Spektralanalyse physiologischer Signale
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- Timo Dunkle
- vor 6 Jahren
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Transkript
1 Spektralanalyse physiologischer Signale Dr. rer. nat. Axel Hutt Vorlesung 1 - WS 2016/17
2 über mich Studium der Physik an U Stuttgart Promotion: Nichtlineare Dynamik in Gehirnsignalen Forschung in Neurowissenschaften in MPI für neuropsychologische Forschung Leipzig MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig Weierstrass Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin Humboldt Universität zu Berlin University of Ottawa / Kanada INRIA Nancy / Frankreich jetzt: Directeur de Recherche, Deutscher Wetterdienst Offenbach
3 Ihre Erwartungen an die Vorlesung? Programmierkenntnisse? Erfahrung mit Daten?
4 Übungsaufgaben: schriftlich oder in Form einer Präsentation Prüfung: bei ausreichender Beteiligung an Übungen mündlich, 30 Minuten
5 I. Einleitung II. Fourier Analyse III. Zeit-Frequenz Analyse
6 I. Einleitung II. Fourier Analyse III. Zeit-Frequenz Analyse
7 I.1. Rhythmen in der Natur I.2. Ursprung elektrischer Signale I.3. Sampling
8 I.1. Rhythmen in der Natur I.2. Ursprung elektrischer Signale I.3. Sampling
9 Chronobiologie: systeminterne biologische Rhythmen, z.bsp. bei Algen Tiere Zirbeldrüβe/ Epiphyse circadianer Rhythmus circadianer Rhythmus
10 andere physiologische Rhythmen: Herz-Rhythmus?
11 Beispiel: Gehirnaktivität
12 Beispiel: Anästhesie
13 Beispiel: Hypnose
14 Beispiel: Schlaf
15 Oszillatorische Aktivität ist omnipräsent in biologischen Systemen Oszillatorische Aktivität charakterisiert physiologischen Zustand Oszillatorische Aktivität widerspiegelt Interaktion von Untersystemen in biologischem System
16 I.1. Rhythmen in der Natur I.2. Ursprung elektrischer Signale I.3. Sampling
17 Ursprung gemessener Signale!!!! am Beispiel des Gehirns
18 Gehirnareale
19 Modell: Biologisches Neuron
20 Biologisches Neuron Modell: Messung (aus Segev and Schneidmann (1999) )
21 Biologisches Neuron Modell: Messung elektrisches Potential Aktionspotential Zeit (aus Segev and Schneidmann (1999) )
22 ein einzelnes Neuron
23 Wie entsteht elektrische Aktivität im Gehirn? einzelne Synapse AP synaptic bouton membrane induced current I(t) current source j induzierter Strom
24 Wie entsteht elektrische Aktivität im Gehirn? einzelne Synapse Summe von synaptischen Strömen AP synaptic bouton induced current I(t) membrane current source j induzierter Strom (aus Freeman, Int. J. Bif. Chaos (1992))
25 viele Neuronen: Population elektrischer Dipol (Nunez and Srinivasan, Electric Fields of the Brain: The Neurophysics of EEG (2006))
26 Elektroenzephalogram (EEG)
27 (Dank an Prof. Christoph Herrmann, University of Oldenburg)
28 Neuronale Aktivität, resultiert aus synaptischen Strömen Oszillatorische Aktivität: generiert in Einzelzellen oder in Populationen Ziel der Datenanalyse: Beschreibung von oszillatorischen neuronalen Prozessen im Gehirn
29 I.1. Rhythmen in der Natur I.2. Ursprung elektrischer Signale I.3. Sampling
30 Messung von Signalen analog : elektrische Potentiale / Ströme mechanische Amplituden akustische Signale Speicherung der Messdaten: Digitalisierung durch periodisches Registrieren
31 oszillatorisches Signal mit 1 Hz Sampling
32 oszillatorisches Signal mit 1 Hz Sampling
33 oszillatorisches Signal mit 1 Hz Sampling
34 f s > 2f signal! f signal <f s /2
35 f s > 2f signal! f signal <f s /2 kleinste Abtastfrequenz: Nyquist Frequenz f Nyquist =2f Signal
36 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov)
37 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov) gegeben: kontinuierliche Funktion s(t)
38 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov) gegeben: kontinuierliche Funktion s(t) s(t) enthält maximale Frequenz fm
39 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov) gegeben: kontinuierliche Funktion s(t) s(t) enthält maximale Frequenz fm s(t) wird abgetastet mit Frequenz fs s(tn)
40 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov) gegeben: kontinuierliche Funktion s(t) s(t) enthält maximale Frequenz fm s(t) wird abgetastet mit Frequenz fs s(tn) Vermutung: Informationsverlust durch Abtastung
41 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov) gegeben: kontinuierliche Funktion s(t) s(t) enthält maximale Frequenz fm s(t) wird abgetastet mit Frequenz fs s(tn) Vermutung: Informationsverlust durch Abtastung gesucht: Abtastfrequenz, für welche Rekonstruktion von s(t) aus s(tn) (durch Interpolation) ohne Informationsverlust möglich ist.
42 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov) Lösung:
43 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov) Lösung: Abtastfrequenz fs > 2fm
44 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov) Lösung: Abtastfrequenz fs > 2fm Grenz-Abtastfrequenz Nyquistfrequenz f Nyquist =2f m
45 Abtast-Theorem (Shannon/Nyquist/Whitaker/Kotelnikov) Lösung: Abtastfrequenz fs > 2fm Grenz-Abtastfrequenz Nyquistfrequenz f Nyquist =2f m oder: falls fs gegeben, dann fm < fs /2
46 Kommentar aus der Praxis f signal <f s /4
47 I. Einleitung II. Fourier Analyse III. Zeit-Frequenz Analyse
48 II. Fourier Analyse II.1. Grundlagen a) Koeffizienten b) Fourier Theorem II.2. Mögliche Fehler in der Fourier Analyse Aliasing Periodizität Spectral leakage II.3. Berechnung von Spektren
49 II. Fourier Analyse II.1. Grundlagen a) Koeffizienten b) Fourier Theorem II.2. Mögliche Fehler in der Fourier Analyse Aliasing Periodizität Spectral leakage II.3. Berechnung von Spektren
50 periodisches Signal 0 T 2T 3T 0 T 2T
51 0 T
52 0 T kleinste Frequenz: Δf = 1/T
53 0 T kleinste Frequenz: Δf = 1/T fn=nδf n N0
54 Fourieranalyse Jedes Signal, das periodisch in der Zeit ist mit Periode T, kann durch N Fouriermoden beschrieben werden s(t) = a N X n=1 a n cos 2 n T t + n mit den Koeffizienten a n und den Phasen n
55 Fourieranalyse Jedes Signal, das periodisch in der Zeit ist mit Periode T, kann durch N Fouriermoden beschrieben werden s(t) = a N X n=1 a n cos 2 n T t + n =2πfn=2πnΔf mit den Koeffizienten a n und den Phasen n
56 e i!t = cos(!t)+i sin(!t) mit :
57 e i!t = cos(!t)+i sin(!t) mit : s(t) = NX n= N c n e i 2 n T t, c n = a n 2 (cos( n)+i sin( n ))
58 mit e i!t = cos(!t)+isin(!t) : s(t) = NX n= N c n e i 2 n T t, c n = a n 2 (cos( n)+i sin( n )) mit Koeffizienten c n = 1 T Z t+t t s(t)e i 2 n T t dt c n = c n (siehe Übungsblatt)
59 Beispiel: s(t) =a sin(2 t) t [0,T]
60 Beispiel: s(t) =a sin(2 t) t [0,T] = a 2i (ei2 t e i2 t )
61 Beispiel: s(t) =a sin(2 t) t [0,T] = a 2i (ei2 t e i2 t ) c n = 1 T Z T/2 T/2 a 2i e i2 t0 e i2 t0 e i2 nt0 /T dt 0
62 Beispiel: s(t) =a sin(2 t) t [0,T] = a 2i (ei2 t e i2 t ) c n = 1 T Z T/2 T/2 a 2i e i2 t0 e i2 t0 e i2 nt0 /T dt 0 = 2iT Z T/2 T/2 e i2 ( n/t )t0 e i2 ( +n/t )t0 dt 0
![Beispiel: s(t) =a sin(2 t) t [0,T] = a 2i (ei2 t e i2 t ) c n = 1 T Z T/2 T/2 a 2i e i2 t0 e i2 t0](/docs-images/78/76827331/images/63-0.jpg "e i2 nt0 /T dt 0 = a 2iT Z T/2 T/2 e i2 ( n/t )t0 e i2 ( +n/t )t0 dt 0 1 T Z T/2 T/2 e i2 f nt dt =?")
63 Beispiel: s(t) =a sin(2 t) t [0,T] = a 2i (ei2 t e i2 t ) c n = 1 T Z T/2 T/2 a 2i e i2 t0 e i2 t0 e i2 nt0 /T dt 0 = a 2iT Z T/2 T/2 e i2 ( n/t )t0 e i2 ( +n/t )t0 dt 0 1 T Z T/2 T/2 e i2 f nt dt =?
64 Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = 1 i2 f n e i2 f nt/2 e i2 f nt/2
65 Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = 1 i2 f n e i2 f nt/2 = 2i i2 f n sin(2 f n T/2) e i2 f nt/2
66 Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = 1 i2 f n e i2 f nt/2 = 2i i2 f n sin(2 f n T/2) = sin(2 f nt/2) f n e i2 f nt/2
67 Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = 1 i2 f n e i2 f nt/2 = 2i i2 f n sin(2 f n T/2) e i2 f nt/2 = sin(2 f nt/2) f n 2 fnt/2=2 (n/t )T/2= n
68 Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = 1 i2 f n e i2 f nt/2 = 2i i2 f n sin(2 f n T/2) e i2 f nt/2 = sin(2 f nt/2) f n 2 fnt/2=2 (n/t )T/2= n =0, n 6= 0
69 Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = 1 i2 f n e i2 f nt/2 = 2i i2 f n sin(2 f n T/2) e i2 f nt/2 = sin(2 f nt/2) f n 2 fnt/2=2 (n/t )T/2= n =0, n 6= 0 = lim f n!0 T cos( f n T ) = T, n =0
70 Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = 1 i2 f n e i2 f nt/2 = 2i i2 f n sin(2 f n T/2) e i2 f nt/2 = sin(2 f nt/2) f n 2 fnt/2=2 (n/t )T/2= n =0, n 6= 0 = lim f n!0 T cos( f n T ) = T, n =0
71 1 T Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = n,0
72 1 T Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = n,0 c n = a 2iT Z T/2 T/2 e i2 ( n/t )t0 e i2 ( +n/t )t0 dt 0
73 1 T Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = n,0 c n = a 2iT Z T/2 T/2 e i2 ( n/t )t0 e i2 ( +n/t )t0 dt 0 = m/t, a =1:
74 1 T Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = n,0 c n = a 2iT Z T/2 T/2 e i2 ( n/t )t0 e i2 ( +n/t )t0 dt 0 = m/t, a =1: = 1 2i ( n,m n, m)
75 1 T Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = n,0 c n = a 2iT Z T/2 T/2 e i2 ( n/t )t0 e i2 ( +n/t )t0 dt 0 = m/t, a =1: = 1 2i ( n,m n, m) c m = 1 2i
76 1 T Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = n,0 c n = a 2iT Z T/2 T/2 e i2 ( n/t )t0 e i2 ( +n/t )t0 dt 0 = m/t, a =1: = 1 2i ( n,m n, m) c m = 1 2i 1 i = a m(cos( m )+i sin( m ))
77 1 T Z T/2 T/2 e i2 f nt dt = n,0 c n = a 2iT Z T/2 T/2 e i2 ( n/t )t0 e i2 ( +n/t )t0 dt 0 = m/t, a =1: = 1 2i ( n,m n, m) c m = 1 2i 1 i = a m(cos( m )+i sin( m )) a m =1, m = 3 2
78 c m = 1 2i a m =1, m = /2
79 c m = 1 2i a m =1, m = /2 oder Re(c m )=Re(c m )=0 Im(c m )= Im(c m )= 1 c n6=m =0, n = N, N
80 c m = 1 2i a m =1, m = /2 oder Re(c m )=Re(c m )=0 Im(c m )= Im(c m )= 1 c n6=m =0, n = N, N für zeitlich kontinuierliche Signale: N beliebig
81 nun: Signal wird abgetastet mit Frequenz fs
82 nun: Signal wird abgetastet mit Frequenz fs t = 1 f s
83 nun: Signal wird abgetastet mit Frequenz fs t = 1 f s t! t n = n t, n =0,...,N s(t)! s(t n )=s n
84 nun: Signal wird abgetastet mit Frequenz fs t = 1 f s t! t n = n t, n =0,...,N s(t)! s(t n )=s n T = N t
85 nun: Signal wird abgetastet mit Frequenz fs t = 1 f s t! t n = n t, n =0,...,N s(t)! s(t n )=s n T = N t f = 1 T
86 nun: Signal wird abgetastet mit Frequenz fs t = 1 f s t! t n = n t, n =0,...,N s(t)! s(t n )=s n T = N t f = 1 T = 1 N t
87 nun: Signal wird abgetastet mit Frequenz fs t = 1 f s t! t n = n t, n =0,...,N s(t)! s(t n )=s n T = N t f = 1 T = 1 N t = f s N
88 nun: Signal wird abgetastet mit Frequenz fs t = 1 f s t! t n = n t, n =0,...,N s(t)! s(t n )=s n T = N t f = 1 T = 1 N t = f s N Anzahl der Frequenzen = Anzahl der Datenpunkte
89 falls nun Signal s(t) abgetastet wird mit Frequenz fs: s(t) =s(t k ), t k = k t t = 1 f s wie werden dann die Fourierkoeffizienten berechnet?
90 falls nun Signal s(t) abgetastet wird mit Frequenz fs: s(t) =s(t k ), t k = k t t = 1 f s wie werden dann die Fourierkoeffizienten berechnet? erst einmal gilt allgemein: Z b a f(t)dt MX f(t k ) t, t 1 = a, t N = b t k=1
91 dann berechnen sich die Koeffizienten c n = 1 T Z t+t t s(t)e i 2 n T t dt zu
92 dann berechnen sich die Koeffizienten c n = 1 T Z t+t t s(t)e i 2 n T t dt zu c n = M t t MX k=1 s(t k )e i 2 nk t M t, n =1,...,N
93 dann berechnen sich die Koeffizienten c n = 1 T Z t+t t s(t)e i 2 n T t dt zu c n = M t t MX k=1 s(t k )e i 2 nk t M t, n =1,...,N = 1 M MX k=1 s(t k )e i2 f nk, f n = n/m
94 dann berechnen sich die Koeffizienten c n = 1 T Z t+t t s(t)e i 2 n T t dt zu c n = M t t MX k=1 s(t k )e i 2 nk t M t, n =1,...,N = 1 M MX k=1 s(t k )e i2 f nk, f n = n/m diskrete Frequenz
95 dann berechnen sich die Koeffizienten c n = 1 T Z t+t t s(t)e i 2 n T t dt zu c n = M t t MX k=1 s(t k )e i 2 nk t M t, n =1,...,N = 1 M MX k=1 s(t k )e i2 f nk, f n = n/m diskrete Frequenz Discrete Fourier Transformation (DFT)
96 Annahme: N Zeitpunkte s(t) = N/2 X n= N/2 c n e i2 f nt
97 Annahme: N Zeitpunkte s(t) = N/2 X n= N/2 c n e i2 f nt s(t k )= N/2 X n= N/2 c n e i2 (n f)(k t)
98 Annahme: N Zeitpunkte s(t) = N/2 X n= N/2 c n e i2 f nt s(t k )= N/2 X n= N/2 c n e i2 (n f)(k t) = N/2 X n= N/2 c n e i2 nk( t/t )
99 Annahme: N Zeitpunkte s(t) = N/2 X n= N/2 c n e i2 f nt s(t k )= N/2 X n= N/2 c n e i2 (n f)(k t) = N/2 X c n e i2 nk( t/t ) n= N/2 = N/2 X n= N/2 c n e i2 nk/n DFT
100 Eigenschaften der Koeffizienten: c n = 1 M MX s(t k )e i 2 nk M n =1,...,N k=1
101 Eigenschaften der Koeffizienten: c n = 1 M MX s(t k )e i 2 nk M n =1,...,N k=1 da c n = 1 M MX 2 nk s(t k )e +i M = c n (s(t k )=s (t k )) k=1
102 Eigenschaften der Koeffizienten: c n = 1 M MX s(t k )e i 2 nk M n =1,...,N k=1 da c n = 1 M MX 2 nk s(t k )e +i M = c n (s(t k )=s (t k )) k=1 c n = p c n c n = p c nc n = c n
103 Eigenschaften der Koeffizienten: c n = 1 M MX s(t k )e i 2 nk M n =1,...,N k=1 da c n = 1 M MX 2 nk s(t k )e +i M = c n (s(t k )=s (t k )) k=1 c n = p c n c n = p c nc n = c n da c n = a n + ib n! a n = a n, b n = ib n
104 Eigenschaften der Koeffizienten: c n = 1 M MX s(t k )e i 2 nk M n =1,...,N k=1 da c n = 1 M MX 2 nk s(t k )e +i M = c n (s(t k )=s (t k )) k=1 c n = p c n c n = p c nc n = c n da c n = a n + ib n! a n = a n, b n = ib n tan( n )= b n! n = n a n
105 Real(DFTn) = Real(DFT-n) Imag(DFTn) = -Imag(DFT-n)
106 Beispiel s(t) =1.0 cos(2 1Hz t) a 1 =1.0,a n6=1 =0 T=1s, N=50, t=0.02s sample rate: 50Hz Nyquist rate: 25Hz (Fourier_0.m)
107 Realteil von cn a n 2 = Real(DFT n) N a n =2 Real(DFT n) N Imaginärteil von cn c 1 = 25/50! a 1 =1.0
108 Realteil von cn a n 2 = Real(DFT n) N a n =2 Real(DFT n) N Imaginärteil von cn c 1 = 25/50! a 1 =1.0 maximal 25 Fouriermoden wegen Abtasttheorem
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