1. Stationarität Definition: Ein stochastischer Prozess. heißt streng oder stark stationär, falls für

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1 " " " Beschreibung stochastischer Prozesse Wir betrachten diskrete Zeitpunkte und die zugehörigen Zufallsvariablen!. ann sind die Zufallsvariablen durch ihre gemeinsame ichte " #%$&#'$)(*#'$,+- charakterisiert. 1. Stationarität efinition: in stochastischer Prozess. heißt streng oder stark stationär, falls für alle 0/21 4 und für alle /25 gilt: # $ &7698 # $ (698 # $ +:6;8 =< #'$&#'$)(*#'$,+- d.h. die dimensionalen ichtefunktionen sind invariant gegenüber Zeitverschiebungen Scharmittelwerte Hält man die Zeitvariable fest, i.e. ><, so lassen sich Scharmittelwerte eines stochastischen Prozesses definieren: efinition: ie Größe? A@B4!C< #@ $,+ #'$ + HG #'$ + nennt man I tes Moment der Zufallsvariablen!. Scharmittelwerte hängen also in der Regel vom Zeitpunkt Aber: Bei stark stationären Prozessen sind die Momente aber nicht zeitabhängig! ab. 142

2 " efinition: ie unktion <? < # $& # $)( # $& # $)( G # $4& G # $)( heißt Autokorrelationsfunktion des stochastischen Prozesses.. 1) Bei stark stationären Prozessen gilt stets 9< :9< 2) ie Autokorrelationsfunktion ist für stark stationäre Prozesse stets eine gerade unktion. 14 efinition: inen stochastischen Prozeß mit einem konstanten rwartungswert, für den die Autokorrelationsfunktion die Bedingung 9< 9< erfüllt, nennt man (schwach) stationär. Bei sowohl stark als auch schwach stationären stochastischen Prozessen nennt man den Ausdruck =<?. die mittlere Leistung des Prozesses. Stark stationäre Prozesse sind auch stets schwach stationär, aber die Umkehrung gilt nicht. 144

3 efinition: ie unktion ' -B mit %, stochastischen Prozesses.. nennt man Autokovarianzfunktion des Bei stationären stochastischen Prozessen vereinfacht sich die Autokovarianzfunktion von. zu -B =< 9< 145. Zeitmittelwerte und rgodizität Neben Scharmittelwerte betrachtet man für einen vorgegebenen Pfad eines stochastischen Prozesses auch über die Zeit gemittelte Größen: efinition: s seien 5 5 eine reellwertige unktion und # ein Pfad des stark stationären Prozesses. ann nennt man den Ausdruck # < #.-G zeitlichen Mittelwert der Realisierung # bezüglich der unktion. Beispiel: < G ür erhält man den Mittelwert des Pfads, also < #. < # HG* 146

4 efinition: er stark stationäre stochastische Prozess heißt ergodisch bezüglich, wenn der rwartungswert?. existiert und die Beziehung #. <?. erfüllt ist, d.h. Zeitmittelwert eines beliebigen Pfades stimmen mit dem rwartungswert der Zufallsvariablen überein. rgodische Prozesse: er stark stationäre stochastische Prozess ist ergodisch, wenn alle seine statistischen igenschaften aus einer einzigen Realisierung #. abgeleitet werden können. Nur für ergodische Prozesse ist die Berechnung von Zeitmittelwerten überhaupt sinnvoll! 147 Scharmittelwerte bei ergodischen Prozessen: Sei # ein beliebiger Pfad des ergodischen Prozesses. 1) I tes Moment 2) Autokorrelationsfunktion ) Autokovarianzfunktion < =< # G #. # :# HG G 148

5 " G < Spezielle stochastische Prozesse 1) Weißes Gaußsches Rauschen in Gaußprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess, für den '4! die Zufallsvariable für jedes / 1 und / 5 eine dimensionale Normalverteilung besitzt, d.h. der Zufallsvektor besitzt die ichte # ## =< # # det mit der Kovarianzmatrix. Weißes Gaußches Rauschen ist ein mittelwertfreier, stationärer Gaußprozess mit einem konstanten Leistungsdichtespektrum 8 konstant / ) Poissonprozess In der Warteschlangentheorie wird die Ankunft neuer Kunden fast ausschließlich mit Hilfe eines Poissonprozesses modelliert. er stochastische Prozess beschreibe die Anzahl der wartenden Kunden. Gegeben sei ein / 5 und wir machen die folgenden Modellannahmen: 1) ie Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Intervall der Länge ein neuer Kunde ankommt ist proportional zu. 2) ie Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Intervall der Länge ein neuer Kunde ankommt hängt nicht von der Lage des Intervalls ab. ) er Ankunftsprozess ist gedächtnislos: das intreffen in einem Intervall der Länge unabhängig vom intreffen anderer Kunden in vergangenen oder zukünftigen Intervallen. 150

6 I < ie Modellannahmen führen auf den Poissonprozess, d.h. unter der Annahme H=< gilt für., < $. < I igenschaften des Poissonprozesses: a) der rwartungswert ist?. < ', d.h. der Poissonprozess ist nichtstationär. C< % b) die Varianz ergibt sich zu. c) die mittlere Ankunftsrate der Kunden ist <?? % d.h. für % ist die Verteilung um den rwartungswert % konzentriert. und es gilt 151 d) s gilt < HC< $ d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Kunde ankommt geht exponentiell mit gegen Null. e) ie Zeitdifferenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ankunftszeitpunkten ist wieder eine Zufallsvariable, die nur nichtnegative Werte annehmen kann. Weiter ist die Zeitdifferenz exponentialverteilt, d.h. die ichte von ist gegeben durch " 9< Weiter gilt? < 8 C< 152