Grundlagen der Schwingungslehre

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1 Grundlagen der Schwingungslehre Einührung. Vorgänge, bei denen eine physikalische Größe in estem zeitlichen Abstand ein und denselben Werteverlau auweist, werden als periodisch bezeichnet. Den zeitlichen Abstand, in dem sich der Vorgang wiederholt, bezeichnet man als Periodendauer T, die sich gegenüber der Wiederholungshäuigkeit, der Frequenz, umgekehrt proportional verhält. Amplitude A(t) Amplitude I() in [Hz] Abbildung : Abbildung einer Sinusschwingung mit der Frequenz mit der Periodendauer T =. s, entspricht = Hz (links), und das dazugehörige Spektrum mit einer Linie bei Hz (rechts). Einachstes Mittel zur Beschreibung eines periodischen Vorgangs ist die Sinusunktion (Abbildung ), die die olgenden Parameter auweist: A( t) = Â sin(π t + ϕ) = Â sin(π t + ϕ) T A(t) Â φ Augenblicksamplitude Maximalwert der Amplitude am höchsten Punkt des Kurvenverlaus (Scheitelwert) Frequenz =/T Phasenverschiebung gegenüber dem Ursprung der Zeitachse Man kann sich die Sinuskurve auch als Projektion der Spitze eines Zeigers denken, der in T einmal den Einheitskreis (Radius =) umrundet. Die der Sinusunktion verwandte Kosinusunktion läßt sich als um φ = π/, bzw. 9 verschobene Sinusschwingung beschreiben: π A( t) = Â cos(π t) = Â sin(π t + )

2 Time (s) Abbildung : Beispiel ür komplexe periodische Funktion, Ausschnitt aus dem Vokal [a], produziert von einem männlichen Sprecher, 8.5 Hz. Harmonische Synthese. Es läßt sich zeigen, daß sich beliebige, auch recht komplexe periodische Funktionen (siehe Beispiel Abbildung ) als Überlagerung von Sinusschwingungen beschreiben lassen. Dieser Ansatz basiert au der sog. Fourier- Reihenentwicklung und wird auch als harmonische Synthese bezeichnet. Eine periodische Funktion A p (t) mit der Periodendauer T, bzw. der Frequenz läßt sich dann wie olgt darstellen: A ( t) = p i=  i sin(π i t + ϕ i ) Das bedeutet, daß die Frequenzen aller Teiltöne, d.h. der einzelnen Sinusschwingungen, aus denen sich die periodische Funktion zusammensetzt, mit einer Grundrequenz in einem geradzahligen ( harmonischen ) Verhältnis stehen. Da es sich dabei um einen Addition von Teiltönen handelt, spricht man auch ot von additiver Synthese. Die Spitzenamplituden  i der Teiltöne nennt man auch Fourierkoeizienten. Diese Koeizienten und die dazugehörigen Phasenwinkel φ i lassen sich ür einache periodische Funktionen direkt berechnen. Koeizienten und Phasenwinkel ür einzelne Teiltöne können auch sein, d.h. diese tauchen in der betrachteten Funktion nicht au, oder weisen keine Phasenverschiebungen gegenüber der Grundwelle au. Beispiele: Sägezahnschwingung: Teiltöne i=,, 3,..., ; φ i = ür alle i;  i = /i Rechteckschwingung: Teiltöne i=, 3, 5,..., ; φ i = ür alle i;  i = /i Theoretisch benötigt man unendlich viele Teiltöne, um die ideale Sägezahn- oder Rechteckschwingung zu konstruieren. Da die Amplituden derteiltöne mit der Frequenz jedoch schnell abnehmen, reichen wenige Teiltöne, um den wesentlichen Kurvenverlau zu synthetisieren. Abbildung 3 zeigt solche Approximationen mit einer endlichen Anzahl von Teiltönen.

3 Amplitude A(t) Amplitude I() in [Hz] Amplitude A(t) Amplitude I() in [Hz] Abbildung 3: Annäherungen von Sägezahn- und Rechteckunktion mit endlicher Anzahl von Teiltönen: Oben Sägezahn (Grundwelle mit acht Obertönen), unten Rechteck (Grundwelle mit vier Obertönen). Rechts ist jeweils das zugehörige Spektrum der Teiltöne abgebildet. Verknüpung von Sinusunktionen. Es existieren nützliche Beziehungen zur Multiplikation und Addition von Sinus und Kosinus, mit denen sich komplexere Schwingungsvorgänge beschreiben lassen.

4 Produkte von Sinus- und Kosinusunktionen ) sin( x) sin( y) = (cos( x y) cos( x + y)) ) cos( x) cos( y) = (cos( x y) + cos( x + y)) 3) sin( x) cos( y) = (sin( x y) + sin( x + y)) 4) cos( x) sin( y) = (cos( x y) cos( x + In der Musik, aber auch bei der Übertragung von Audiosignalen mittels Radiowellen tritt ot der Fall au, daß eine Schwingung höherer Frequenz durch eine Schwingung tieer Frequenz in der Amplitude variiert wird. Man spricht auch von Modulation, bzw. Amplitudenmodulation (AM). Dieses Phänomen indet man z.b. beim sogenannten Vibrato au Streichinstrumenten, aber auch bei Synthesizern. Der Einachhalt halber wollen wir den Vorgang der AM mit Hile der Formel ) beschreiben, da diese nur positive Vorzeichen enthält. Wie wir aber gesehen haben, läßt sich der Kosinus jederzeit auch als phasenverschobener Sinus darstellen. Wenden wir nun Formel ) au zwei Schwingungen im Zeitbereich an, so nimmt diese die olgende Form an: A( t) = Â cos(π Â (cos(π ( t t t) cos(π m ) t) + cos(π ( t) = t bezeichnet die Frequenz der hochrequenten modulierten Schwingung (man spricht auch von Trägerrequenz), m die Frequenz der tierequenten modulierenden Schwingung, der Modulationsrequenz. Wie wir aus der Formel ersehen können, entstehen bei der Multiplikation der beiden Schwingungen zwei neue Schwingungen mit den Frequenzen ( t - m ) und ( t + m ). Da diese links und rechts von der ursprünglichen Trägerrequenz t liegen, spricht man auch von Seitenbändern. Abbildung 4 zeigt ein Beispiel ür t = 5 Hz und m = Hz. Eine Amplitudenmodulation entsteht in der Musik auch bei der sogenannten Schwebung. Diese z.b. tritt au, wenn zwei Instrumente geringügig gegeneinander verstimmt sind. Die Überlagerung einzelner, von den beiden Instrumenten gleichzeitig gespielter Noten, wird, solange m relativ gering ist (z.b. etwa 5 Hz) als ein Ton mit sich verändernder Amplitude wahrgenommen. Diesen Eekt nutzt man bei der Stimmung von Saiteninstrumenten, aber auch von Oszillatoren an Synthesizern. m t + y)) ) t)) m

5 .9.7 Amplitude A(t) - Amplitude I() in [Hz] Abbildung 4: Beispiel ür Amplitudenmodulation: t = 5 Hz, m = Hz. Im Spektrum (rechts) erscheinen zwei Linien, eine bei t - m = 48 Hz und eine bei t + m = 5 Hz. Abtastung. Damit ein Audiosignal au dem Rechner verarbeitet werden kann, muß es zeitlich diskretisiert werden, d.h. abgetastet. Die Frequenz, mit der die Abtastung erolgt, bezeichnet man als Abtastrequenz, bzw. Abtastrate a. Abbildung 5: Abtastung eines Sinussignals im Abstand T a = /6 s, entspricht einer Frequenz a = 6 Hz. Damit das Signal später wieder aus den Abtastwerten rekonstruiert werden kann, muß gewährleistet sein, daß die Abtastrequenz a mehr als doppelt so hoch gewählt wird wie die im abzutastenden Signal vorhandene höchste Frequenz: a > max

6 Wird dieses sogenannte Abtasttheorem nicht eingehalten, so kommt es zu irreparablen Fehlern, sogenannten Faltungsverzerrungen. a = max res = max a =4/3 max res =/3 max Abbildung 6: Entstehung von Faltungsverzerrungen. Oben: a = max, unten: a =4/3 max. Beim unteren Fall resultiert eine tieere Frequenz als urspünglich abgetastet. Dieses Phänomen ist im Beispiel Abbildung 6 dargestellt: Beim theoretischen Grenzall (praktisch nicht zu realisieren!) wird die höchste Frequenz des Audiosignals pro Periode gerade zweimal abgetastet ( a = max ), oben. Verringert man die Abtastrequenz weiter ( a =4/3 max ), kann der Verlau des Signals nicht mehr korrekt eraßt werden, die resultierende Frequenz ist geringer als die ursprüngliche.