Verfahren zur Datenanalyse gemessener Signale

Transkript

1 Verfahren zur Datenanalyse gemessener Signale Dr. rer. nat. Axel Hutt Vorlesung 4

2 zum Übungsblatt

3 Aufgabe 1: sin( (f 3Hz)5s) sin( (f +3Hz)5s) X T (f) 1 i f 3Hz f +3Hz Nullstellen: T=5s: T=1s: f=3hz+2/5s, 3Hz+4/5s, 3Hz+6/5s,. = 3.4Hz, 3.8Hz, 4.2Hz,. f=3hz+2/s, 3Hz+4s, 3Hz+6/s,. = 5Hz, 7Hz, 9Hz,. T=0.33 s: f=3hz+6/s, 3Hz+12s, 3Hz+18/s,. = 9Hz, 15Hz, 21Hz,.

4 Aufgabe 1: sin( (f 3Hz)5s) sin( (f +3Hz)5s) X T (f) 1 i f 3Hz f +3Hz Nullstellen: T=5s: T=1s: f=3hz+2/5s, 3Hz+4/5s, 3Hz+6/5s,. = 3.4Hz, 3.8Hz, 4.2Hz,. f=3hz+2/s, 3Hz+4s, 3Hz+6/s,. = 5Hz, 7Hz, 9Hz,. T=0.33 s: f=3hz+6/s, 3Hz+12s, 3Hz+18/s,. = 9Hz, 15Hz, 21Hz,. Vorsicht: 1/T=Δf

5 Aufgabe 2: Signal: T=100s, Δf=0.01 spectral leakage - Effekt: 1) z.bsp. charakterisiert durch Nullstellen bei Frequenzen 2 n/100s=n 0.02Hz also 0.02Hz, 0.04Hz,. 2) z.bsp. charakterisiert durch Abfall der Amplitude mit 1/f

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7 Aufgabe 3: S( ) = Z 1 1 C( )e i2 d C( ) = C(0) = Z 1 1 Z 1 1 S( )e i2 d S( )d = E[x 2 (t)] = lim T!1 1 T Z T T x 2 (t)dt

8 Vorlesung 4

9 was ist Stationarität? Exkurs in Stochastischen Prozesse

10 Exkurs in Stochastischen Prozesse a) Zufallszahlen b) Wahrscheinlichkeit c) stochastische Prozesse d) Wahrscheinlichkeitsverteilungen e) Ergodizität und Stationarität

11 Exkurs in Stochastischen Prozesse a) Zufallszahlen b) Wahrscheinlichkeit c) Wahrscheinlichkeitsverteilungen d) stochastische Prozesse e) Ergodizität und Stationarität

12 Beispiel: man wirft einen idealen Würfel n-mal und erhält n Zufallszahlen xi, i=1,..,n {xi}={1,2,3,4,5,6} z.bsp. die Folge 3,4,1,5,6,6,2,. Beispiel: man wirft eine ideale Münze n-mal und erhält n Zufallszahlen xi, i=1,..,n {xi}={kopf,zahl} oder {xi}={0,1} z.bsp. die Folge 0,1,1,1,0,1,0,0,.

13 Exkurs in Stochastischen Prozesse a) Zufallszahlen b) Wahrscheinlichkeit c) Wahrscheinlichkeitsverteilungen d) stochastische Prozesse e) Ergodizität und Stationarität

14 Frage: wie oft tritt welche Zufallszahl auf? Histogramm: H(x i )={#X i X i, x i x/2 apple X i <x i + x/2} Δx: Intervall

15 Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses: P (x i )= H(x i) n Beispiel: idealer Würfel hat 6 mögliche Augen, die gleich wahrscheinlich sind P (x i )= 1 6 Wahrscheinlichkeit einer geraden Augenzahl yi,i=1,2,3: P (y i )= 3 6 = 1 2

16 Exkurs in Stochastischen Prozesse a) Zufallszahlen b) Wahrscheinlichkeit c) Wahrscheinlichkeitsdichte d) stochastische Prozesse e) Ergodizität und Stationarität

17 wichtige Eigenschaft: nx i=1 p(x i )=1 p(xi) : Wahrscheinlichkeitsdichte falls Zufallsvariable kontinuierlich ist, z.bsp. x 2 R Z D p(x)x =1 p(x): Wahrscheinlichkeitsdichte P (y) = Z x2 x 1 p(x)dx Wahrscheinlichkeit, einen Wert y zu finden mit x 1 apple y<x 2

18 Frage: wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallszahl kleiner als y zu erhalten? kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung P (X apple x) = X i,x i applex H(x i ) n

19 Beispiele von Wahrscheinlichkeitsdichten: p(x) p(x) p(x) Variable x Variable x Gleichverteilung Normalverteilung (Gaussverteilung) bimodale Verteilung Variable x

20 Statistische Eigenschaften von Verteilungen: Erwartungswert E [f(x)] = Z D f(x)p(x)dx erstes Moment (erster Kumulant) zweites Moment Z E [x] = E x 2 = D Z xp(x)dx = x D x 2 p(x)dx (Mittelwert) zweiter Kumulant E (x E[x]) 2 = Z D (x E[x]) 2 p(x)dx = 2 (Varianz)

21 Mehrere Zufallsvariablen: p(x 1 ; x 2 ;...; x N ) multivariate Wahscheinlichkeitsdichte! mit N Variablen (joint probability density) p(x k,...,x k+l )= {z } M Variablen Z D Z D Z D p(x 1 ;...; x N ) dx 1 dx k 1 dx k+l+1 dx N {z } multivariate Wahscheinlichkeitsdichte mit N-M Variablen: Marginalverteilung (Randverteilung) N M Terme p(x k x l ) bedingte Wahscheinlichkeitsdichte! (conditional probability distribution)

22 p(x 1,x 2 )=p(x 1 x 2 )p(x 2 ) = p(x 2 x 1 )p(x 1 ) p(x 2 x 1 )= p(x 1 x 2 ) p(x 1 ) p(x 2) Bayes-Regel Beispiel: p(modell Beobachtung) = p(beobachtung Modell) p(beobachtung) p(modell)

23 Exkurs in Stochastischen Prozesse a) Zufallszahlen b) Wahrscheinlichkeit c) Wahrscheinlichkeitsdichte d) stochastische Prozesse e) Ergodizität und Stationarität

24 stochastischer Prozess: Folge von Zufallsvariablen, die eine zeitliche Evolution eines Systems beschreibt

25 Beispiel: Wiener-Prozess Zeitserie von Zufallsvariablen ξ(t) 0 10 Zeit t Zufallsvariablen sind unabhängig (weisses Rauschen), ihre Wahrscheinlichkeitsdichte ist eine Gauss-Verteilung

26 Wiener-Prozess: W k+1 = W k + k k 2 N 0 k : weisses Gauss sches Rauschen W(t) Zeit t

27 weisses Rauschen: h k l i = D kl unkorrelierte Zufallszahlen h (t) (t )i = D ( ) Wiener-Khinchin Theorem: F[h (t) (t )i](f) =P (f) P (f) =const alle Frequenzen mit gleichem Beitrag

28 Spektren von Rauschprozessen siehe Übungsblatt Leistung Frequenz

29 Beispiel einer allgemeineren Formulierung x(t) : stochastischer Prozess x(t) kann von x(t ), 0 apple < 1 abhängen, also x(t k+1 )=f(x k,x k 1,x k 2,...) System mit Gedächtnis Spezialfall: x(t k+1 )=f(x k ) System ohne Gedächtnis dieser stochastische Prozess heißt Markov-Prozess

30 Formulierung eines allgemeinen Markov-Prozesses x(t) : stochastischer Markov-Prozess Zeit kontinuierlich dx(t) =f(x(t))dt + appledw (t) Zeit diskret dw: Rauschprozess κ: Rauschstärke x(t k )=f(x(t k )) t + apple W (t k ) W (t k )=W (t k+1 ) W (t k ) x(t k )=x(t k+1 ) x(t k )

31 Formulierung als Langevin-Gleichung: Zeit kontinuierlich ẋ(t) =f(x(t)) + apple (t) ξ: Rauschprozess ohne Rauschen: ẋ(t) =f(x(t))

32 Exkurs in Stochastischen Prozesse a) Zufallszahlen b) Wahrscheinlichkeit c) Wahrscheinlichkeitsdichte d) stochastische Prozesse e) Ergodizität und Stationarität

33 Wie wird Wahrscheinlichkeitsdichte p berechnet? Beispiel: verschiedene Lösungen von ẋ(t) = x(t)+0.1 (t) mit identischen Anfangsbedingungen x(0) (t) : normalverteilte Zufallszahlen mit Mittelwert=0, Varianz=1

34 p1(x,t): Bestimmung über die Schar von Lösungen zu einem bestimmten Zeitpunkt t t=0.05 t=10 t=47.5 σ 2 =0.005 σ 2 =0.05 σ 2 =0.05 p2(x): Erwartungswert über die Zeit in einer Lösung σ 2 =0.05

35 Erkenntnis: Wahrscheinlichkeitsdichte p1(x,t) variiert über die Zeit Wahrscheinlichkeitsdichte p2(x) zeitunabhängig Wahrscheinlichkeitsdichten gleich für grosse Zeiten p1(x,t) p2(x) Wahrscheinlichkeitsdichten verschieden für kleine Zeiten p1(x,t) p2(x)

36 Definition: starke Stationarität: p(x 1 (t k );...; x N (t k )) = p(x 1 (t k + );...; x N (t k + )) 2 R Definition: Stationarität im weiteren Sinn: E [x(t)] = µ 8t 2 R E (x(t) E[x]) 2 = 2 (t) < 1 Cov(x(t 1 ),y(t 2 )) = Cov(x(t 1 + ),y(t 2 + )) 2 R Cov(x(t 1 ),y(t 2 )) = E [(x(t 1 ) x)(y(t 2 ) ȳ)]

37 falls ein Signal stationär ist und falls Scharmittel = Zeitmittel System ist ergodisch

38 zurück zum Beispiel: stochastischer Prozess ist stationär für grosse Zeiten stochastischer Prozess ist ergodisch für grosse Zeiten

39 stochastischer Prozess stationär nicht stationär ergodisch nicht ergodisch

40 wo gibt es denn Zufallsprozesse in biologischen Systemen? in Neuronen: Öffnungsrate der gates in Ionenkanälen in Tierpopulationen: Geburt oder Tod von Tieren nicht vorhersagbar allgemein: Zufall kann auch Prozesse beschreiben, deren Ursache und Dynamik unbekannt ist