1 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 Gaußsche Felder und Simulation Benedikt Jahn, Aaron Spettl 4. November 28 Institut für Stochastik, Seminar Zufällige
MehrSignale und Systeme Stochastische Signale und ihre Spektren
Signale und Systeme Stochastische Signale und ihre Spektren Gerhard Schmidt Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Technische Faculty of Engineering Fakultät Elektrotechnik Institute of Electrical und
Mehr- Sei r(x,y) Eingangsbild, dass nur Rauschen (Quantenrauschen) enthält.
Eingang System Ausgang - Sei r(x,y) Eingangsbild, dass nur (Quantenrauschen) enthält. - Das Bild enthalte keinerlei Information, d.h. das Spektrum ist weiß und es gibt keine Korrelationen zwischen den
MehrProgramm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung
Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus
MehrSignale und Systeme Reaktion linearer Systeme auf stationäre stochastische Signale
Signale und Systeme Reaktion linearer Systeme auf stationäre stochastische Signale Gerhard Schmidt Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Technische Faculty of Engineering Fakultät Elektrotechnik Institute
MehrSimulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen
Simulation von Zufallsvariablen und Punktprozessen 09.11.2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Pseudozufallszahlen 3 Punktprozesse Zufallszahlen Definition (Duden): Eine Zufallszahl ist eine Zahl, die
MehrStrukturdynamik Prof. Dr. Wandinger. 1.2 Stochastische Lasten. Lösungen. Aus der Definition des Erwartungswerts folgt durch elementare Rechnung:
Strukturdynamik 1.-1 Prof. Dr. Wandinger Aufgabe 1 1. Stochastische Lasten Lösungen Aus der Definition des Erwartungswerts folgt durch elementare Rechnung: Aufgabe E [a g( x)+b h(y)]= =a =a =a ( ( p(x,
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
5. Vorlesung Verteilungsfunktion (VF) Definition 9 Die Verteilungsfunktion (VF) einer Zufallsgröße X ist F : R R definiert als F (x) := P({ω Ω : X (ω) x}) = P( X x ) für jedes x R. Satz 9 - Eigenschaften
Mehr2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung
2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von
Mehr8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W.
8. Formelsammlung 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen Im Folgenden seien A und B, sowie A 1,..., A n Ereignisse. Die Notation A B steht für A B und zugleich A B = (disjunkte Vereinigung). A 1... A
MehrInstitut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban
Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Lösungsvorschlag studienbegleitende Klausur Finanzmathematik I Aufgabe (7 Punkte) Vorgelegt sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) und
MehrDas magische Quadrat für stochastische Prozesse
. Geodätische Woche Das magische Quadrat für stochastische Prozesse 1 Institut für Geodäsie und Geoinformation Professur für Theoretische Geodäsie - Universität Bonn Ina Krasbutter, Boris Kargoll, Wolf-Dieter
MehrDigitale Signalverarbeitung mit MATLAB
Martin Werner Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB Grundkurs mit 16 ausführlichen Versuchen 4., durchgesehene und ergänzte Auflage Mit 180 Abbildungen und 76 Tabellen STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER 1 Erste
MehrDWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 240/476 c Ernst W. Mayr
1.4.4 Laplace-Prinzip in kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsräumen Das folgende Beispiel zeigt, dass im kontinuierlichen Fall die Bedeutung von gleichwahrscheinlich nicht immer ganz klar sein muss. Bertrand
MehrDigitale Signalverarbeitung. mit MATLAB
Martin Werner Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB Grundkurs mit 16 ausführlichen Versuchen 3., vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage Mit 159 Abbildungen und 67 Tabellen Studium Technik
MehrÜbungsbuch Signale und Systeme
Übungsbuch Signale und Systeme Ottmar Beucher Übungsbuch Signale und Systeme Lösungsband zum Lehrbuch Signale und Systeme Theorie, Simulation, Anwendung 123 Prof. Dr. Ottmar Beucher Hochschule Karlsruhe
MehrEindimensionale Zufallsvariablen
Eindimensionale Grundbegriffe Verteilungstypen Diskrete Stetige Spezielle Maßzahlen für eindimensionale Erwartungswert Varianz Standardabweichung Schwankungsintervalle Bibliografie Bleymüller / Gehlert
MehrLösungsblatt 2 Signalverarbeitung
Fakultät für nformatik Übung zu Kognitive Systeme Sommersemester 208 S. Constantin (stefan.constantin@kit.edu) T. Nguyen (thai.nguyen@kit.edu) Lösungsblatt 2 Signalverarbeitung Aufgabe : Faltung Abbildung
MehrGrundlagen der Statistischen Nachrichtentheorie
- Prof. Dr.-Ing. Thomas Sikora - Name:............................ Vorname:......................... Matr.Nr:........................... Ich bin mit der Veröffentlichung des Klausurergebnisses unter meiner
Mehr