NAE Nachrichtentechnik und angewandte Elektronik

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1 Inhaltsverzeichnis: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni hema Unterpunt Seite Deinitionen zur Fourier-Analse Grundschwingung 5- eilschwingungen 5- Oberwellen 5- Harmonische 5- Amplitude und Phasenlage der eilschwingungen Deinition 5-3 Berechnung 5-3 Fourieroeizienten Deinition 5-3 Berechnung 5-3 Amplituden- und Phasenspetrum Deinitionen 5-4 Berechnung 5-4 Diagramme 5-4 Berechnung der Fourieroeizienten Integrale ür die Berechnung 5-5 Besondere Funtionen 5-5 Runge-Verahren 5-6 Fourieroeizienten ür Rechtec-Signale Diagramm ohne Anhebung 5-7 Diagramm mit Anhebung 5-7 Berechnung Kennwerte 5-7 Fourieroeizienten ür Dreiec -Signale Diagramm ohne Anhebung 5-8 Diagramm mit Anhebung 5-8 Berechnung Kennwerte 5-8 Fourieroeizienten ür Sägezahn-Signale Diagramm ohne Anhebung 5-9 Diagramm mit Anhebung 5-9 Berechnung Kennwerte 5-9 Fourieroeizienten ür Einweg-Gleichrichtung Diagramm ohne Anhebung 5-0 Diagramm mit Anhebung 5-0 Berechnung Kennwerte 5-0 Fourieroeizienten ür Zweiweg-Gleichrichtung Diagramm ohne Anhebung 5- Diagramm mit Anhebung 5- Berechnung Kennwerte 5- Fourieroeizienten ür Phasenanschnitt Diagramm ohne Anhebung 5- Diagramm mit Anhebung 5- Berechnung Kennwerte 5- Stand: Rev. Seite 5-

2 Deinitionen zur Fourier-Analse: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni Periodische, nichtsinusörmige Schwingungen lassen sich mit Hile der Fourier-Anlase wie olgt beschreiben: Durch Überlagerung der Grundrequenz mit den Frequenzen bis n, den sogennanten Oberwellen, erhält man am Ausgang die gewünschte Signalorm.(z.B. Dreiec, Sägezahn) Dabei gilt, das die überlagerten Frequenzen bis n nur ganzzahlige Vielache der Grundschwingung sein düren. = = = = = Frequenz der Grundschwingung in Hz = Frequenz der überlagerten Schwingung in Hz = ganzzahliger Fator (z.b.,,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = Periodendauer der Grundschwingung in s = Periodendauer der überlagerten Schwingung in s = = Die Ausgangsspannung hat die gleiche Frequenz und somit die gleiche Periodendauer wie die Grundschwingung. U = U = U = Frequenz der Ausgangsspannung in Hz = Frequenz der Grundschwingung in Hz U = Periodendauer des überlagerten Schwingung in s = Periodendauer der Grundschwingung in s Die Grundschwingung ist der größte gemeinsame eiler der eilschwingungen Diese und die olgenden Gesetzmäßigeiten lassen sich natürlich auch analog au den Strom I anwenden oder allgemein ausdrücen. = Grundschwingung. eilschwingung. Harmonische =. Oberwelle. eilschwingung. Harmonische =3. Oberwelle 3. eilschwingung 3. Harmonische =4 3. Oberwelle 4. eilschwingung 4. Harmonische =5 4. Oberwelle 5. eilschwingung 5. Harmonische =6 5. Oberwelle 6. eilschwingung 6. Harmonische =7 6. Oberwelle 7. eilschwingung 7. Harmonische =8 7. Oberwelle 8. eilschwingung 8. Harmonische =9 8. Oberwelle 9. eilschwingung 9. Harmonische =0 9. Oberwelle 0 eilschwingung 0 Harmonische Stand: Rev. Seite 5-

3 Amplituden und Phasenlage der eilschwingungen: Es gilt ür die eilspannungen: u ˆ = u cos [( ω t) + ϕ ] RAD einstellen!!!! NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni Die Gesamtspannung ergibt sich aus der Summe der eilspannungen: u = u0 + uˆ cos[ ( ω t) + ϕ ] mit cos ( α + β ) = cosα cos β sinα sin β = u = u0 + [ uˆ cos( ϕ ) cos( ω t) ] [ uˆ sin( ϕ ) sin( ω t) ] = u = Ausgangsspannung in V u 0 = Gleichspannungsanteil in V = ganzzahliger Fator der eilspannung û = Amplitude der eilschwingung in V ω = Kreisrequenz der Grundschwingung in s φ = (Null)Phasenwinel der eilschwingung in t = Zeitpunt in s Fourieroeizienten: Wenn nun die zeit-unabhängigen Fatoren der Gesamtgleichung zusammengeasst werden, erhält man die sogenannten Fourieroeizienten: u = ˆ cos( ϕ ) u = ˆ sin( ϕ ) a u oder allgemein: b u a = ˆ cos( ϕ ) b = ˆ sin( ϕ ) ˆ = b a + b ϕ = arctan RAD!!! a Nun sieht die Gleichung des Gesamtsignals olgendermaßen aus: = 0 + [ a cos( ω t) ] + [ b sin( ω t) ] = = Ausgangssignal 0 = Gleichanteil, der im Ausgangssignal vorhanden ist = ganzzahliger Fator der eilschwingung a, b = Fourieroeizienten der entsprechende eilschwingung ω = Kreisrequenz der Grundschwingung in s φ = (Null)Phasenwinel der eilschwingung in t = Zeitpunt in s ŷ = Amplitude der eilschwingung Stand: Rev. Seite 5-3

4 Amplituden- und Phasenspetrum: Amplitudenspetrum: Im Amplitudenspetrum werden die Amplituden der einzelnen eilschwingungen eingetragen. NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni ˆ = a + b Gleichanteil mit =0 nicht versen!!!! Es ann möglich sein, das die Amplituden der einzelnen eilschwingungen (auch der Grundschwingung) zu Null werden. Da die Grundschwingung der größte gemeinsame eiler der eilschwingungen ist ann es vorommen, das die Amplitude der Grundschwingung Null ist!! ŷ = Amplitude der eilschwingung (immer positiv) a, b = Fourieroeizienten der entsprechende eilschwingung φ = (Null)Phasenwinel in Phasenspetrum: Im Phasenspetrum werden die (Null)Phasenwinel der einzelnen eilschwingungen eingetragen. b ϕ = arctan RAD!!! a Der Phasenwinel der Grundschwingung wird als Bezugsgröße mit φ = 0 angenommen. Stand: Rev. Seite 5-4

5 Berechnung Fourier-Koeizienten: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni 0 = () t 0 dt RAD einstellen!!!! a = () t ( t) dt cos ω b = () t ( t) dt sin ω = Gleichanteil der Schwingung a, b = Fourieroeizienten der entsprechende eilschwingung Durch olgende besondere Gesetzmäßigeiten ann der Rechenauwand reduziert werden: Gerade Funtionen: z.b. Parabel Wenn gilt: () t = ( t) a 0, b = 0, 0 0 Ungerade Funtionen: z.b. Gerade Wenn gilt: () t = ( t) a = 0, b 0, 0 = 0 Alternierende Funtionen: z.b. reine Sinusschwingung = + Wenn gilt: () t t a 0, b 0, 0 = 0, =, 3, 5, 7, 9... eilschwingungen gerader Ordnung : Schwingungen die aus eilen von Sinusurven bestehen. z.b. Zweiweg-Gleichrichtung a 0, b = 0, 0 0, =, 4, 6, 8, 0... Stand: Rev. Seite 5-5

6 Runge-Verahren: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni Viele periodische Schwingungen önnen nur schwer mathematisch bestimmt werden. Zur Bestimmung der Fourier- Koeizienten dient das mathematische Näherungsverahren. Es wird hier als Runge-Verahren bezeichnet. Die Funtion (t) wird dazu in m sei dabei ein ganzzahli Vielaches von Berechnung Gleichanteil des Signals: m 0 = ( ν ) m t ν = Berechnung Fourier-Koeizienten: m Zeitabschnitte t unterteilt. (Siehe Diagramm) a m m ν = ν m m ν = ( ν ) cos b ( ν ) m sin ν m RAD einstellen!!! m = bzw. ganzzahli Vielaches von z.b., 4, 36 0 = Gleichanteil der Schwingung t = Zeitspanne in s ( ν ) = Funtionswert der jeweiligen Stützstelle (s. Diagramm) a, b = Fourieroeizienten der entsprechende eilschwingung Es sollte noch olgendes beachtet werden: - Falls (t) zum Zeitpunt t ν eine Sprungstelle hat (z.b. Rechtec), so wird als Funtionswert ( ν ) ür das Runge-Verahren der Mittelwert der beiden Funtionswerte an dieser Stelle verwendet. - Die Grundschwingung ergibt sich schon mit wenigen Stützstellen mit brauchbarer Genauigeit. Stand: Rev. Seite 5-6

7 Fourieroeizienten ür Rechtecsignale: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni t Ohne Anhebung : 0 = 0 Mit Anhebung : 0 = G a = 0 =, 3, 5, 7, 9,... Ohne Pause: b 4 h = 4 h Mit Pause (trichelt) : b = cos( ω t ) = 0 + b sin( ω t) = = ω = = ˆ = b ϕ = 90 Mit b max = p b 00% max = mit max als nächstleinerer ganzzahliger Fator p h = Amplitude des Signals Vorsicht Vorzeichen bei t=0!!! t = Pausenzeit in s = Periodendauer des Signal in s 0 = Gleichanteil des Signals G = Anhebung des Signals a, b = Fourier-Koeizienten der eilschwingung = Fator der eilschwingung (, 3, 5, 7, 9,...) = Gesamtsignal zum Zeitpunt t = Frequenz der Grundschwingung in Hz ω = Kreisrequenz der Grundschwingung in s ŷ = Amplitude der eilschwingung zum Zeitpunt t φ = (Null)Phasenwinel der eilschwingung p = Prozentsatz in % um den die -te eilschwingung leiner ist als die Grundschwingung max = höchste noch zu berechnende eilschwingung Stand: Rev. Seite 5-7

8 Fourieroeizienten ür Dreiecsignale: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni Ohne Anhebung : 0 = 0 Mit Anhebung : 0 = G a 8 h = b = 0 =, 3, 5, 7, 9,... = 0 + a cos( ω t) = = ω = = ˆ = a ϕ = 0 Mit a max = p a max = p mit max als nächstleinerer ganzzahliger Fator 00% h = Amplitude des Signals Vorsicht Vorzeichen bei t=0!!! = Periodendauer des Signal in s 0 = Gleichanteil des Signals G = Anhebung des Signals a, b = Fourier-Koeizienten der eilschwingung = Fator der eilschwingung (, 3, 5, 7, 9,...) = Gesamtsignal zum Zeitpunt t = Frequenz der Grundschwingung in Hz ω = Kreisrequenz der Grundschwingung in s ŷ = Amplitude der eilschwingung zum Zeitpunt t φ = (Null)Phasenwinel der eilschwingung p = Prozentsatz in % um den die -te eilschwingung leiner ist als die Grundschwingung max = höchste noch zu berechnende eilschwingung Stand: Rev. Seite 5-8

9 Fourieroeizienten ür Sägezahnsignale: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni Ohne Anhebung: 0 = 0 Mit Anhebung: 0 = G a b ( ) = 0 h = + =,, 3, 4, 5,... = 0 + b sin( ω t) = = ω = = ˆ = b ϕ = 90 Mit b max = p b 00% max = mit max als nächstleinerer ganzzahliger Fator p h = Amplitude des Signals Vorsicht Vorzeichen bei t=0!!! = Periodendauer des Signal in s 0 = Gleichanteil des Signals G = Anhebung des Signals a, b = Fourier-Koeizienten der eilschwingung = Fator der eilschwingung (,, 3, 4, 5,...) = Gesamtsignal zum Zeitpunt t = Frequenz der Grundschwingung in Hz ω = Kreisrequenz der Grundschwingung in s ŷ = Amplitude der eilschwingung zum Zeitpunt t φ = (Null)Phasenwinel der eilschwingung p = Prozentsatz in % um den die -te eilschwingung leiner ist als die Grundschwingung max = höchste noch zu berechnende eilschwingung Stand: Rev. Seite 5-9

10 Fourieroeizienten ür Einweg-Gleichrichtungs-Signal: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni Ohne Anhebung: h h 0 = Mit Anhebung: 0 = G + a h h = b = =, 4, 6, 8,... ( ) = 0 + a cos( ω t) + b sin( ω t) = = ω = = ˆ = b a + b ϕ = arctan RAD!!! a Mit a max = p a max 3 00% = + mit max als nächstleinerer ganzzahliger Fator p h = Amplitude des Signals Vorsicht Vorzeichen bei t=0!!! = Periodendauer des Signal in s 0 = Gleichanteil des Signals G = Anhebung des Signals a, b = Fourier-Koeizienten der eilschwingung = Fator der eilschwingung (, 4, 6, 8, 0,...) = Gesamtsignal zum Zeitpunt t = Frequenz der Grundschwingung in Hz ω = Kreisrequenz der Grundschwingung in s ŷ = Amplitude der eilschwingung zum Zeitpunt t φ = (Null)Phasenwinel der eilschwingung p = Prozentsatz in % um den die -te eilschwingung leiner ist als die Grundschwingung max = höchste noch zu berechnende eilschwingung Stand: Rev. Seite 5-0

11 Fourieroeizienten ür Zweiweg-Gleichrichtungs-Signal: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni Ohne Anhebung: h = h 0 Mit Anhebung: 0 = G + a 4 h = b = 0 =, 4, 6, 8,... ( ) = 0 + a cos( ω t) = = ω = = ˆ = a ϕ = 0 Mit max = p a a max 3 00% = + mit max als nächstleinerer ganzzahliger Fator p h = Amplitude des Signals Vorsicht Vorzeichen bei t=0!!! = Periodendauer des Signal in s 0 = Gleichanteil des Signals G = Anhebung des Signals a, b = Fourier-Koeizienten der eilschwingung = Fator der eilschwingung (, 4, 6, 8, 0,...) = Gesamtsignal zum Zeitpunt t = Frequenz der Grundschwingung in Hz ω = Kreisrequenz der Grundschwingung in s ŷ = Amplitude der eilschwingung zum Zeitpunt t φ = (Null)Phasenwinel der eilschwingung p = Prozentsatz in % um den die -te eilschwingung leiner ist als die Grundschwingung max = höchste noch zu berechnende eilschwingung Stand: Rev. Seite 5-

12 Fourieroeizienten ür Phasenanschnitt-Signal: NAE Nachrichtentechni und angewandte Eletroni Zündwinel: α = ω t Ohne Anhebung: h α h α 0 = cos Mit Anhebung: 0 = G + cos a b h = h = =, 4, 6, 8,... ( sinα sin( α ) + + cosα cos( α )) ( ) ( cosα sin( α ) sinα cos( α )) ( ) = 0 + a cos( ω t) = = ω = = ˆ = b a + b ϕ = arctan RAD!!! a h = Amplitude des Signals Vorsicht Vorzeichen bei t=0!!! = Periodendauer des Signal in s 0 = Gleichanteil des Signals G = Anhebung des Signals a, b = Fourier-Koeizienten der eilschwingung = Fator der eilschwingung (, 4, 6, 8, 0,...) = Gesamtsignal zum Zeitpunt t = Frequenz der Grundschwingung in Hz ω = Kreisrequenz der Grundschwingung in s ŷ = Amplitude der eilschwingung zum Zeitpunt t φ = (Null)Phasenwinel der eilschwingung Stand: Rev. Seite 5-